Как найти целочисленные решения системы уравнений

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

Вспомогательная страница к разделу ☞ МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА. Плохо обработанные заметки, и не уверен, что скоро вернусь к ним…

Найти двузначные натуральные числа, удовлетворяющие уравнению $ 17\, x+ 20\, y+45\, z =4111 $.

Решение. Выражаем $ x_<> $: $$ x=241-y-2\,z+\frac<14-3\,y-11\,z> <17>\ . $$ Полагаем $$ 17\, t_1 =14-3\,y-11\,z \quad \iff \quad 17\, t_1 + 3\,y+11\,z=14 \ . $$ Выражаем $ y_<> $: $$ y=4-3\,z-5\,t_1+\frac<2-2\,z-2\,t_1> <3>\ . $$ Полагаем $$ 3\, t_2=2-2\,z-2\,t_1 \quad \iff \quad 3\, t_2+2\,z+2\,t_1=2 \ . $$ Выражаем $ z_<> $: $$ z=1-t_1-t_2-\frac <2>\ . $$ Полагаем $$ t_2=2\,t_3 \ . $$ Теперь выражаем неизвестные $ x,y,z_<> $: $$ z=1-t_1-3\,t_3,\ y=1-2\, t_1 +11\, t_3, x=238+5\, t_1- 5\, t_3 \ . $$ При любых значениях параметров $ \ \subset \mathbb Z $ последние формулы дадут решение уравнения. Для того, чтобы удовлетворить дополнительным ограничениям на решения, параметры должны подчиняться условиям: $$ 9 t_3>-18 \ , $$ (здесь мы снова воспользовались целочисленностью параметра). Умножим теперь первое неравенство на $ 2_<> $ и прибавим ко второму: $$-84 ☞ ЗДЕСЬ схеме. Если это уравнение разрешимо в целых числах, то множество его решений записывается в виде соотношений $$ x_1=\beta_<11>t_1+\dots+\beta_<1,n-1>t_ + \gamma_1,\dots x_n=\beta_t_1+\dots+\beta_t_ + \gamma_n, $$ при некоторых фиксированных целочисленных $ \ <\beta_\>, \ <\gamma_j\>$ и произвольном выборе целочисленных параметров $ t_1,\dots,t_ $. Подставляем полученные соотношения в оставшиеся уравнения системы, переписываем их в новую систему — относительно новых неизвестных $ t_1,\dots,t_ $. Число уравнений и число неизвестных уменьшились на единицу. Продолжаем процесс.

Пример. Решить систему линейных уравнений в целых числах $$ \left\< \begin x_1& & — x_3 & +4\,x_4 &=3, \\ 2\,x_1 &- x_2 & & & =3, \\ 3\,x_1 &-2\,x_2 & & -x_4 & =1. \end \right. $$

Решение. Из второго уравнения выражаем $ x_ <2>$: $$x_2=-3+2\, x_1=t_1 \quad \Rightarrow \quad x_1=\frac<3+t_1>2=1+\frac2 \ . $$ Обозначим $$t_2=\frac2 \quad \Rightarrow \quad x_1=1+t_2,\ \quad \Rightarrow \quad x_2=-1+2\,t_2 \ . $$ Подставляем в третье: $$ x_4=4-t_2 \ , $$ теперь все получившиеся выражения для $ x_1,x_2,x_4 $ подставляем в первое уравнение: $$ x_3=14-3\,t_2 \ . $$

Ответ. $ x_1 = 1+t_2,\ x_2 =-1+2\,t_2,\ x_3=14-3\,t_2,\ x_4=4-t_2 $ при $ t_2 \in \mathbb Z $.

Решим теперь более сложный пример.

Пример. Решить систему линейных уравнений в целых числах $$ \left\< \begin 5\,x_1& + 7\, x_2 & +8\,x_3 &=11, \\ 2\,x_1 &- 3\,x_2 & +6\,x_3 & =5. \end \right. $$

Решение. Имеем из первого уравнения: $$ x_1=\frac<11-7\,x_2-8\,x_3><5>=2-x_2-x_3+\frac<1-2\,x_2-3\,x_3> <5>\quad \Rightarrow \quad t_1=\frac<1-2\,x_2-3\,x_3> <5>\ . $$ Далее, $$ 2\,x_2+3\,x_3+5\,t_1=1 \quad \Rightarrow \quad x_2=\frac<1-3\,x_3-5\,t_1><2>=-x_3-2\,t_1+ \frac<1-x_3-t_1> <2>\quad \Rightarrow \quad t_2=\frac<1-x_3-t_1> <2>\ . $$ Получаем выражение для $ x_ <3>$: $$ x_3=1-t_1-2\,t_2 \ , $$ подставляем его в выражение для $ x_ <2>$: $$ x_2=-x_3-2\,t_1+t_2=-t_1=3\,t_2-1 \ . $$ Теперь $$ x_1=2-x_2-x_3+t_1=2+3\,t_1-t_2 \ . $$ Все три получившиеся формулы подставляем во второе уравнение системы: $$ 3\,t_1-23\,t_2=-8 \ . $$ Решаем это уравнение в той же технике, получаем: $$t_1=23\,u_2+5,\ t_2=3\, u_2+1 \ . $$ И возвращаемся к выражениям для $ x_1,x_2,x_3 $.

Ответ. $ x_1=16+66\, u_2,\ x_2=-3-14\, u_2,\ x_3=-6-29\, u_2 $ при $ u_2 \in \mathbb Z $.

Если бы мы решали предыдущую систему в рациональных или вещественных числах, то получили бы аналогичный вид решения: $$ x_1=x_<10>+66\, t,\ x_2=x_<20>-14\, t,\ x_3=x_<30>-29\, t \quad npu \quad t \in \mathbb R \ . $$ Можно проверить, что сомножители при $ t_<> $ — это величины миноров системы уравнений, т.е. $$ \left| \begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <22>& a_ <23>\end \right| , \quad -\left| \begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right| , \quad \left| \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| $$ соответственно. См. упражнение ☞ ЗДЕСЬ. Геометрически: направляющий вектор прямой, соответствующей пересечению двух плоскостей, всегда можно выбрать целочисленным. Таким образом, если система имеет целочисленное решение, то вхождения параметра в формулы, описывающие все множество этих решений, можно оценить с помощью методов линейной алгебры (см. теорию ☞ ЗДЕСЬ ). Проблема заключается в поиске хотя бы одного частного целочисленного решения $ x_<10>,x_<20>,x_ <30>$. Вот оно может и не существовать. К примеру, система $$ \left\< \begin 2\,x_1& + x_2 & -x_3 &=1, \\ x_1 &+ 2\,x_2 & + x_3 & =1 \end \right. $$ не имеет решений в $ \mathbb Z_<> $.

Решение системы линейных уравнений в целых числах возможно еще симплекс-методом, но с этим я еще не разбирался. И следующий результат тоже выкладываю в надежде когда-нибудь разобраться…

Теорема [Минковский]. Рассмотрим систему вещественных линейных неравенств относительно неизвестных $ x_<1>,\dots,x_n $ $$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &\le b_1,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &\le b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n & \le b_n. \end \right. $$ при $ b_1>0,b_2>0,\dots,b_n>0 $. Пусть определитель коэффициентов левых ее частей отличен от нуля: $$ \det [a_]_^n \ne 0 \ . $$ Тогда система имеет целочисленное решение если произведение правых ее частей не меньше абсолютной величины этого определителя: $$ \prod_^n b_j \ge \left| \det [a_]_^n \right| \ . $$

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Найти целые решения системы неравенств

В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.

1) Найти целые решения системы неравенств:

7x — 5\\ 5 — x

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

— 5 — 3\\ — x + 6x

После упрощения разделим обе части каждого неравенства на b» href=»http://www.algebraclass.ru/axb/» target=»_blank»>число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

— 8\_\_\_\left| <:2 >0> \right.\\ 5x 0> \right. \end \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

— 4\\ x

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).

Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:

Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Какие целые решения имеет система неравенств?

17 — 4x \end \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком

17 — 37 \end \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:

0> \right.\\ — 4x > — 20\_\_\_\left| <:( - 4)

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:

Целые решения на промежутке [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.

3) Сколько целых решений имеет система неравенств?

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:

0> \right. \end \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:

Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

0> \right. \end \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.

Множество решений системы состоит из единственного элемента — <2>. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.