Как найти уравнение медианы в векторной алгебре

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6e2006a50ac03a56 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Контрольная работа: Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

Краткие сведенияи задачи по курсу векторной и линейной алгебры

1. Найти скалярное произведение .

2. При каком значении α векторы и ортогональны?

;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.

3. Для прямой М₁ М₂ написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М₁ (0,-3) М₂ (2,1).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:

,

Уравнения прямой в отрезках для прямой М₁ М₂

;

4. В треугольнике М₀ М₁ М₂ найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М₀ , а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М₁ М₂ .(М₀ (-1,-2); М₁ (0,-3); М₂ (2,1)).

Найдём координаты точки М₃ , координаты середины стороны М₁ М₂ :

уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

уравнение для высоты М₀ М₃ :

Найдём уравнение прямой М₁ М₂ :

Из условия перпендикулярности (k₂ =-1/k₁ ) следует, что k₂ =1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

тогда уравнение для высоты примет вид:

Расстояние от точки М(x₀ ,y₀ ) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:

Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М₀ (-3,-5) до прямойМ₁ М₂ , уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):

Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).

Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2).

Уравнение прямой EF:

y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.

5. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

(1)

Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1))

(2)

Подставим (2) в (1), получим

кривая второго порядка является эллипсом.

т.к.

Координаты центра: O’(-3,-1).

6. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.

1)

2)

Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем:

Ответы на вопросы

1. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .

2. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: .

Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы:

3. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

1. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

2. система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.

т.к. detA0, то матрица является невырожденной.

;

.

.

.

5. Найти скалярное произведение .

6. При каком значении α векторы и ортогональны?

;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.

7. Для прямой М₁ М₂ написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М₁ (2,-2) М₂ (1,0).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:

,

здесь

Уравнения прямой в отрезках для прямой М₁ М₂

;

8. В треугольнике М₀ М₁ М₂ найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М₀ , а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М₁ М₂ .(М₀ (-3,-5); М₁ (2,-2); М₂ (1,0)).

Найдём координаты точки М₃ , координаты середины стороны М₁ М₂ :

уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

уравнение для высоты М₀ М₃ :

Найдём уравнение прямой М₁ М₂ :

Из условия перпендикулярности (k₂ =-1/k₁ ) следует, что k₂ =-1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

тогда уравнение для высоты примет вид:

Расстояние от точки М(x₀ ,y₀ ) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:

Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М₀ (-3,-5) до прямойМ₁ М₂ , уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):

Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).

Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).

Уравнение прямой EF:

y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.

9. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

(1)

Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))

(2)

Подставим (2) в (1), получим

кривая второго порядка является эллипсом.

т.к.

Координаты центра: O’(-2,2).

10. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.

1)

2)

Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:

Ответы на вопросы

4. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .

5. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде:

.

Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:

6. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

3. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

4. система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.

r=2; система совместима.

х 3,x4 – свободные переменные

;.

т.к. detA0, то матрица невырождена.

.