Как найти точку максимума функции по уравнению егэ

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\).
2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\).
3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
   — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если то Если , то

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

Задание ЕГЭ 2022 — экстремумы функции.

Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с исследованием функций и их производных. В частности, речь идёт о поиске максимальных и минимальных значений функций, заданных аналитически, то есть формулой.

Точкой максимума ( минимума ) функции y = f(x) называется значение аргумента x = a такое, что существует окрестность точки a, в которой f(x) ( f(x) > f(a) ) для x ≠ a.

Максимумом ( минимумом ) функции называется её значение в точке экстремума, т.е. величина f(a).

Что касается наибольших и наименьших значений функции на заданном отрезке, то для непрерывной функции они могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Графические иллюстрации к этой теме можно посмотреть здесь.
Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка совпадает с точкой соответствующего экстремума. Для ответа на такой вопрос задания следует сравнить значения функции в точках экстремума с её значениями на концах отрезка. (На практике для решения этой задачи не обязательно определять вид экстремума, достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка и сравнить их между собой.)

В 2022 году это задание имеет номер 11.

Задачи на нахождение точек экстремума функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума.

1) Найти область определения функции.
2) Найти её производную f ‘(x).
3) Найти точки, в которых f ‘(x) не существует.
4) Найти точки в которых f ‘(x) = 0.
5) Отметить на числовой прямой область определения функции и все точки, выявленные в п.3 и п.4. Получатся промежутки области определения, на которых производная сохраняет постоянный знак.
6) Определить знак f ‘(x) для каждого промежутка. (Чаще всего это делается подстановкой «удобного» значения x из этого промежутка в полученную в п.2 формулу для производной.)
7) Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере в каждой из критических точек.

Найдите точку максимума функции y = (x + 7)·e 7 − x .

1) Функция представляет собой произведение линейной и показательной функций, которые определены на всей действительной оси.
D(f) = (−∞;∞).

2) Вычисляем производную, пользуясь правилом дифференцирования произведения и формулами для производной степенной и показательной функций.
y’ = ( (x + 7)·e 7 − x )’ =
= (x + 7)’·e 7 − x + (x + 7)·(e 7 − x )’ =
= (1 + 0)·e 7 − x + (x + 7)·e 7 − x ·(7 − x)’ =
= e 7 − x + (x + 7)·e 7 − x ·(0 − 1) =
= e 7 − x − (x + 7)·e 7 − x .
Вычисление производной завершено, но для облегчения действий в следующих пунктах, стоит преобразовать её к наиболее компактному виду.
e 7 − x − (x + 7)·e 7 − x = e 7 − x ·(1 − x − 7) = −e 7 − x ·(x + 6).
Итак, y ‘ = −e 7 − x ·(x + 6).

3) Выражение −e 7 − x ·(x + 6) определено во всех точках действительной оси.
Точек, где y’ не существует, нет.

5) Изображаем «бесконечную» числовую ось, совпадающую в нашем случае с областью определения функции. Отмечаем на ней единственную найденную критическую точку x = −6.

6) Определяем знаки производной на получившихся двух участках оси.
При x 7 − x ·(x + 6) = −e 7 + 10 ·(−10 + 6) = −e 17 ·(−4) = 4e 17 ≈ 4·2,7 17 > 0.
При x > −6, например при x = 7, имеем
y’ = −e 7 − x ·(x + 6) = −e 7 − 7 ·(7 + 6) = −e 0 ·13 = −1·13 = −13 0 и знаком «−», где y’ Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Найдите точку минимума функции y = 4x − ln(x + 11) + 12.

По определению логарифма x + 11 > 0, следовательно D(f) = (−11;+∞).

y’ = 4 − 1 ______ x + 11 = ______ 4x + 43 x + 11 .

В производной x ≠ −11, но это значение не входит в область определения функции, поэтому критической точкой не является.

Следовательно, x = −10,75 точка минимума функции.

Найдите точку максимума функции y = √16 − 4x − x 2 ___________ .

По определению арифметического корня 16 − 4x − x 2 ≥ 0. Полностью решать это неравенство пока не будем. Заметим только, что это квадратное неравенство и ветви соответствующей параболы направлены вниз. Можно сделать вывод, что неотрицательные значения квадратный трёхчлен будет иметь на участке между его корнями. D(f) = [x₁ ; x₂].

y’ = 1 ____________ 2 √16 − 4x − x 2 __________ ·(16 − 4x − x 2 )’ = − x + 2 ___________ √16 − 4x − x 2 __________ .

y’ не существует в точках, где знаменатель дроби равен нулю, т.е.
при 16 − 4x − x 2 = 0. Эти точки мы уже обозначили x₁ и x₂. Они являются краями области определения функции.

Выбираем значения x для проверки знаков производной на получившихся двух участках. Пусть это будут −3 и 0. Убедимся, что не промахнулись мимо области определения функции, т.е. в том, что для этих точек выполняется неравенство для подкоренного выражения. (Если бы мы сразу дорешали неравенство до конца, то этого делать бы не пришлось. Точки выбирались бы по рисунку.)
16 − 4x − x 2 ≥ 0.
16 − 4·(−3) − (−3) 2 = 19 ≥ 0.
16 − 4·0 − 0 2 = 16 ≥ 0.
Определяем знаки производной в этих точках

y’(−3) = − −3 + 2 _____ √19 __ = 1 ___ √19 __ > 0.

y’(0) = − 0 + 2 ____ √16 __ = − 2 _ 4 = −0,5

Следовательно, x = −2 точка максимума функции.

Замечание: Для кого-то может оказаться легче сразу решить квадратное уравнение и рисовать итоговый чертёж явно. Делайте так.
В данном случае x₁ = −2 − 2 √5 _ ≈ −6,5; x₂ = −2 + 2 √5 _ ≈ 2,5.

Найдите точку минимума функции y = (0,5 − x)cosx + sinx, принадлежащую промежутку (0, π/2).

Точек, где y’ не существует, нет.

Проверяем принадлежность найденных значений x заданному промежутку.
Значения, кратные π, не принадлежат промежутку. При n = 0, x₀ = 0, но заданный помежуток интервал и 0 в него не входит. Остальные значения больше π/2 или меньше 0.
0 x = 0,45 и x = 0,55 .
y’(0,45) = (0,45 − 0,5)·sin0,45 = −0,05sin0,45 0
Таким образом, левеее точки 0,5 функция убывает, правее возрастает. Точка является точкой минимума.

Замечание: sin0,45 и sin0,55 положительны, т.к. исследуемый интервал соответствует первой четверти тригонометрического круга.

Задачи на нахождение экстремумов функции.

1) Находим точки экстремумов функции и определяем их характер так же, как в задачах выше.
2) Определяем значения функции в точках максимума или минимума в соответствии с вопросом задачи.
3) Если точек максимума (минимума) на области определения функции несколько, то максимумы (минимумы) называются локальными, а самый большой (самый маленький) называется глобальным максимумом (минимумом) или наибольшим (наименьшим) значением функции. Ещё раз читаем вопрос задачи и выбираем нужный.

Найдите наибольшее значение функции y = √5 − 4x − x 2 _________ .

Первая часть решения полностью совпадает с решением задачи 3.

y’ = − x + 2 ___________ √5 − 4x − x 2 __________ .

y’ не существует в точках −5 и 1.

y’(−3) = 1 __ √8 _ > 0; y’(0) = − 2 __ √5 _ √5 − 4x − x 2 __________
y(−2) = √5 − 4·(−2) − (−2) 2 _______________ = √9 _ = 3.
По стрелкам на рисунке видно, что максимум на всей области определения функции единственный, поэтому полученное значение y(−2) = 3 и будет наибольшим значением функции.

Найдите наименьшее значение функции y = log₃(x 2 − 6x + 10) + 2.

По определению логарифма x 2 − 6x + 10 > 0. Дискриминант этого квадратного трёхчлена D = 36 − 40 коэффициент при x 2 равен 1 > 0, следовательно все его значения положительны. Область определения функции D(f) = (−∞;+∞).

y’ = 1 ______________ (x 2 − 6x + 10)·ln3 ·(x 2 − 6x + 10)’+ 0 = ______________ 2x − 6 (x 2 − 6x + 10)·ln3 .

Знаменатель этой дроби > 0 (ln3 > 1, т.к. 3 > e ≈ 2,7), поэтому точек, где y’ не существует, нет.

Найденная точка экстремума единственная на области определения функции, разбивает её на два участка, причем при x 3 y’ > 0, значит это точка глобального минимума.

Находим значение функции в этой точке
y(3) = log₃(x 2 − 6x + 10) + 2 = log₃(3 2 − 6·3 + 10) + 2 = log₃1 + 2 = 0 + 2 = 2.
Это наименьшее значение функции на всей области определения.

Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

Непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений либо во внутренних точках промежутка, либо на его концах. Поэтому для решения задач этого раздела достаточно определить значения функции в точках экстремума и сравнить их с её значениями на концах отрезка. Выявлять тип экстремума необязательно.

Если не будет соблюдено хотя бы одно из двух условий — функция окажется разрывной или в качестве промежутка будет задан интервал (полуинтервал), то потребуется полный анализ поведения функции и её производной, и не факт, что ответ будет существовать. На ЕГЭ задач с такими усложненными условиями пока не обнаружено, а те, кому просто интересно, могут пройти по ссылке и посмотреть здесь.

Найдите наибольшее значение функции y = x 3 + 2x 2 + x + 3 на отрезке [−4;−1] .

Находим значения функции в этих точках и на краях отрезка
y(x) = x 3 + 2x 2 + x + 3;
y(−4) = (−4) 3 + 2(−4) 2 − 4 + 3 = −64 + 2·16 − 4 + 3 = −33;
y(−1/3) = (−1/3) 3 + 2(−1/3) 2 − 1/3 + 3 = −1/27 + 2·1/9 −1/3 + 3 = 2 23 __ 27 ;
y(−1) = (−1) 3 + 2·(−1) 2 − 1 + 3 = −1 + 2 − 1 + 3 = 3.

Выбираем самое большое из получившихся значений y. Это y(−1) = 3.

Найдите наибольшее значение функции y = 36tgx − 36x + 9π + 7 на отрезке [−π/4; π/4].

На отрезке [−π/4; π/4] заданная функция определена и непрерывна (см. график tgx).

y’ = 36· _____ 1 cos 2 x − 36 + 0;

y’ не существует при cosx = 0, x_n = _ π 2 ·n, n Є Z. Ни одна из этих точек не входит в промежуток [−π/4; π/4].

y’ = 0 при cos 2 x = 1, cosx = ±1, x_k = πk, k Є Z. Отрезку [−π/4; π/4] принадлежит только точка x₀ = 0.

Определяем значения функции в этой точке и на концах отрезка.
y(x) = 36tgx − 36x + 9π + 7
y(0) = 36tg0 − 36·0 + 9π + 7 = 0 − 0 + 9π + 7 ≈ 9·3,14 + 7 = 35,26
y(−π/4) = 36tg(−π/4) − 36·(−π/4) + 9π + 7 = 36·(−1) + 9π + 9π + 7 = −29 + 18π ≈ −29 + 18·3,14 = 27,52
y(π/4) = 36tg(π/4) − 36·π/4 + 9π + 7 = 36·1 − 9π + 9π + 7 = 43.
Самым большим из этих чисел является число 43.

Замечание: При дифференцировании не забудьте, что π — такая же константа, как любое другое число. Поэтому π’ = 0.

Найдите наибольшее значение функции y = 2x 2 − 13x + 9lnx + 8 на отрезке [ 13 __ 14 ; 15 __ 14 ] .

Функция определена и непрерывна при всех x > 0, в том числе и на отрезке [ 13 __ 14 ; 15 __ 14 ].

y’ не существует при x = 0. Эта точка не входит в заданный промежуток. Не рассматриваем.

y’ = 0 при 4x 2 − 13x + 9 = 0
Решаем это квадратное уравнение через дискриминант, находим корни x₁ = 1, x₂ = 9/4 = 2,25.

x₁ = 1 является серединой заданного отрезка, x₂ = 2,25 не принадлежит отрезку. Значит нужно определить значения функции y(13/14), y(1) и y(15/14) и сравнить их между собой. Однако в данном случае вычисление значений y(13/14) и y(15/14) может оказаться слишком громоздким и с большой вероятностью привести к ошибкам. Проще вернуться к исследованию поведения производной в окрестности найденной точки экстремума.

y’ представляет собой дробь, знаменатель которой на отрезке [13/14;15/14] положителен. Значит знак производной на этом отрезке зависит только от числителя, т.е. определяется знаком квадратного трёхчлена 4x 2 − 13x + 9. Графиком этого квадратного трёхчлена является парабола с ветвями, направленными вверх (4 > 0), пересекающая ось абсцисс в двух точках x₁ и x₂. Чертим «от руки» эскиз этого графика и видим, что левее корня x₁ квадратный трёхчлен, а значит и вся производная будут иметь знак «+», а правее — знак «−».
Вывод: заданная в условии задачи функция на заданном отрезке левее x₁ = 1 возрастает, правее — убывает. Эта точка является точкой максимума внутри отрезка, значение функции в ней будет наибольшим.

Определяем его
y(x) = 2x 2 − 13x + 9lnx + 8
y(1) = 2·1 2 − 13·1 + 9·ln1 + 8 = 2 − 13 + 9·0 + 8 = −3.

Найдите наименьшее значение функции y = x 2 + 25 ______ x на отрезке [1;10].

На отрезке [1;10] функция определена и непрерывна (x = 0 не принадлежит отрезку).

y’ не существует при x = 0. Эта точка не входит в заданный промежуток.

x₁ = −5 не принадлежит отрезку [1;10], x₂ = 5 внутренняя точка отрезка.
Находим значения функции

y(1) = 1 2 + 25 ______ 1 = 26;

y(5) = 5 2 + 25 ______ 5 = 10;

y(10) = 10 2 + 25 _______ 10 = 12,5.

Наименьшее значение y(5) = 10.

Вернуться к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математке.

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней.
E-mail: mathematichka@yandex.ru

Внимание, © mathematichka.
Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.