Как найти уравнение окружности проходящей через точки

Как найти уравнение окружности проходящей через точки

Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).

Искомое уравнение имеет вид (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 . Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:

Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем

Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь

Отсюда . Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим . Искомое уравнение имеет вид

или после упрощений x 2 + y 2 + 3x + 9y — 10 = 0.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн калькулятор выводит уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Первая точка

Вторая точка

Третья точка

Центр

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). «Нет решений» — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

составить уравнение окружности проходящей через точки А (7;7) и В (-2,4),если ее центр лежит на прямой 2x-y-2=0

1. Уравнение окружности выглядит так:
(x + x0)^2 + (y + y0)^2 = R^2
где точка О (х0, у0) — центр окружности,
R — радиус окружности.
В этом уравнении х и у являются переменными, а х0, у0 и R — числовыми значениями, полностью определяющими окружность (ее центр и радиус) . Т. е. для нахождения уравнения окружности необходимы именно эти 3 параметра.
2. Т. к. точки А и В лежат на окружности, то если подставить их координаты в уравнение окружности, то оно станет тождеством:
(7 + x0)^2 + (7 + y0)^2 = R^2
(x0 — 2)^2 + (4 + y0)^2 = R^2
кроме того мы знаем, что т. О (х0, у0) лежит на прямой, т. е. ее координаты удовлетворяют уравнению прямой:
2×0 — y0 — 2 = 0
Вот Вам 3 уравнения и 3 неизвестных.
3.Из третьего уравнения получим:
y0 = 2×0 — 2
Подставим в 1 и 2 уравнения:
(7 + x0)^2 + (7 + 2х0 — 2)^2 = (7 + x0)^2 + (5 + 2х0)^2 = R^2
(x0 — 2)^2 + (4 + 2х0 — 2)^2 = (x0 — 2)^2 + (2 + 2х0)^2 = R^2
Раскрывая скобки, получим систему:
х0^2 + 14×0 + 49 + 4×0^2 + 20×0 + 25 = R^2
x0^2 — 4×0 + 4 + 4×0^2 + 8×0 + 8 = R^2
или:
5×0^2 + 34×0 + 74 = R^2
5×0^2 + 4×0 + 12 = R^2
Вычитая второе уравнение из 1-го получим:
30х0 + 62 = 0
х0 = — 62/30
Далее подставляя это значение в уравнение прямой найдете у0, а затем, подставив найденные х0, у0 и координаты любой из точек А или В в уравнение окружности найдете величину R^2. После этого составляете искомое уравнение окружности.
Успехов!

1. Определить угловой коэффициент прямой АВ.
2. Определить координаты середины АВ.
3. Зная угловой коэффициент АВ и координаты середины АВ, составить уравнение перпендикуляра к АВ, проходящего через середину АВ.
4. Найти точку пересечения перпендикуляра с заданной прямой. Координаты точки пересечения — координаты центра окружности.
5. Зная координаты центра окружности и координаты точки А, находим радиус окружности.
6. Зная координаты центра и величину радиуса, подставляем эти значения в каноническое уравнение окружности.