Как найти сторону прямоугольника с помощью уравнения

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

• 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
• 2. Все углы прямоугольника прямые.
• 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
• 4. Диагонали прямоугольника равны.
• 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

Подставляя (3) в (2), получим:

Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:

Ответ:

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

(5)

где \( \small a \) и \( \small b \) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:

Ответ:

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ \( \small d \) и периметр \( \small P \) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие \( \small \frac P2>d \) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

(6)

(7)

Из формулы (7) найдем \( \small b \) и подставим в (6):

(8)

(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной \( \small a \):

(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

(12)

После вычисления \( \small a \), сторона \( \small b \) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант \( \small D \) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):

Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:

Найдем другую сторону \( \small b \) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:

Ответ: ,

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Как найти сторону прямоугольного треугольника — формулы, правило и примеры

Произвольный треугольник

Фигура с тремя углами является самым простым замкнутым объектом в геометрии. В общеобразовательных школах ее изучению уделяют наибольшее время, поскольку многие основные геометрические свойства заложены именно в ней. Построить ее несложно, для этого необходимо взять три точки на плоскости так, чтобы они не располагались на одной прямой. После этого следует попарно соединить их прямыми отрезками.

Треугольник произвольного типа состоит из следующих элементов:

• три вершины;
• три стороны, которые в общем случае имеют различную длину;
• одна вершина в совокупности с парой прилегающих к ней сторон образует угол, их в треугольнике три.

Помимо основных элементов, для этой фигуры существует множество дополнительных отрезков, которые имеют специальное название, например, медианы, биссектрисы, высоты.

Для рассматриваемой фигуры всегда справедливы три важных математических соотношения между ее длинами сторон и углами. Эти соотношения часто используют для решения разнообразных задач. К ним относятся следующие:

1. О сумме углов. Треугольник характеризуется тремя углами, сумма которых всегда составляет 180 градусов или пи радиан. Это свойство следует из характеристики евклидовой геометрии на плоскости. Его записывают так: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °, где символом ∠ обозначен угол при соответствующей вершине.
2. Теорема синусов. Словесная ее формулировка следующая: отношение длины стороны треугольника к синусу лежащего напротив нее угла является величиной постоянной для данной фигуры. Математически это утверждение записывается так: a/sinA = b/sinB = c/sinC, где буквами a, b и c обозначены длины сторон треугольника. Это выражение удобно использовать, когда по условию задачи известна одна сторона и два угла, и необходимо найти оставшиеся элементы фигуры.
3. Косинусов теорема. Она звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух оставшихся сторон за вычетом их удвоенного произведения, которое помножено на косинус угла между ними. Несмотря на несколько громоздкую формулировку, теорема имеет лаконичную математическую формулу: c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cosC. Это выражение удобно применять, когда известны две стороны и угол в треугольнике.

Прямоугольная фигура

С незапамятных времен человечество интересовалось свойствами геометрических объектов. Одним из них был прямоугольный треугольник, который еще в Древнем Египте считался священным, поскольку обладал характерными для него особенностями (речь идет о фигуре, соотношение сторон которой находится в отношении 3:4:5). Большие достижения в области изучения геометрических свойств рассматриваемой фигуры имели философы античной Греции, среди которых выделяется имя Пифагора.

Составляющие элементы и теорема Пифагора

Поскольку речь идет о треугольнике, то для него также характерно наличие трех сторон и трех внутренних углов. Однако, в отличие от остальных фигур данного вида, прямоугольный треугольник имеет один угол равный 90 °. Остальные два угла всегда являются острыми, что следует из фиксированной суммы их значений (180 °).

Чтобы узнать, как называются стороны прямоугольного треугольника, следует рассмотреть его рисунок.

Стороны a и b образуют прямой угол. Они называются катетами. Сторона c, которая лежит против угла 90 °, ограничена двумя острыми углами. Она носит название гипотенузы. Эти названия стоит запомнить, поскольку на них основаны все свойства и теоремы для этого типа треугольника.

Существует два вида рассматриваемой фигуры:

В случае разностороннего прямоугольного треугольника стороны равны произвольным отрезкам, которые, однако, связывает теорема Пифагора. Катеты в этой фигуре отличаются друг от друга.

Касательно равнобедренного прямоугольного геометрического объекта можно сказать, что его катеты друг другу равны, но они никогда не равны гипотенузе. Острые углы в таком треугольнике составляют по 45 °, что легко доказать, применяя теорему синусов, и учитывая, что сумма трех углов соответствует 180 °.

Теорема косинусов для рассматриваемого треугольника произвольной формы вырождается в простое равенство:

c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cosC ==>

Оно получается потому, что косинус прямого угла равен нулю согласно свойству этой тригонометрической функции. Формулировка «квадрат гипотенузы в точности соответствует сумме квадратов катетов данного треугольника» носит название известной теоремы Пифагора. Чтобы ее доказать, не прибегая к теореме косинусов, следует провести некоторые геометрические построения.

Основные свойства

Несмотря на общие свойства, которыми обладает прямоугольный треугольник, и которые характерны для любой фигуры с тремя вершинами и тремя сторонами, для него существуют также присущие только ему особенности. Основными из них являются следующие:

1. Наличие двух острых углов, что видно из рисунка треугольника прямоугольного.
2. Длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, при этом сумма длин последних всегда будет больше, чем одна гипотенуза.
3. Справедливость теоремы Пифагора.
4. Если один из острых углов равен 30 °, то противолежащий к нему катет ровно в два раза меньше длины гипотенузы.
5. Сумма длины гипотенузы и диаметра окружности, вписанной в треугольник, равна сумме длин катетов. Математически получается следующая запись: c + 2*r = a + b, здесь r — радиус вписанной в треугольник окружности. Получить это выражение можно легко, если применить теорему о вписанной в произвольный треугольник окружности, которая устанавливает связь между r, p и S: S = p*r, где S — площадь фигуры, p — ее полупериметр.
6. Чтобы понять, как найти основание прямоугольного треугольника, следует рассмотреть его катеты. Поскольку они перпендикулярны друг другу, то один из них может служить высотой, а другой основанием. Тогда площадь вычислится, как полупроизведение этих сторон: S = ½*a*b.
7. Медиана M делит прямой угол равнобедренного треугольника на две равные части, то есть является биссектрисой. Одновременно она является высотой, длина которой равна половине гипотенузы: M = ½*c. Это свойство справедливо для любого треугольника с прямым углом, а не только для равнобедренного.
8. Длину высоты h, которая проведена из вершины с прямым углом на основание-гипотенузу, можно найти по следующей формуле через катеты: h = a*b/(a 2 + b 2 )^0,5. Это равенство следует из формулы для площади фигуры.

Кроме названных свойств, следует отметить, что рассматриваемый геометрический объект является источником определения тригонометрических выражений (синуса, косинуса, котангенса и тангенса). Так, синусом угла ∠ A будет отношения противолежащего ему катета a к гипотенузе c, то есть sinA = a/c. Косинусом этого угла будет отношения ближайшего или прилежащего к нему катета к стороне c: cosA = b/c. Составлены целые таблицы этих функций, которые активно используются при решении геометрических проблем.

Способы нахождения длины стороны

Рассматриваемая фигура обладает достаточно большим количеством геометрических свойств, которые имеют математическое выражение в виде формул. Также для нее применимы особенности тригонометрических функций и общие формулы для треугольников общего типа. Весь этот набор равенств можно использовать для нахождения любой неизвестной стороны прямоугольной фигуры. Чаще всего встречаются задачи следующего типа:

1. Известны две любые стороны. Независимо от того, неизвестен один из катетов или гипотенуза, найти эту сторону легко с использованием теоремы Пифагора. Пример для катета a выглядит так: a = (c 2 — b 2 )^0,5.
2. По известному острому углу и произвольной стороне. В этом случае любую из двух оставшихся неизвестных сторон треугольника легко вычислить с помощью соответствующей тригонометрической функции. Например, известен угол ∠ B и катет a, тогда: b = a*tgB, с = a/cosB.
3. По катету и высоте, проведенной из прямого угла. Для решения этой задачи сначала необходимо найти острый угол исходного треугольника, который определяется с помощью тригонометрической функции синуса. Как только он станет известен, задача сводится к типу 2.
4. По периметру и стороне. Эта задача имеет более сложный характер, чем описанные ранее. Решается она с помощью той же теорема Пифагора, но с применением теории квадратных уравнений.
5. Наконец, самый сложный вариант задачи на нахождение произвольного катета по известным площади фигуры и высоте, которая опущена из прямого угла. Здесь также необходимо использовать теорию решения квадратных уравнений, но в дополнение к этому следует использовать замену переменных.

Пусть площадь треугольника составляет 60 см 2 , а опущенная высота из острого угла равна 8 см. Необходимо посчитать, какие длины имеют катеты и гипотенуза.

Если внимательно прочитать условие задачи, то можно увидеть, что сама высота является одним из катетов, поскольку опущена она на основание не из прямого, а из острого угла. Пусть катет a = 8 см. Сторона b вычисляется по формуле для площади:

b = 2*S/a = 2*60/8 = 15 см.

Определить гипотенузу легко по формуле Пифагора:

c = (a 2 + b 2 )^0,5 = (8 2 + 15 2 )^0,5 = 17 см.

Прямоугольный треугольник обладает набором свойств, которые позволяют применить к нему знания тригонометрии, чтобы вычислить длину неизвестного катета или гипотенузы. При этом часто используемой формулой для решения геометрических задач является теорема Пифагора.

Как найти стороны прямоугольника при известных периметре и площади

В этой статье я хочу рассмотреть две математические задачи повышенной сложности для 4 класса.

Видеоурок по теме этой статьи можно посмотреть по ссылке.

Площадь прямоугольника 32 см 2 , а периметр – 24 см. Найти стороны прямоугольника.

Площадь прямоугольника 126 см 2 , а периметр – 46 см. Найти его длину и ширину.

С этими задачами, я уверен, без труда справится более старший школьник, знакомый с решением системы уравнений и квадратных уравнений. Кстати, подобная задача есть в учебнике по геометрии Атанасяна, глава VI № 454 пункт б за 8 класс.

Но почему же эти задачи указаны в математических сборниках как задачи для 4 класса, в котором еще не изучают алгебраические понятия и методы решения? Нет ли здесь ошибки?

Нет, никакой ошибки здесь нет. Эти, и аналогичные им задачи можно решить и без использования алгебраических знаний.

Первое, что приходит на ум – это по значению периметра прямоугольника (а периметр – это удвоенная сумма двух его сторон) найти сумму двух сторон, а после простым подбором определить два числа, произведение которых равно данной по условию площади прямоугольника, а сумма – половине периметра.

Я хочу показать вам математически точное решение, которое безо всяких подборов приводит к правильному результату.

Нахождение сторон прямоугольника при известных периметре и площади

Рассмотрим первую задачу:

Площадь прямоугольника 32 см 2 , а периметр – 24 см. Найти стороны прямоугольника.

Как известно, периметр прямоугольника находится по формуле \( <\colorP=2\cdot (a+b)>\) , площадь – по формуле \( <\colorS=a\cdot b>\) .

Так как периметр прямоугольника – это удвоенное произведение суммы двух сторон прямоугольника, то мы можем найти эту сумму, разделив значение периметра на 2:

А дальше мы рассуждаем так.

Найдем максимально возможную площадь прямоугольника при данном значении суммы двух его сторон, то есть, полупериметра. Так как полупериметр – четное число, то очевидно, что прямоугольник с максимально возможным значением площади при сумме его двух сторон, равной 12 , – это квадрат со стороной \( <\color12 : 2 = 6>\) см.

Тогда площадь этого квадрата равна

По условию нашей задачи площадь прямоугольника составляет 32 см 2 . Находим разницу между полученной площадью квадрата и заданной площадью прямоугольника.

Это значит, что нам нужно изменить стороны рассматриваемого квадрата со стороной 6 см так, чтобы уменьшилась его площадь, но не изменился периметр.

Так как квадрат имеет самую большую площадь среди прямоугольников с одинаковым периметром, то для уменьшения площади нам нужно увеличить разницу между его длиной и шириной. То есть, ширину уменьшить, а длину увеличить на одно и то же число.

Площадь 4 см 2 – это квадрат со стороной 2 см. Это и есть нужное нам число.

Тогда, ширина искомого прямоугольника будет равна:

Проверим найденные длины сторон, определив периметр и площадь полученного прямоугольника:

Задача решена верно.

Теперь рассмотрим вторую задачу.

Площадь прямоугольника 126 см 2 , а периметр – 46 см. Найти его длину и ширину.

Находим полупериметр, то есть, сумму двух сторон прямоугольника.

Найдем максимально возможную площадь прямоугольника при данном значении суммы двух его сторон, то есть, полупериметра. Так как полупериметр – нечетное число, значит, нам нужен такой прямоугольник, разница между значениями ширины и длины которого в натуральных числах минимальна, то есть, единица. Это прямоугольник со сторонами 11 и 12 , т.к. \( <\color23=11+12>\).

Площадь такого прямоугольника равна:

Разница между полученной площадью и заданной по условию задачи составляет:

6 см 2 – это площадь прямоугольника со сторонами 2 и 3 см. Чтобы уменьшить площадь нашего прямоугольника со сторонами 11 см и 12 см, нужно увеличить разницу между значениями этих сторон, а именно, уменьшить его короткую сторону, то есть, ширину. При этом длину также нужно увеличить на это же число, чтобы сохранить значение периметра.

Для этого ширину 11 мы уменьшаем на одноименное значение, то есть, тоже на ширину прямоугольника с площадью 6 см 2 , а именно, на 2 .

Кстати, подумайте и напишите в комментарии к этой статье, почему мы рассматриваем разницу в площадях именно как прямоугольник с максимальной площадью (например, в этой задаче как прямоугольник 2 на 3 , а не 1 на 6 , а в первой – как квадрат 2 на 2 , а не прямоугольник 1 на 4 ), и почему ширину уменьшаем именно на ширину (в этой задаче 11 – 2 , а не 11 – 3 ).

Находим ширину искомого прямоугольника:

Длину нужно увеличить также на это число, чтобы не изменился периметр прямоугольника:

И эта задача решена тоже верно.

На этом все. Не забудьте написать в комментарии ответы на вопросы, почему мы рассматриваем разницу в площадях именно как прямоугольник с максимальной площадью, и почему ширину уменьшаем именно на ширину.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 3