Как найти уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

• CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
• CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.