Уравнение касательной к графику функции
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую \(y=f(x)\).
Выберем на ней точку A с координатами \((x_0,y_0)\), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке \(x_0\): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: \((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)\).
Для \(A(x_0,y_0),\ B(x,y)\) получаем: \begin
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде \(y=kx+b\), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой \(y=f(x)\), абсцисса точки касания \(x_0\).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания \(f(x_0)\)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной \(f’ (x)\)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания \(f'(x_0 )\)
Шаг 4. Записать уравнение касательной \(y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)\), привести его к виду \(y=kx+b\)
На выходе: уравнение касательной в виде \(y=kx+b\)
 | Пусть \(f(x)=x^2+3\). Найдем касательную к этой параболе в точке \(x_0=1\). |
\(f(x_0)=1^2+3=4 \)
\(f'(x)=2x \)
\(f'(x_0)=2\cdot 1=2\)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: \(y=2x+2\)
п.3. Вертикальная касательная
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода \(x_0\notin D\), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку \(x_0\in D\), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку \((x_0,y_0)\).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида \(y=\sqrt[n]
 | Пусть \(f(x)=\sqrt[5] Найдем касательную к этой кривой в точке \(x_0=1\). |
\(f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1\)
\(f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> \)
\(f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty\)
В точке \(x_0\) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: \(x=1\)
Ответ: \(y=2x+2\)
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции \(f(x)=2x^2+4x\)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 | Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin Касательная в точке \(x_0=0\): \begin |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 | Общее уравнение касательной: \(f'(x)=4x+4\) По условию \(f'(x_0)=tg\alpha=tg45^\circ=1\) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1\Rightarrow 4x_0=-3\Rightarrow x_0=-\frac34 $$ Точка касания \(x_0=-\frac34\) \begin |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой \(2x+y-6=0\). Напишите уравнение этой касательной.
 | Найдем угловой коэффициент заданной прямой: \(y=-2x+6\Rightarrow k=-2\). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже \(k=-2\). Получаем уравнение: \begin |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 | У горизонтальной прямой \(k=0\). Получаем уравнение: \(f'(x_0)=0\). \begin |
Ответ: а) \(y=4x\) и \(y=-4x-8\); б) \(y=x-\frac98\); в) \(2x+y+\frac92=0\); г) \(y=-2\)
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции \(f(x)=\frac
Угловой коэффициент данной прямой \(k_1=11\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_2=-\frac<1>
Уравнение касательной при \(x_0=-14\) \begin
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение \(y=-\frac
и точка касания (8;-2), уравнение \(-\frac
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам \(y=x^2-5x+6\) и \(y=x^2+x+1\). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: \begin
Запишем уравнения касательных \(g_1(x)\) и \(g_2(x)\) через эти переменные. \begin 
Точки касания: \begin
Ответ: касательная \(y=-\frac x3+\frac59\); точки касания \(\left(\frac73;-\frac29\right)\) и \(\left(-\frac23;\frac79\right)\)
Пример 5*. Докажите, что кривая \(y=x^4+3x^2+2x\) не пересекается с прямой \(y=2x-1\), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: \(x^4+3x^2+2x=2x-1\) \begin
Значит, \(x\in\varnothing\) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом \(k=2\), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой \(y=2x-1\).
Строим уравнение касательной. По условию: \(f'(x)=4x^3+6x+2=2\) \begin
Уравнение касательной: \(y=2(x-0)+0=2x\)
 | Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: \(y=2x\) и \(y=2x-1\). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую \(y=2x-1\) имеет угловой коэффициент \(k=-\frac12\), его уравнение: \(y=-\frac12 x+b\). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и \(b=0\). |
Уравнение перпендикуляра: \(y=-\frac x2\).
Находим точку пересечения прямой \(y=2x-1\) и перпендикуляра \(y=-\frac x2\): \begin
Находим расстояние \(OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>\)
Ответ: \(\frac<\sqrt<5>><5>\)
Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения
Содержание:
Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде 
- Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
- если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.
Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если 
, то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.
Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.
Возможны два вида задач:
- дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
- дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.
Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.
Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:
- Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
- Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.
Эллипс
Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек 
, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между 
).
Точки 
называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.
Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:
(7.5)
Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку 
координаты которой задаются формулами 
будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением 
Число 
называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет 
характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении 
становится более вытянутым
Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами 
. Их длины 
и 
задаются формулами 
Прямые 
называются директрисами эллипса. Директриса 
называется левой, а 
— правой. Так как для эллипса 
и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.
Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. 
Гипербола
Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек 
есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между 
).
Точки 
называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов 
обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть 
. Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты 
.
Тогда 
А расстояние 
Подставив в формулу r=d, будем иметь
. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
или
(9.4.1)
Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения 
также определяют параболы.
Легко показать, что уравнение 
, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а 
О. Для этого выделим полный квадрат:
и сделаем параллельный перенос по формулам
В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: 
где р — положительное число, определяется равенством 
.
Пример:
Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию
, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию
, запишем это равенство с помощью координат: 
, или после упрощения 
. Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).
Кривые второго порядка на плоскости
Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:
где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю 
Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.
Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.
Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению
которое называют каноническим уравнением эллипса.
Число а называют большей полуосью эллипса, число 
— мень-
шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки 
называют вершинами эллипса, а 
— его фокусами (рис. 12).
Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.
Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.
В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид 
и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.
Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:
Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы 
и характеризует форму эллипса. Для окружности 
Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.
Пример:
Показать, что уравнение
является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.
Решение:
Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:
— каноническое уравнение эллипса с центром в точке 
большей полуосью а=3 и меньшей полуосью 
Найдем эксцентриситет эллипса:
Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке 
а оси 
параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. 
В новой системе координат координаты 
вершин и фокусов гиперболы будут следующими:
Переходя к старым координатам, получим:
Построим график эллипса.
Задача решена.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.
На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
- Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 α π 2 или 0 ° α 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
- Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 α π или 90 ° α 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Определение 3
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k = t g α = B C A C = f ( x B ) — f x A x B — x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) — это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) — f ( x A ) x B — x A или k = f ( x A ) — f ( x B ) x A — x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) — f ( x A ) x B — x A · x — x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) — f ( x B ) x A — x B · x — x B + f ( x B ) .
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.
Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .
Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) — f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) .
Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) .
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у — k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x 0 .
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = — 1 , f ( x 0 ) = — 3 .
Необходимо найти производную в точке со значением — 1 . Получаем, что
y ‘ = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ — 6 — 3 3 x ‘ — 17 — 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 — 6 — 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( — 1 ) = e — 1 + 1 + — 1 2 — 6 — 3 3 = 3 3
Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3
Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) — 3 y = 3 3 x — 9 — 3 3
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x — 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y ‘ = 3 · x — 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x — 1 ) 1 5 — 1 = 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5
Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 — 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( — 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .
Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 — 4 5 x 2 — 16 5 x — 26 5 + 3 x + 2 , где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно о х ;
- Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ — ∞ ; 2 и [ — 2 ; + ∞ ) . Получаем, что
y = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y ‘ = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ — 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ — ∞ ; — 2 1 5 x 2 — 4 x + 3 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )
Когда х = — 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
lim x → — 2 — 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 — 0 — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = — 1 5 ( — 2 ) 2 + 12 ( — 2 ) + 35 = — 3 lim x → — 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 + 0 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 1 5 — 2 2 — 4 — 2 + 3 = 3
Вычисляем значение функции в точке х = — 2 , где получаем, что
- y ( — 2 ) = 1 15 — 2 + 2 3 — 4 5 ( — 2 ) 2 — 16 5 ( — 2 ) — 26 5 + 3 — 2 + 2 = — 2 , то есть касательная в точке ( — 2 ; — 2 ) не будет существовать.
- Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .
Когда x ∈ — ∞ ; — 2 , тогда — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 .
— 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 — 4 · 35 = 144 — 140 = 4 x 1 = — 12 + 4 2 = — 5 ∈ — ∞ ; — 2 x 2 = — 12 — 4 2 = — 7 ∈ — ∞ ; — 2 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 — 4 · 3 = 4 x 3 = 4 — 4 2 = 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ — 2 ; + ∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y 1 = y — 5 = 1 15 — 5 + 2 3 — 4 5 — 5 2 — 16 5 — 5 — 26 5 + 3 — 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( — 7 ) = 1 15 — 7 + 2 3 — 4 5 ( — 7 ) 2 — 16 5 — 7 — 26 5 + 3 — 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 — 4 5 · 1 2 — 16 5 · 1 — 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 — 4 5 · 3 2 — 16 5 · 3 — 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Отсюда — 5 ; 8 5 , — 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ — ∞ ; — 2 , получаем, что — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 .
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
— 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 — 4 · 43 = — 28 0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 — 4 x — 5 = 0 D = 4 2 — 4 · ( — 5 ) = 36 x 1 = 4 — 36 2 = — 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ — 2 ; + ∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y 1 = y ( — 1 ) = 1 15 — 1 + 2 3 — 4 5 ( — 1 ) 2 — 16 5 ( — 1 ) — 26 5 + 3 — 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 — 4 5 · 5 2 — 16 5 · 5 — 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Точки со значениями — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x — π 4 — 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = — 2 x + 1 2 .
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется — 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = — 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = — 2 , тогда k x = — 1 k ⊥ = — 1 — 2 = 1 2 .
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 ‘ = 3 · — sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 x 0 — π 4 ‘ = = — 3 · sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 = — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 — π 4 = — 1 9
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
3 2 x 0 — π 4 = a r c sin — 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π — a r c sin — 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 — π 4 = — a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z — множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3
y 0 = 3 · 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3
y 0 = 3 · 1 — — 1 9 2 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — — 1 9 2 — 1 3
y 0 = 4 5 — 1 3 или y 0 = — 4 5 + 1 3
Отсюда получаем, что 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 — 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; — 4 5 + 1 3 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y = 1 2 x — 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 — 1 3 , y = 1 2 x — 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk — 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ — 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = — 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x — x c e n t e r 2 + y — y c e n t e r 2 = R 2 .
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.
Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r — R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r — R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r — R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r — R .
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x — x c e n t e r 2 a 2 + y — y c e n t e r 2 b 2 = 1 .
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y = b a · a 2 — ( x — x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = — b a · a 2 — ( x — x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x — 3 2 4 x = 2 + y — 5 2 25 = 1 1 4 + y — 5 2 25 = 1 ⇒ y — 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; — 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что
x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 y — 5 2 25 = 1 — x — 3 2 4 ( y — 5 ) 2 = 25 · 1 — x — 3 2 4 y — 5 = ± 5 · 1 — x — 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 — x — 3 2
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 , а нижний y = 5 — 5 2 4 — x — 3 2 .
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид
y ‘ = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = — 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = — 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x — 2 ) + 5 3 2 + 5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; — 5 3 2 + 5 принимает вид
y ‘ = 5 — 5 2 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = — 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = — 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = — 5 2 3 ( x — 2 ) — 5 3 2 + 5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r — α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x — x c e n t e r 2 α 2 — y — y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r — b , тогда задается при помощи неравенства x — x c e n t e r 2 α 2 — y — y c e n t e r 2 b 2 = — 1 .
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y = b a · ( x — x c e n t e r ) 2 — a 2 + y c e n t e r y = — b a · ( x — x c e n t e r ) 2 — a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x — x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = — b a · ( x — x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r
В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; — 3 3 — 3 .
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x — 3 2 — 4 и л и y + 3 = — 3 2 · x — 3 2 — 4 ⇒ y = 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3 y = — 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; — 3 3 — 3 .
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = — 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = — 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
y ‘ = — 3 2 · ( x — 3 ) 2 — 4 — 3 ‘ = — 3 2 · x — 3 ( x — 3 ) 2 — 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = — 3 2 · x 0 — 3 x 0 — 3 2 — 4 x 0 = 7 = — 3 2 · 7 — 3 7 — 3 2 — 4 = — 3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y = — 3 · x — 7 — 3 3 — 3 = — 3 · x + 4 3 — 3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .
Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c — x = 0 D = b 2 — 4 a ( c — x ) y = — b + b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a y = — b — b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x — 2 y 2 — 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
— 2 y 2 — 5 y + 3 — x = 0 D = ( — 5 ) 2 — 4 · ( — 2 ) · ( 3 — x ) = 49 — 8 x y = 5 + 49 — 8 x — 4 y = 5 — 49 — 8 x — 4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
k x = y ‘ ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = — 1 3
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y ‘ = 5 + 49 — 8 x — 4 ‘ = 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y ‘ = 5 — 49 — 8 x — 4 ‘ = — 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = — 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 — 49 — 8 · 23 4 — 4 = — 5 + 3 4
Имеем, что точки касания — 23 4 ; — 5 + 3 4 .
Ответ: уравнение касательной принимает вид
http://www.evkova.org/krivyie-vtorogo-poryadka
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/proizvodnye/kasatelnaja-k-grafiku-funktsii-v-tochke/