Как найти уравнение отраженного луча

Решение типовых задач контрольной работы по разделам 1 и 2

Тема «Функции нескольких переменных» будет рассмотрена после определенного интеграла.

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1. Действия с матрицами

1.1.1. Выполнить действия

Сначала умножаем матрицу на число, а затем вычитаем из одной матрицы другую

б) нужно перемножить две матрицы: С = AS. Это возможно в случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы S. Элемент Cjk матрицы С имеет вид:

(г = 1, 2, . и; к = 1, 2, . и), т. е. элемент матрицы С, стоящей в г-й строке и к-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов г-й строки матрицы А и к-го столбца матрицы S.

Справа от определителя приписываются два первых столбца, берутся со знаком «+» три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух диагоналях ей параллельной и со знаком минус три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и двух диагоналях ей параллельной;

б) разложением по строке.

Определитель D равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения

где Aj — алгебраическое дополнение элемента определителя Яу, равное

1.2.1. Убедимся, что определитель D равен нулю

а) по определению (одной из схем):

Здесь Mj — минор элемента Яу, т. е. определитель (n — 1)-го порядка, получающийся после вычеркивания из определителя n-го порядка i-й строки и у-го столбца.

Вычисляем определитель D разложением по элементам первой строки

1.3. Обратная матрица

1.3.1. Найти обратную матрицу к матрице А и проверить выполнение равенства А ¦ A1 = £:

то матрица А является невырожденной и для нее существует об-

ратная матрица А 1.

Находим алгебраические дополнения для определителя Д:

Составляем матрицу из этих алгебраических дополнений и транспонируя ее, получаем присоединенную матрицу (А*):

Вычисляем обратную матрицу А

Так как А ¦ А 1 = то обратная матрица найдена правильно;

Находим алгебраические дополнения

Отсюда: х = 1,5; у = 3.

1.4.1. Записать систему в матричном виде Ах = b :

и решить ее средствами матричного исчисления.

Решение этой системы через обратную матрицу А 1 имеет вид

В пункте 1.3.1: а) была найдена обратная матрица А 1, тогда

Можно сделать проверку, т. е. подставить найденные значения х и у в исходную систему уравнений.

1.4.2. Решить систему методом исключения переменных (методом Гаусса):

Выберем в качестве первого ведущего уравнения — первое уравнение системы и оно в дальнейшем остается без изменения, а в качестве первого ведущего неизвестного — хь

Исключаем неизвестную х1 из второго и третьего уравнений системы с помощью первого уравнения. Для этого из 1-го уравнения вычитаем второе, получим х2 + 2х3 = 0, затем 1-ое уравнение умножаем на 3, а 3-е уравнение — на 2 и вычитаем из одного другое, получим 2х2 + х3 = 3.

Неизвестная х1 исключена. Первый шаг закончен. Теперь второе уравнение берется за ведущее и оно в дальнейшем не изменяется, а за ведущую неизвестную принимается х2. Исключаем из 3-го уравнения х2, для этого 2-ое уравнение умножаем на 2 и вычитаем из него 3-е уравнение системы, получаем 3х3 = -3.

Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратным ходом получаем:

Итак, х1 = 4, х2 = 2, х3 = -1.

1.4.3. Дана система

Рассмотрим минор 2-го порядка

Так как миноры d^, и d| равны нулю, то ранг системы

равен двум, а так как минор = 0, то и ранг расширенной матрицы равен двум. Равенство рангов расширенной матрицы и матрицы системы на основании теоремы Кронекера—Капелли говорит о том, что система алгебраических уравнений совместна, т. е. имеет решение.

2. Найти общее решение системы в виде

Так как число неизвестных пять, а ранг матрицы равен двум, то разность между ними, равная трем (n — r = 5 — 2 = 3), говорит

о том, что три неизвестных будут свободными, пусть это будут x3, x4, x5.

Берем первые два уравнения системы и записываем их относительно x1 и x2 (коэффициенты при этих неизвестных составляют минор 2-го порядка отличный от нуля), а неизвестные x3, x4, x5 переносим в правую часть:

Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 и x2. Умножая первое уравнение на 5, а второе на 7 и вычитая одно из другого, найдем x1 и подставляя его в 1-ое уравнение, после преобразований получим выражение для x2:

3. Найти частное решение системы a = (х1, х2, х3, х4, х5), положив х3 = 5, х4 = 2, х5 = 3 и проверить систему.

Находим х1 и х2:

Следовательно, частное решение имеет вид:

Подставляем в исходную систему значенш

Выполнение тождества для всех уравнений системы говорит о том, что векторЯвляется частным реше

нием исходной системы уравнений.

1.5. Собственные числа и собственные векторы

1.5.1. Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы

отсюда (5 — 1) ¦ (-1) — 2 ¦ 7 = 0, или I2 — 51 — 14 = 0. Корни этого уравнения 1 = -2 и 12 = 7 и являются собственными числами.

Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений

Полагая 1 = 11 = -2, получаем систему уравнений для первого собственного вектора U(M1, M2):

Следовательно, первым собственным вектором, определяющим первое собственное направление, является

Меняя M2, будем получать различные векторы, лежащие на одной прямой (коллинеарные). Все они — собственные.

Полагая 1 = 12 = 7, получаем систему уравнений для отыскания координат второго собственного вектора V (V1; v2):

Отсюда v1 = v2 — общее решение (v2 — свободная, v1 — базисная переменная).

Второй собственный вектор V(V1; v2) = (v2; v2) = V2 (1; 1) определяет второе собственное направление.

2.1. Прямая линия на плоскости

2.1.1. На прямую /: 3x + 2y — 12 = 0, которая способна отражать лучи, падает луч, заданный уравнением I1: 3x + 4y — 18 = 0. Составить уравнение отраженного луча.

Решение. Так как угол падения луча равен углу отражения луча, то Zj = Z j2, т. е. tg j1 = tg j2 (рис. 31).

Уравнение отраженного луча — прямой /2 — ищем в виде: y — yA = k2(x — xa).

Для нахождения координат точки А решим систему уравнений:

Вычитая, найдем: -2у + 6 = 0, у = 3 и 3x = 12 -2у = 12 — 2 ¦ 3 = 6, x = 2, т. е. xA = 2 и yA = 3.

Найдем угловые коэффициенты прямых / и /1:

Запишем тангенс угла между прямыми / и /1:

Для нахождения углового коэффициента прямой /2 запишем тангенс угла между прямыми / и /2 и учтем, что tg Р1 = tg (pi-

Отсюда Т огда искомое уравнение отраженного луча

2.1.2. Дан треугольник АВС с вершинами А(5; 6), B(4; -5), C(-4; 5) (рис. 32).

Найдем уравнения всех сторон треугольника и их угловые коэффициенты.

Уравнение прямой AS:

отсюда 11 ¦ х — у — 49 = 0 или у = 11х — 49 и угловой коэффициент прямой AS равен: Kab = 11.

Уравнение прямой AC:

Уравнение прямой SC: отсюда

а) вычислим величину внутреннего угла А треугольника:

отсюда ZA = 78°27’55» = 1,37 (с точностью до 0,01) радиан;

б) найдем точку M пересечения медиан.

Определяем координаты точек K и O, делящих стороны AS и SC попалам:

Уравнение медианы CK:

отсюда

Уравнение медианы AO:

отсюда

Решая систему уравнений, описывающих медианы CK и AO, найдем координаты точки M:

в) находим точку Р пересечения высот CD и AE.

Уравнение высоты CD ищем в виде: y — yC = KCD(x — xC) и так как прямая CD L прямой AS, то

Уравнение высоты AE берем в виде: y — yA = KAE(x — xA) и так как прямая AE L прямой SC, то

г) определяем длину высоты треугольника А£, опущенной из вершины А на сторону SC, для чего запишем нормальное уравнение прямой SC:

е) находим систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника ASC вместе с границами.

Тогда длина высоты А£ равна:

д) площадь треугольника найдем по формуле:

Имеем:

Берем любую точку, лежащую внутри треугольника ASC, например, точку (1; 1) и подставляем ее координаты в левую часть уравнений сторон: 11 ¦ 1 — 1 — 49 = -39 0;

1 — 9 ¦ 1 + 49 = 41 > 0, следовательно, система неравенств имеет вид:

Отражение и преломление света

Содержание:

Преломление света – явление изменения направления распространения света при прохождении через границу раздела сред с разными оптическими свойствами. Закон прямолинейного распространения света: в однородной оптической среде свет распространяется прямолинейно. Закон отражения света: луч падающий, луч отражённый и нормаль к отражающей поверхности в точке падения лежат в одной плоскости.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Отражение и преломление света

Отражение света — это изменение направления световой волны при падении на границу раздела двух сред, в результате чего волна продолжает распространяться в первой среде.

Преломление света – это явление при котором лучи света меняют свое направление и расположение. Такое явление можно наблюдать поместив карандаш или любой продолговатый объект в стакан наполненный водой.

Световой луч и световой пучок

Световым лучом называется то направление, по которому распространяется свет. Так как светящаяся точка испускает свет по всем направлениям, то любая прямая, проведённая из этой точки, представляет световой луч.

Из нашего определения ясно, что световой луч есть понятие чисто геометрическое.

На практике свет всегда распространяется внутри прямолинейно ограниченного конуса, в виде светового пучка.

На рисунке 254 световой пучок изображён тремя лучами: осевым SO и лучами SА и SB, ограничивающими пучок.

Пучок света в чистом воздухе невидим; но если воздух содержит мелкие частички — пылинки, дым или мелкие капельки воды (туман), то благодаря освещённым частичкам пучок света становится видимым.

Во всяком действительном опыте, как уже указывалось, мы имеем дело не со световым лучом, а со световым пучком. Смотря по тому, как он ограничен, мы различаем параллельный, расходящийся и сходящийся пучки (рис. 255).

При помощи диафрагм ширина пучка может быть сделана малой, но не произвольно малой. При уменьшении размеров отверстия диафрагмы, через которое проходит пучок лучей, прямолинейность лучей постепенно нарушается—свет начинает заходить в область тени (на это же указывалось в § 127).

Наш глаз обычно воспринимает расходящиеся пучки лучей, и в месте пересечения этих лучей мы видим светящуюся точку. При этом возможны два случая: 1) точка пересечения лучей действительно существует; тогда видимую светящуюся точку называют действительной; 2) расходящийся пучок лучей не имеет действительной точки пересечения, но глазу она представляется существующей в месте пересечения воображаемых продолжений расходящихся лучей; такая точка называется мнимой. Однако ничего мнимого здесь нет. Где-то существует реальная светящаяся точка, из которой вышли лучи, попавшие в наш глаз. Но не всегда мы видим её там, где на самом деле она находится, и в этом смысле употребляется термин «мнимая точка».

Отдел учения о свете, в котором явления распространения света рассматриваются на основе представлений о световом луче, называется геометрической или лучевой оптикой.

Явления, происходящие при падении света на тела

Когда свет падает на какое-нибудь тело, то, во-первых, часть падающего света отражается от поверхности тела. Такое явление называется отражением света.

Во-вторых, часть света проникает внутрь тела и может распространяться в нём дальше. При этом на поверхности тела эта часть света может изменить первоначальное направление и дальше в теле распространяться по другому направлению. Это явление называется преломлением света.

Если сложить отражённый и преломлённый световые потоки, то их сумма будет равна величине полного светового потока, падающего на тело. Но в процессе распространения света внутри тела интенсивность света постепенно уменьшается вследствие поглощения его средой. При этом световая энергия превращается в другие виды энергии, в частности, она может перейти во внутреннюю энергию тела. Хорошо известно, например, что под действием света тела нагреваются.

Относительная величина отражённого и преломлённого света определяется рядом факторов: веществом тела, состоянием его поверхности, составом самого света, углом падения и др.

Поглощение также зависит от вещества тела и от состава светового потока.

Итак, при падении света на поверхность тела можно наблюдать явления отражения и преломления, а при прохождении его в теле — явление поглощения света.

Законы отражения света

Познакомимся с законами отражения света на опыте.

Установим плоское зеркальце РР в центре кругового диска, разделённого на градусы, так, чтобы лучи падали к основанию перпендикуляра CN, восставленного к плоскости зеркальца (рис. 256). Пусть SC — падающий луч, a — отражённый луч. Точка С — точка падения луча. Угол SCN между падающим лучом SC и перпендикуляром CN называется углом падения. Угол между отражённым лучом и тем же перпендикуляром CN называется углом отражения.

Из опыта видно, что луч падающий и луч отражённый лежат в одной плоскости с перпендикуляром к зеркалу, проведённым из точки падения луча.

Вращая диск, будем менять угол, под которым падает луч на зеркальце, мы заметим, что при этом меняется и угол отражения.

Измеряя каждый раз угол падения и соответствующий ему угол отражения, можно установить, что они равны друг другу.

Таким образом, отражение света происходит по следующим законам:

Отражённый луч лежит в той же плоскости, в которой лежат падающий луч и перпендикуляр к отражающей поверхности, восставленный в точке падения луча.
Угол отражения равен углу падения.

Если падающий луч идёт по направлению , то, строя ход отражённого луча согласно сформулированным выше законам отражения, найдём, что отражённый луч пойдёт по Следовательно, падающий и отражённый лучи света взаимообратимы.

Диффузное и зеркальное отражения

Громадное большинство видимых нами тел не являются источниками света и видимы только в том случае, если на них попадает свет от какого-либо источника. Но видеть предметы мы можем только тогда, когда к нам в глаз попадают лучи света. Таким образом, мы приходим к тому выводу, что освещённые тела отражают свет. При этом следует различать рассеянное (диффузное) отражение от зеркального отражения.

При рассеянном отражении отражённые от предмета лучи распространяются во все стороны, вследствие чего предмет мы видим со всех сторон. Диффузно отражает свет, например, обычный лист бумаги (рис. 257).

Диффузно отражающую поверхность можно представить в виде элементарных плоскостей, различно расположенных и пересекающихся под различными углами. Но если падающий на тело параллельный пучок лучей света отражается в одном определённом направлении, то в этом случае мы говорим о зеркальном отражении (рис. 258). Зеркально отражают свет, например, тщательно отполированные металлы.

Плоское зеркало

Плоским зеркалом называют плоскую поверхность, зеркально отражающую свет.

Пусть MN (рис. 259) — плоское зеркало, S — светящаяся точка, находящаяся перед зеркалом. Из этой точки лучи выходят по разным направлениям: и т. д. От поверхности зеркала эти лучи отражаются и идут по направлениям AD, BE, CF и т. д.

расходящимся пучком. Если такой расходящийся пучок лучей попадёт в глаз, то нам будет казаться, что эти лучи выходят из точки , находящейся на пересечении продолжения этих лучей за зеркалом. Нетрудно доказать из равенства прямоугольных треугольников , что точка находится за зеркалом на таком же расстоянии от него, на каком точка S находится перед зеркалом.

Две точки называются симметричными по отношению к плоскости зеркала, причём точка называется мнимым изображением светящейся точки S.

Зная, как строится изображение светящейся точки, легко построить изображение предмета. Пусть АВ — лицо (рис. 260), находящееся перед зеркалом MN. Все точки этого лица дадут симметричные мнимые изображения за зеркалом. Так, например, изображением точки А будет точка точки В — точка и т.д. Изображение всего лица АВ в зеркале будет иметь ту же величину, что и само лицо, и будет расположено симметрично ему.

Изображение предмета в плоском зеркале, так же как и изображение точки, будет мнимым.

Вогнутое сферическое зеркало

Сферическое зеркало представляет собой тщательно отполированную поверхность шарового сегмента. Сферические зеркала бывают вогнутыми и выпуклыми. Центр шаровой поверхности С называется оптическим центром зеркала (рис. 261); вершима шарового сегмента О — полюсом зеркала.

Всякая прямая, проходящая через оптический центр зеркала С, называется оптической осью зеркала. Оптическая ось СО, проходящая через центр сферы С и полюс зеркала О, называется главной оптической осью.

Угол , образуемый двумя лежащими в одной плоскости с осью радиусами, проведёнными к краям зеркала, называется угловым отверстием зеркала или апертурой.

Лучи, идущие вблизи главной оптической оси, называются осевыми или центральными лучами. Все наши дальнейшие выводы будут относиться именно к таким лучам.

Если на вогнутое зеркало пустить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то лучи эти, отразившись от зеркала, сойдутся в небольшой области пространства, лежащей на оси приблизительно на середине радиуса.

Если такой опыт произвести с солнечными лучами и поместить в то место, в котором сходятся отражённые от зеркала лучи, какое-нибудь тело, то оно будет сильно освещено и даже нагреется, а легко воспламеняющееся вещество может даже загореться.

По этой причине вогнутые зеркала называются собирающими.

Фокус вогнутого сферического зеркала

Пусть на вогнутое зеркало падает осевой луч SA параллельно главной оптической оси зеркала ОС (рис 262). Проведём из центра С сферической поверхности зеркала перпендикуляр СА и построим отражённый луч АВ. Этот луч пересечёт оптическую ось в точке F. Легко показать, что эта точка расположена на половине расстояния ОС, т. е.

— радиус сферической поверхности зеркала.

В самом деле, как внутренние накрест лежащие углы. Но есть угол падения луча, следовательно, и угол отражения луча В треугольнике CFA CF=AF, но так как луч SA— центральный луч, то точки A и О близки друг другу, а это значит, что OF=AF; отсюда что и требовалось доказать.

Точка F, в которой центральный луч. параллельный главной оптической оси зеркала, после отражения пересекает эту ось зеркала, называется фокусом зеркала.

Расстояние OF от вершины зеркала до фокуса называется фокусным расстоянием. Для краткости оно обозначается одной буквой F.

В фокусе собирается после отражения от зеркала весь центральный пучок лучей, падающий на зеркало параллельно главной оптической оси зеркала (рис. 263).

Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно глазной оптической оси, называется фокальной плоскостью.

На рисунке 264 светящаяся точка S расположена перед вогнутым зеркалом. Проведём от неё к зеркалу три центральных луча

и, согласно законам отражения, построим отражённые лучи. Все три отражённых луча пересеклись в одной точке . Так как мы взяли три произвольных центральных луча, то и все прочие центральные лучи, исходящие из точки S, тоже пересекутся в точке . В таком случае будет изображением точки S. Если расположить глаз так, как показано на рисунке 264, то мы увидим в точке светящуюся точку. Следовательно, после отражения от зеркала центральные лучи, исходящие из различных точек предмета, должны пересечься в соответствующих точках и совокупность их — образовать изображение предмета. Проверим это на опыте.

Установив зажжённую свечу перед зеркалом примерно так, как показано на рисунке 265, и расположив соответствующим образом глаз, мы действительно увидим перед зеркалом (при данном расположении свечи относительно зеркала) уменьшенное и обратное изображение свечи. Если там, где мы увидели изображение, поместить лист белой бумаги, то на нём получится изображение пламени свечи, видное со всех сторон, так как белый лист бумаги отражает свет диффузно.

Таким образом, опыт подтверждает наше предположение, что все центральные лучи, исходящие из одной точки, после отражения от вогнутого зеркала пересекаются тоже в одной точке.

Построение изображений в вогнутом зеркале

Мы видели, что все центральные лучи, исходящие из светящейся точки после отражения от сферического зеркала, пересекаются в одной точке, т. е. после отражения от зеркала «точечный» источник света даёт точечное изображение.

Поэтому для изображения точки достаточно знать направление распространения только двух лучей, выходящих из этой точки: их точка пересечения будет точкой пересечения и других лучей, исходящих из данной точки. Лучи эти могут быть выбраны совершенно произвольно, но удобнее всего пользоваться определёнными лучами, направление распространения которых после отражения заранее известно. Изображение предмета складывается из совокупности изображений отдельных точек этого предмета.

Допустим, что нам нужно построить изображение предмета AВ в вогнутом зеркале (рис. 266а).

Проводим из точки А два луча: один — параллельно главной оптической оси, второй — через оптический центр С, после отражения от зеркала первый пройдёт через фокус F, второй — обратно по тому же направлению. Через точку пересечения этих лучей пройдут и все остальные лучи, выходящие из точки А и отразившиеся от зеркала: точка будет изображением точки А. Таким же образом построим и изображение точки В, это будет точка . Изображения остальных точек предмета АВ расположатся между точками и и, следовательно, будет изображением предмета АВ.

На рисунке 266 б предмет АВ находится между фокусом и зеркалом. Изображение предмета — увеличенное и мнимое.

В зависимости от положения предмета по отношению к зеркалу его изображения могут быть действительные и мнимые, прямые и обратные, увеличенные и уменьшённые. На рисунке 267 показана установка для получения изображений лампочки в вогнутом зеркале.

Применение вогнутых зеркал

Вогнутые зеркала находят весьма широкое применение в науке и технике. Например, вогнутыми зеркалами пользуются в тех случаях, когда нужно направить в какое-либо место концентрированный пучок света. Так устраиваются осветители в автомобильных, проекционных и карманных фонарях. В каждом из них за источником света помещается вогнутое зеркало. Примером может служить автомобильная фара, изображённая на рисунке 268.

Вогнутые зеркала (параболические) находят чрезвычайно важное применение при устройстве прожекторов. Прожектор состоит из двух главных частей: мощного источника света (электрической дуги) и большого вогнутого зеркала, помещаемого сзади источника света так, чтобы источник света оказался в фокусе зеркала.

Прожектор как осветитель применяется при киносъёмках, при освещении строительных площадок, стадионов, площадей.

В военном деле прожекторы употребляются для освещения и сигнализации.
Вогнутые зеркала находят весьма важное применение при устройстве телескопов-рефлекторов.

Выпуклое зеркало

Пусть MN — выпуклое зеркало (рис. 269). Поместим перед ним светящуюся точку S и построим её изображение.

Лучи от этой точки после отражения идут расходящимся пучком. Вершина этого пучка лежит за зеркалом в точке пересечения продолжения расходящихся лучей . В этой точке, как было уже указано в § 135, мы и увидим мнимое изображение светящейся точки S. Где бы предмет ни находился относительно выпуклого зеркала, его изображение в зеркале всегда мнимое и уменьшенное. Построение изображения предмета в выпуклом зеркале показано на рисунке 270; здесь АВ —предмет, а — его изображение.

Законы преломления света

Когда луч света падает на гладкую поверхность прозрачной среды, то образуется не один только отражённый луч. Из точки падения луча выходит ещё второй луч, распространяющийся во второй прозрачной среде, его называют преломлённым лучом. Направление преломлённого луча не совпадает с направлением падающего луча, однако между ними существует определённая г связь, которую можно установить на опыте.

На рисунке 271а пучок света падает на полированную поверхность стеклянной пластинки. На границе, разделяющей стекло и воздух, этот пучок раздваивается на два пучка; один из них отражается от поверхности стекла, другой же переходит в стекло, резко изменив своё направление. SO — осевой луч падающего пучка света; — отражённого и — преломлённого пучка.

Сравнив направление преломлённого луча с направлением перпендикуляра On, проведённого к границе в точке падения, мы увидим, что преломлённый луч лежит по ту же сторону перпендикуляра, где находится и луч отражённый . Угол — угол падения луча; обозначим его буквой ; угол между преломлённым лучом и перпендикуляром On называется углом преломления; обозначим его буквой . При изменении угла падения меняется и угол преломления. Угол преломления равен нулю, когда угол падения равен нулю; с увеличением же угла падения увеличивается и угол преломления; однако всё время угол преломления остаётся меньше угла падения.

На рисунке 271 б изображена установка для наблюдения явления преломления света при переходе из воздуха в воду и из воды в воздух.

Возьмём стеклянную пластинку, нижняя грань которой параллельна верхней и покрыта тонким слоем серебра (рис. 272). Пустим на пластинку луч света под углом и проследим ход его из стекла в воздух. Мы заметим, что в этом случае угол преломления всегда больше угла падения. Упав на нижнюю грань под углом , луч отразится от неё и, встретив под этим углом верхнюю грань, выйдет в воздух под некоторым углом . Измерив углы можно убедиться, что они равны: Если падающий луч будет пущен по направлению преломлённого луча, то луч преломлённый пойдёт по линии луча падающего, т. е. луч падающий и луч преломлённый взаимообратимы.

На основании опытов были установлены следующие законы преломления света:

1. Преломлённый луч лежит в той же плоскости, в которой лежат падающий луч и перпендикуляр, восставленный в точке падения луча к границе раздела двух сред.
2. При всех изменениях углов падения и преломления отношение синуса угла падения ксинусу угла преломления для данных двух сред есть величина постоянная, называемая показателем преломления второй среды относительно первой.

Математически этот закон можно написать в виде следующей формулы:

где — угол падения, — угол преломления и п — показатель преломления.

Показатель преломления данного вещества по отношению к вакууму называется абсолютным показателем преломления этого вещества.

Практически показатель преломления определяется обычно относительно воздуха, а не относительно вакуума. Чтобы получить показатель преломления данного вещества относительно вакуума, надо значение показателя преломления этого вещества относительно воздуха умножить на абсолютный показатель преломления воздуха, равный 1,0003.

Величина показателя преломления для данного вещества зависит от цветности лучей света.

Несколько значений показателей преломления для красного света даны в нижеследующей таблице.

При сравнении двух веществ то из них, которое имеет больший показатель преломления, называется оптически более плотным.

Понятие показателя преломления имеет глубокое физическое содержание. Абсолютный показатель преломления (п) указывает, во сколько раз скорость света в вакууме (с) больше скорости света () в данном веществе, т. е.

Этот важный вывод вытекает из волновой теории распространения света, основы которой будут изложены в главе IX.

Полное отражение света

Рассмотрим подробнее случай перехода света из оптически более плотной среды в менее плотную.

Пусть на границу MN стекло — воздух из стекла падает расходящийся пучок света. Определим его тремя лучами — двумя крайними I и III и осевым II (рис. 273,а). У границы часть пучка отразится в стекло, часть перейдёт в воздух. Будем постепенно увеличивать угол падения. Мы заметим, что по мере возрастания угла падения яркость отражённого пучка будет возрастать, а преломлённого уменьшаться. При некотором угле падения луч I будет скользить по поверхности раздела (рис. 273,6). При увеличении угла падения то же произойдёт и с осевым лучом // и, наконец, с лучом ///. При дальнейшем увеличении угла падения луча /// преломлённого пучка уже не будет, весь падающий пучок отразится в стекло (рис. 273, е). Такое явление называется полным отражением.

Наименьший угол падения, при котором наступает полное отражение, называется предельным углом полного отражения.

Таким образом, полное отражение наблюдается при переходе света из оптически более плотной среды в менее плотную в том случае, если все лучи заданного пучка падают под углом, большим предельного.

Предельному углу падения соответствует угол преломления, равный 90°. Пусть показатель преломления стекла относительно воздуха — п; тогда на основании закона преломления света и свойства обратимости луча можно написать:

отсюда

Из полученного соотношения вычисляется предельный угол полного отражения. Для воды (n=1,33) этот угол равен 48°,5, для стекла (n=1,51) 42°, а для алмаза (п = 2,4) предельный угол равен 24°,5.

Полное отражение широко используется в различных оптических приборах, например в полевых биноклях, перископах и т. д.

Полным отражением объясняется целый ряд явлений, например блеск капель росы при солнечном свете, светящиеся фонтаны, блеск («игра») бриллиантов, образование миражей и т. д.

Изменение светового потока при отражении и преломлении

Допустим, что свет, падающий на границу раздела двух сред, не поглощается второй средой. Часть светового потока отражается от поверхности раздела сред, другая же часть проникает во вторую среду и распространяется в ней. При таких условиях

Из этого равенства следует, что как отражённая, так и преломлённая части потока света в отдельности не равны падающему потоку света; это легко можно заметить и в наших опытах (рис. 273). Кроме того, опыт показывает, что при малых углах падения преломлённый поток света значительно больше отражённого. По мере же увеличения угла падения увеличивается и отражённый поток, между тем как преломлённый поток уменьшается.

Кроме того, отражённый поток света зависит от оптических свойств тех двух сред, граница между которыми отражает свет. Оказывается, чем больше разница между показателями преломления обеих сред, тем больший поток отражается. Если показатели преломления обеих сред одинаковы, то свет вообще не отражается.

Так, например, показатель преломления кедрового масла весьма близок к показателю преломления стекла; поэтому стеклянная палочка, погружённая в кедровое масло, невидима (несветящиеся тела мы видим благодаря отражённому свету). Этим свойством веществ пользуются для склеивания стёкол в оптических приборах, подбирая такие склеивающие вещества, показатель преломления которых близок к показателю преломления стекла.

Прохождение света через прозрачную пластинку с параллельными гранями

Практически большое значение имеет случай, когда свет переходит из одной среды в другую и затем снова выходит в первую, т. е. свет проходит через какое-либо оптически прозрачное тело. Поверхности раздела могут быть при этом самыми разнообразными. Мы прежде всего разберём случай, когда свет проходит через пластинку, ограниченную параллельными плоскостями.

Пусть — плоско-параллельная пластинка (рис. 274). Легко показать, что луч SO пучка света, падающего на пластинку, после двух преломлений выйдет наружу по направлению , параллельному SO.

Обозначим угол падения луча SO через , а угол преломления через . Вследствие параллельности плоскостей луч, пройдя стекло, встретит плоскость пластинки под углом и, следовательно, выйдет из неё под углом Таким образом, при прохождении через плоско-параллельную пластинку луч света не изменяет своего направления, он только смещается. Чем толще пластинка, тем значительнее будет это смещение. Если рассматривать предмет через плоско-параллельное стекло, то он будет казаться нам сдвинутым относительно своего истинного положения.

Прохождение света через прозрачную треугольную призму

На рисунке 275а АВ и АС — плоские поверхности призмы, ограничивающие её преломляющий угол . Плоскость чертежа

перпендикулярна к обеим преломляющим поверхностям призмы и представляет собой сечение призмы. Пусть на грань АВ этой призмы падает какой-нибудь одноцветный, например красный, пучок лучей света (на рис. 275а показан только осевой луч DE этого пучка). В точке Е луч DE преломится и пойдёт внутри призмы по направлению EF. У грани АС этот луч ещё раз преломится, отклоняясь к грани ВС. Вышедший из призмы луч света после двукратного преломления отклонится на угол . Величина угла отклонения зависит от преломляющего угла призмы и показателя преломления вещества призмы п. Если рассматривать какой-либо предмет через треугольную призму, то предмет покажется смещённым к вершине угла, образованного плоскостями, через которые проходят лучи от источника (рис. 275 б).

Если пропускать пучок лучей на одну из граней стеклянной равнобедренной прямоугольной призмы ABC (рис. 276), то внутри призмы лучи отразятся от грани призмы АС, испытав полное отражение, так как в этом случае угол падения лучей на грань АС больше 42°, т. е. больше предельного угла для стекла. Прямоугольная призма ABC в положениях, показанных на рисунке, может быть использована для поворота светового пучка на 90° и для обращения какого-либо изображения, получающегося в оптическом приборе. В последнем случае нижние лучи, отразившись внутри призмы от грани АС, по выходе из призмы становятся верхними, а верхние — нижними. Такая призма называется оборотной и применяется во многих оптических приборах, в частности в призматическом бинокле.

Линзы

Прозрачные для света тела, ограниченные с двух сторон сферическими или иными кривыми поверхностями (одна из двух поверхностей может быть плоской), называются оптическими стёклами или линзами.

По форме ограничивающих поверхностей линзы могут быть сферическими, цилиндрическими и другими (в дальнейшем будут рассматриваться только сферические линзы).

Линзы, у которых середина толще, чем края, называются выпуклыми; те же линзы, у которых края толще середины, называются вогнутыми.

На рисунке 277 изображены в поперечном разрезе различные виды сферических линз: 1, 2, 3 — выпуклые линзы; 4, 5, 6—вогнутые линзы.

Пустим параллельный пучок лучей света на выпуклую линзу, а за линзой поместим экран. Перемещая экран относительно линзы, мы получим на нём небольшое светлое пятно. Выпуклая линза, преломляя падающие на неё лучи, собирает их. Поэтому такая линза называется собирающей. Вогнутая же линза, преломляя свет, рассеивает его в стороны. Такая линза называется рассеивающей.

Рисунок 278 поясняет действие собирающих и рассеивающих линз. Собирающую линзу можно представить в виде совокупности большого числа призм, расширяющихся к середине линзы, а рассеивающую — как совокупность большого числа призм, расширяющихся к краям.

Известно, что каждая призма отклоняет лучи света к грани, лежащей против преломляющего угла; величина отклонения зависит от величины отклоняющего угла. Понятно, что линзы с утолщением на середине отклоняют лучи к середине, собирая их, линзы же с утолщением по краям отклоняют лучи к краям, т. е.

рассеивают их. Середина линзы действует как плоско-параллельная пластинка.

Мы будем рассматривать только очень тонкие линзы, в которых расстояние между краями очень мало по сравнению с расстояниями (рис. 279). В таких линзах практически точки можно считать сливающимися в одной точке О. Эту точку О называют оптическим центром линзы.

Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Оптическая ось, проходящая через центры сферических преломляющих поверхностей , образующих линзу, называется главной оптической осью линзы (рис. 279), другие — побочными осями.

Луч света, идущий по какой-либо из оптических осей, проходит тонкую линзу, не меняя своего направления.

Фокус линзы

Если направить на собирающую линзу осевой луч SE, параллельный её оси (рис. 280), то, пройдя линзу, этот луч пересечёт ось на определённом расстоянии от линзы —

в точке F. Расстояние OF называется фокусным расстоянием линзы, а самая точка F называется фокусом линзы. У всякой линзы два фокуса, по обе стороны её.

Основываясь на законах преломления света, можно теоретически доказать, что все осевые лучи, т. е. лучи, идущие вблизи главной оптической оси, падающие на тонкую собирающую линзу параллельно её оси, сходятся в фокусе. Опыт подтверждает это теоретическое доказательство (рис. 281).

Пустив пучок осевых лучей параллельно главной оптической оси на тонкую двояковогнутую линзу (рис. 282), мы заметим, что из линзы лучи выйдут расходящимся пучком. Если такой расходящийся пучок попадёт в наш глаз, то нам будет казаться, что лучи выходят из одной точки F. Эта точка называется мнимым фокусом двояковогнутой линзы.

Плоскость MN, проведённая через фокус линзы перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной плоскостью линзы (рис. 283). Фокальных плоскостей у линзы две, и расположены они по обе стороны линзы.

Когда на линзу падает пучок лучей, параллельных какой-либо побочной оптической оси, то после преломления в линзе он сходится на соответствующей побочной оптической оси в месте её пересечения с фокальной плоскостью (рис. 283).

Оптическая сила линзы

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы F, называется оптической силой D линзы:

За единицу оптической силы линзы принимается оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м; такая единица называется диоптрией.

У выпуклых линз оптическая сила положительна, у вогнутых — отрицательна.
Пример. Чему равна оптическая сила очковой выпуклой линзы, фокусное расстояние которой F=50 см?

Величина фокусного расстояния линзы, а следовательно, и её оптическая сила определяются показателем преломления вещества линзы и радиусами сферических поверхностей, её ограничивающих.

Теория даёт формулу, по которой можно рассчитать оптическую силу линзы:

В этой формуле п — показатель преломления вещества линзы, — радиусы кривизны поверхностей линзы. Радиусы выпуклых поверхностей считаются положительными, вогнутых — отрицательными.

Изображение точки в собирающей линзе

Теория показывает и опыт подтверждает, что осевые лучи, вышедшие из одной светящейся точки, после прохождения через линзу сходятся также в одной точке, которая называется изображением первой точки.

Этим важным положением можно воспользоваться для нахождения изображения светящейся точки в собирающей линзе путём геометрического построения хода центральных (осевых) лучей.

Так как все центральные лучи, выходящие из одной точки, пройдя через собирающую линзу, сходятся в одной точке, то для построения изображения её достаточно найти точку пересечения каких-либо двух лучей.

Построим, например, изображение светящейся точки (рис. 284а). Проще всего это можно выполнить при помощи лучей, указанных на этом рисунке. Один из них — луч SC, параллельный главной оптической оси, преломившись в линзе, пройдёт через фокус линзы F; другой луч SD, идущий из точки S через фокус F, за линзой пойдёт параллельно оси линзы. Третий луч SO пройдёт через оптический центр линзы, не преломляясь. Ход всякого иного луча, выходящего из точки S, нужно было бы строить, применяя законы преломления света, что значительно сложнее. Но в этом нет никакой необходимости, так как все центральные (осевые) лучи, выходящие из точки S, преломившись в линзе, обязательно пройдут через точку .

Построим изображение точки S, лежащей на оптической оси линзы (рис. 2846). Для этого проведём из точки S на линзу какой-нибудь луч. Параллельно этому лучу проведём побочную оптическую ось ВС, которая пересечёт фокальную плоскость MN в точке С. После преломления в линзе через точку С пройдёт весь

пучок света, параллельный побочной оптической оси ВС; следовательно, через эту точку пройдёт и луч SA. Главную оптическую ось этот луч пересечёт в точке , которая и является изображением точки S. Второй луч из S направлен вдоль главной оптической оси.

Выбранные нами лучи для построения изображения точки не обязательно должны пройти через линзу.

Так, например, на рисунке 285 лучи SA и SB не проходят через линзу, но могут быть использованы для построения изображения точки, которое, очевидно, определится пучком реальных лучей, вышедших из точки S и ограниченных размерами линзы. Этот реальный пучок, преломившись в линзе, пройдёт через точку .

Изображение предметов в собирающей линзе

Рассматривая предмет как совокупность точек и пользуясь свойством центральных лучей, выходящих из точки после преломления в линзе, собираться также в точке, можно геометрически построить изображение предмета в линзе.

Построим, например, изображение предмета АВ в собирающей линзе (рис. 286). Для этого достаточно построить изображение двух его крайних точек А и В. При построении же изображения, например точки A, проще всего провести из этой точки два луча: один параллельно главной оптической оси линзы, другой через оптический центр линзы, т. е. по побочной оптической оси .

После прохождения линзы оба луча пересекутся в точке . Таким же способом строим изображение точки В. Изображения остальных точек предмета расположатся между точками . Таким образом, является изображением предмета АВ. Изображение — действительное, обратное и уменьшённое.

На рисунке 287 показано построение изображения предмета, расположенного относительно линзы на расстоянии, меньшем фокусного расстояния. В этом случае изображение получается мнимое.

Характер получаемого от линзы изображения предмета, т. е. его величина и положение, зависит от положения предмета относительно линзы. Местонахождение изображения предмета и его величина могут быть найдены с помощью формулы линзы.
На рисунке 288 показана установка для получения изображения с помощью линзы.

Формула линзы

Для вывода формулы линзы воспользуемся рисунком 289. Здесь АВ — предмет, — его изображение. Исходя из подобия прямоугольных треугольников FOC и , можно написать:

Из подобия треугольников имеем:

Так как АВ=ОС, то левые части равенств (1) и (2) равны между собой. Приравнивая правые части этих равенств, мы получим:

или, заменяя — расстояние изображения от линзы, ВО=d— расстояние предмета от линзы, получим:

откуда

или

Разделив обе части последнего равенства на получим формулы линзы:

Отсчёт расстояний d, f и F производится от оптического центра линзы. Величины d и F, входящие в формулу выпуклой линзы, всегда положительные, величина же f в случае мнимых изображений отрицательна; она откладывается по ту же сторону от центра линзы, что и величина d.

Отношение линейного размера изображения к размеру предмета АВ называется линейным увеличением линзы.

Обозначая линейное увеличение буквой k, получаем:

Так как то из этого следует, что линейное увеличение линзы

Двояковогнутая линза

Построим изображение точки, даваемое двояковогнутой линзой. Лучи от светящейся точки S после прохождения линзы идут расходящимся пучком (рис.290), но нам будет казаться, что эти лучи выходят из одной точки, находящейся перед линзой, из точки , которая и является мнимым изображением точки S.

Проделав опыт с двояковогнутой линзой, легко убедиться, что изображения предметов в ней всегда мнимые, уменьшённые и прямые, независимо от того, на каком расстоянии от линзы находится предмет.

Отражение и преломление света и его определение

Свет — это электромагнитные колебания определенного диапазона длин волн — видимое оптическое излучение (от фиолетового до красного), которые воспринимает человеческий глаз.

Оптические явления на границе раздела двух прозрачных сред

Вспомним, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Это дает возможность при описании распространения света в такой среде пользоваться световыми лучами.

Изменение направления распространения света происходит на границе раздела двух различных сред. Поэтому, если установить из опытов законы, позволяющие точно определять такие изменения, то с помощью световых лучей можно описывать ход многих оптических явлений, не учитывая физической природы светового излучения. Часть оптики, в которой используется такой метод описания явлений, называют геометрической оптикой. В этой главе рассматриваются законы, которым подчиняются оптические явления, происходящие на границе раздела двух прозрачных сред.

Когда на поверхность воды из воздуха падает тонкий пучок света (рис. 29.1), то можно заметить, что в точке падения О часть света отражается, а часть проникает в воду и при этом преломляется. Вспомним, что углы и соответственно называют углом падения и углом отражения (§ 24.19). Угол составленный преломленным лучом и перпендикуляром к поверхности раздела двух сред в точке падения лучей, называют углом преломления.

Возникает вопрос: сколько энергии, принесенной излучением на поверхность раздела двух сред, унесут отраженные лучи и сколько — преломленные? Пусть излучение приносит в точку О за некоторое время энергию Дальше эта энергия разделяется: одну ее часть уносят отраженные, а другую — преломленные лучи. Из закона сохранения энергии следует, что

Поскольку всякая среда (кроме вакуума) поглощает энергию излучения, это равенство справедливо только при измерении энергии вблизи точки О. Если световое излучение проходит в среде значительные расстояния, мало ослабляясь, то среду называют прозрачной (например, стекло, воду, спирт и т. п.). Напротив, металлы очень сильно поглощают проникающее в них световое излучение, т. е. непрозрачны для него. Большую часть падающего на них излучения они отражают.

Вспомним, что морская вода и другие электролиты — хорошие проводники электрического тока, но слабо поглощают видимое излучение и этим резко отличаются от металлов. Это объясняется тем, что в электролитах нет свободных электронов, а ионы из-за своей сравнительно большой массы не успевают следовать высокочастотным колебаниям в световом луче.

Итак, каждая среда в той или иной степени отражает и поглощает световое излучение. Отражение и поглощение падающего на тело излучения зависят от рода вещества, от состояния поверхности, от состава излучения, от угла падения лучей и других причин. При увеличении угла падения лучей доля отраженного света увеличивается, а проникающего — уменьшается.

Заметим, что зависимость отражения и поглощения от частоты колебаний чаще всего имеет избирательный характер, т. е. колебания с одной частотой вещество отражает или поглощает сильно, а с другой — слабо. Например, атмосфера Земли сильно поглощает короткие волны видимого спектра и значительно слабее — его длинные волны. (Подумайте, почему в качестве сигнала об опасности используется красный свет, хотя наибольшая чувствительность глаза относится к зеленым лучам.)

Законы отражения света

С помощью опытов законы отражения для светового излучения были найдены еще в III в. до н. э. древнегреческим ученым Евклидом. В современных условиях проверка этих законов делается с помощью оптической шайбы (рис. 29.2). Она состоит из источника света А, который можно перемещать вокруг диска, разделенного на градусы. Направляя свет на отражающую поверхность 3, измеряют углы и

Законы отражения света совпадают с законами отражения волн от препятствий (§24.19).

1. Луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости в перпендикуляром к отражающей поверхности, восставленным в точке падения луча.

2. Угол отражения луча равен углу его падения:

С помощью оптической шайбы можно показать, что падающий и отраженный лучи обратимы, т. е. если падающий луч направить по пути отраженного луча, то отраженный луч пойдет по пути падающего луча.

Законы отражения для сферического фронта волны. Покажем теперь, что они справедливы и для плоского фронта волны, т. е. для случая падения на плоскую поверхность параллельных лучей.

Пусть на гладкую поверхность КМ (рис. 29.3) падает плоская волна, фронт которой в какой-либо момент времени занимает положение A₁B₁. Через некоторое время он займет положение АС. В этот момент времени (мы примем его за нуль) от точки А начнет распространяться отраженная элементарная волна. Пока фронт волны за время t из точки С переместится в точку В, волна из точки А распространится по полусфере на расстояние AD, равное СВ, так как и ( — скорость распространения волн). Новым положением фронта волны после отражения лучей будет касательная к полусфере, проведенная из точки В, т. е. прямая BD. Дальше этот фронт волны будет двигаться параллельно самому себе по направлению лучей АА» или ВВ».

Поскольку прямоугольные треугольники ADB и АСВ имеют общую гипотенузу АВ и равные катеты AD и СВ, то они равны между собой. Поэтому Так как и как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, то т. е. угол падения равен углу отражения, что и требовалось доказать.

Зеркальное и диффузное отражение. Плоское зеркало

Когда отражение света происходит от неровной поверхности, то ход отраженного луча в каждой ее точке определяется следующим образом. В точке падения луча проводится плоскость, касательная к поверхности, от которой происходит отражение, а затем строятся углы падения и отражения по отношению к этой плоскости.

Таким способом определены направления отраженных лучей в различных точках поверхности на рис. 29.4, где видно, что лучи, которые до отражения шли параллельным пучком, после отражения идут в разных направлениях. Такое отражение называют диффузным или рассеянным. Диффузное отражение света происходит от всех шероховатых поверхностей. Рассеянный свет, идущий от поверхностей различных тел, позволяет нам видеть эти тела.

Идеально гладкую поверхность, хорошо отражающую свет, называют зеркальной. Плоская зеркальная поверхность является плоским зеркалом (кроме плоских зеркал бывают сферические, параболические и т. д.). Пучок параллельных лучей после отражения от плоского зеркала остается параллельным, но изменяет направление своего распространения (рис. 29.5). Такое отражение называют зеркальным или правильным. На практике зеркальное отражение получается, если размеры неровностей на поверхности не превышают длины волны светового излучения.

Когда световые лучи от сильного источника света после отражения от плоского зеркала попадают в глаз человека, то они ослепляют его. Диффузное отражение неприятных ощущений в глазу не вызывает.

Если свет, рассеянный поверхностями различных тел, попадает на плоское зеркало, а затем, отражаясь, попадает в глаз человека, то в зеркале видны изображения этих тел. Выясним, как они возникают. Сначала рассмотрим, как получается изображение одной светящейся точки в плоском зеркале.

Пусть над поверхностью зеркала КМ (рис. 29.6) находится точечный источник света S. Луч SA, который идет от источника S по перпендикуляру к зеркалу, после отражения меняет свое направление на противоположное, т. е. идет по пути AS. Из всего множества лучей, попадающих из S на зеркало выделим луч SB, который падает на зеркало под углом i. После отражения он идет по пути BD, причем На рис. 29.6 видно, что лучи, падающие в точки А и В, после отражения идут так, как будто бы они вышли из одной точки S₁, расположенной симметрично точке S относительно зеркала КМ. Докажем это.

Угол равен углу поэтому и Поскольку , то и , т. е. Это означает, что прямоугольные треугольники SAB и S₁AB равны, так как имеют общий катет АВ и равные острые углы 1 и 2. Следовательно, SA =S₁A. Это равенство справедливо для всех лучей, падающих из точки S на зеркало.

Таким образом, когда человек смотрит в зеркало, то он видит изображение источника света S в точке S₁ хотя в действительности лучей, выходящих из точки S₁ и попадающих в глаз, не существует. Поэтому такое изображение принято называть мнимым. Если в точку S₁, где человек видит светящуюся точку, поместить экран, то на нем изображения точки S не получится. Это характерное Свойство мнимого изображения. Во всех других отношениях для наблюдателя мнимое изображение ничем не отличается от действительного.

Итак, в плоском зеркале получается мнимое изображение светящейся точки S, расположенное симметрично ей относительно зеркала в точке S₁.

Представим теперь себе, что перед плоским зеркалом КМ находится предмет, который на рис. 29.7 условно изображен стрелкой BА. Положение изображения этого предмета в зеркале можно найти следующим образом. Опустив из крайних точек предмета перпендикуляры на зеркало и продолжив их за зеркало на расстояние, равное их длине до зеркала, получим точки A₁ и B₁ Соединив эти точки прямой линией, получим изображение стрелки ВА в зеркале. Это изображение будет мнимое и в натуральную величину. Оно имеет следующую особенность, отличающую его от других изображений: по сравнению с самим предметом левая и правая стороны у изображения в зеркале меняются местами. Такое изображение принято называть зеркальным.

Оказывается, что мнимыми бывают не только изображения, но и источники света. Пусть на пути лучей, которые должны сойтись в точке А (такие лучи можно получить с помощью линз), поместили плоское зеркало КМ (рис. 29.8). Тогда после отражения от зеркала лучи сойдутся в точке A₁ и затем уже пойдут расходящимся пучком, т. е. в точке A₁ получится действительное изображение источника света А, симметричное относительно зеркала КМ. Поскольку в точке А источника света в действительности нет, условились считать, что в ней находится мнимый источник света.

Итак, изображение действительного источника света в плоском зеркале получается мнимое и за зеркалом, а изображение мнимого источника света получается действительное и перед зеркалом.

Сферические зеркала

Зеркала, поверхности которых составляет часть поверхности шара, называют сферическими; они бывают вогнутые (рис. 29.9, а) и выпуклые (29.9, б). На рис. 29.9 R — радиус кривизны зеркала. Диаметр КМ окружности, ограничивающей зеркало, называют отверстием зеркала, а самую удаленную от него точку О зеркальной поверхности называют вершиной зеркала. Прямую, проходящую через сферический центр зеркала С и его вершину O, называют главной оптической осью зеркала, а любую другую прямую, проходящую через точку С и поверхность зеркала, называют побочной оптической осью зеркала.

Когда луч света идет по какой-либо оптической оси, то угол его падения на поверхность зеркала равен нулю, поэтому такой луч после отражения идет по той же оптической оси в обратную сторону.

Если на вогнутое зеркало падает пучок лучей, параллельных его главной оптической оси, то после отражения от зеркала эти лучи проходят через точку Ф, лежащую на главной оптической оси (рис. 29.10, а), которую называют главным фокусом зеркала. После отражения от выпуклого зеркала такие лучи идут расходящимся пучком (рис. 29.10, б), но так, что их продолжения тоже сходятся в одной точке Ф (за зеркалом) — главном фокусе зеркала.

Таким образом, вогнутые зеркала являются собирающими. Главный фокус у них действительный. Выпуклые зеркала — рассеивающие, главный фокус у них мнимый. Расстояние от главного фокуса до вершины зеркала ОФ называют главным фокусным расстоянием F.

Когда лучи падают на зеркало параллельно одной из его побочных оптических осей, например АС (рис. 29.11), то после отражения в фокусе зеркала. Если побочные оси составляют небольшой угол с главной оптической осью, то все фокусы зеркала располагаются в фокальной плоскости КМ, проходящей через главный фокус Ф перпендикулярно главной оптической оси.

Выясним, как связано главное фокусное расстояние F с радиусом кривизны зеркала R. Луч АА₁, параллельный главной оптической оси зеркала, после отражения идет по пути А₁Ф (рис. 29.10, а). Соединим точку А₁ со сферическим центром зеркала С. Из законов отражения следует, что Так как то Следовательно, и равнобедренный, т. е. Поскольку поверхность зеркала всегда составляет малую часть сферы, приближенно можно считать Таким образом, Это означает, что точка Ф делит радиус зеркала ОС пополам, т. е.

(29.1)

Из законов отражения следует, что падающий и отраженный лучи в сферических зеркалах обладают обратимостью. Поэтому, если источник света поместить в главный фокус вогнутого зеркала, то после отражения от зеркала лучи практически пойдут параллельно главной оптической оси зеркала (рис. 29.12).

Для получения параллельных пучков света на практике вместо сферического зеркала используют параболическое зеркало, отражающая поверхность которого является частью поверхности параболоида вращения *). Параболическое зеркало дает более направленный пучок света. На этом свойстве зеркал основано устройство прожекторов и рефлекторов (отражателей) различного рода.

*) Параболоид вращения — геометрическое тело, получающееся при вращении параболы вокруг ее оси симметрии.

Построение изображений, получаемых с помощью сферических зеркал. Формула сферического зеркала

Сферические зеркала могут давать различные изображения предметов. Для построения изображения одной точки А, создаваемого сферическим зеркалом, пользуются любыми двумя из трех лучей, показанных на рис. 29.13. Луч 1 из точки А проводится параллельно главной оптической оси. После отражения он проходит через главный фокус зеркала Ф. Луч 2 из точки А проводится через главный фокус Ф. После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси зеркала. Луч 3 проводится через сферический центр С зеркала. После отражения он идет обратно к точке А по той же прямой.

Примеры изображений предметов, создаваемых сферическими зеркалами, показаны на рис. 29.14. Заметим, что выпуклое зеркало всегда дает мнимое изображение предметов.

Выясним, как найти положение изображения светящейся точки А, расположенной на главной оптической оси ОС зеркала (рис. 29.15). Ясно, что изображение точки должно быть на этой же оси (объясните, почему).

Проведем из точки А произвольный луч АВ. В точку его падения В проведем радиус СВ. Он является нормалью (перпендикуляром) к поверхности зеркала, поэтому что и определяет положение отраженного луча BA₁. В точке А₁ и получится изображение точки А. Положение точки А₁ однозначно определяется положением самой точки А. Поэтому точки А и А₁ называют сопряженными.

Обозначим расстояние АО через d, А₁O — через f и ОС— через R. Для зеркал, поверхность которых составляет малую часть поверхности сферы, приближенно можно считать, что и Так как то линия ВС в треугольнике ABA₁ является биссектрисой угла ABA₁, а это означает, что отрезки АС и A₁C пропорциональны сторонам треугольника ABA₁:

или

Преобразуем последнее соотношение:

После деления на получим Заменяя R его значением из (29.1), получим формулу сопряженных точек зеркала:

(29.2)

Эта формула справедлива как для вогнутых, так и для выпуклых зеркал, но числовые значения действительных величин следует подставлять с плюсом, а мнимых — с минусом. Например, главное фокусное расстояние вогнутых зеркал берется со знаком плюс, а выпуклых — со знаком минус. Отрицательный ответ показывает, что соответствующая ему величина — мнимая.

Законы преломления света

Выше говорилось, что преломление света обусловлено изменением скорости распространения света при переходе излучения из одной среды в другую. Рассмотрим более подробно, как волновая теория объясняет преломление света.

Пусть на поверхность раздела двух прозрачных сред КМ (рис. 29.16) падает пучок параллельных лучей А’В’, фронт волны которых в начальный момент времени занимает положение АС. Если скорость распространения излучения в первой среде больше, чем скорость их распространения во второй среде, то за время t перемещения фронта волны на расстояние в первой среде, во второй среде волны распространяются из точки А по полусфере с радиусом Следовательно, фронт волны к этому моменту времени займет положение BD и дальше будет перемещаться параллельно самому себе в направлении АА» или ВВ».

Таким образом, при переходе из первой среды во вторую световые лучи преломляются так, что угол преломления оказывается меньше угла падения i, т. е. лучи приближаются к перпендикуляру AN.

Найдем математическую связь между углами i и . Из прямоугольного треугольника ABC имеем а из треугольника ABD имеем Разделив почленно эти равенства, получим Так как то

(29.3)

Поскольку отношение скоростей света для двух определенных сред есть величина постоянная, ее обозначают и называют показателем преломления второй среды относительно первой:

(29.4)

Из сопоставления формул (29.3) и (29.4) получаем

(29.5)

Справедливость формулы (29.5) можно проверить на опытах с оптической шайбой (рис. 29.17). При этом можно убедиться еще и в том, что падающий и преломленный лучи находятся в одной плоскости с отраженным лучом.

Итак, преломление света подчиняется двум законам.

1. Луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости о перпендикуляром, восставленным в точке падения луча к поверхности раздела двух сред.

2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для двух данных сред есть величина постоянная:

Из второго закона следует, что при увеличении угла падения увеличивается и угол преломления (но не пропорционально).

Падающий и преломленный лучи обладают обратимостью, т. е. если падающий луч в первой среде, изображенный на рис. 29.18, а, направить по пути преломленного луча во второй среде, то после преломления он пойдет по пути падающего луча (рис. 29.18, 6). (Докажите это сами.) Следовательно, когда луч света переходит из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную, то он удаляется от перпендикуляра. Ясно, что числовое значение показателя преломления в этом случае будет меньше единицы.

Именно удалением световых лучей от перпендикуляра при преломлении объясняется кажущееся уменьшение глубины водоема, когда человек смотрит в воду (рис. 29.19, а). Если на дне водоема лежит камень К на глубине h, то человек видит мнимое изображение камня K₁ на глубине h₁. (Покажите, что где п — показатель преломления воды относительно воздуха.)

Когда человек смотрит в воду сбоку, то камень кажется смещенным еще и в горизонтальном направлении (к наблюдателю), так как человек видит мнимое изображение камня (рис. 29.19, б), положение которого зависит от угла падения лучей, попадающих в глаз.

Если лучи света падают на поверхность раздела прозрачных сред перпендикулярно к этой поверхности, то они проникают в другую среду, не преломляясь.

Абсолютный показатель преломления и его связь с относительным показателем преломления

Показатель преломления среды относительно вакуума, т. е. для случая перехода световых лучей из вакуума в среду, называется абсолютным (§ 27.7) и определяется формулой (27.10) :

При расчетах абсолютные показатели преломления берут из таблиц, поскольку их величина определена достаточно точно с помощью опытов. Так как с больше то абсолютный показатель преломления всегда больше единицы.

Если световое излучение переходит из вакуума в среду, то формулу второго закона преломления записывают в виде

(29.6)

Формулой (29.6) на практике часто пользуются и при переходе лучей из воздуха в среду, так как скорость распространения света в воздухе очень мало отличается от с. Это видно из того, что абсолютный показатель преломления воздуха равен 1,0029.

Когда луч идет из среды в вакуум (в воздух), то формула второго закона преломления принимает вид

(29.7)

В этом случае лучи при выходе из среды обязательно удаляются от перпендикуляра к поверхности раздела среды и вакуума.

Выясним, как можно найти относительный показатель преломления по абсолютным показателям преломления. Пусть свет переходит из среды с абсолютным показателем в среду с абсолютным показателем Тогда и откуда

(29.8)

Формулу второго закона преломления для такого случая часто записывают следующим образом:

(29.9)

Вспомним, что по теории Максвелла абсолютный показатель преломления можно найти из соотношения (27.11): Так как у веществ, прозрачных для светового излучения, практически равно единице, то можно считать, что

(29.10)

Поскольку частота колебаний в световом излучении имеет порядок 1014 Гц, ни диполи, ни ионы в диэлектрике, имеющие сравнительно большую массу, не успевают изменять своего положения с такой частотой, и диэлектрические свойства вещества в этих условиях определяются только электронной поляризацией его атомов (§ 15.10). Именно этим объясняется различие между значением из (29.10) и в электростатике. Так, у воды а у ионного твердого диэлектрика NaCl а Когда вещество состоит из однородных атомов или неполярных молекул, т. е. в нем нет ни ионов, ни природных диполей, то его поляризация может быть только электронной. Для подобных веществ из (29.10) и совпадают. Примером такого вещества является алмаз, состоящий только из атомов углерода.

Заметим, что величина абсолютного показателя преломления, кроме рода вещества, зависит еще от частоты колебаний, или от длины волны излучения. С уменьшением длины волны, как правило, показатель преломления увеличивается. Для стекла зависимость показателя преломления от длины волны приведена на рис. 34.3.

Полное отражение света. Предельный угол

Поместим источник света в какую-либо прозрачную среду и будем наблюдать переход светового излучения в среду оптически менее плотную, например в воздух (рис. 29.20).

На поверхности раздела свет будет и отражаться, и преломляться; по мере увеличения угла падения i энергия отраженного света будет возрастать, а энергия преломленного света — убывать. Кроме того, можно еще заметить, что при некотором угле падения i_п преломленный луч скользит по поверхности раздела сред, а при угле падения, большем i_п, преломленных лучей вообще нет. Явления такого рода можно обнаружить только в тех случаях, когда свет падает на поверхность раздела со стороны среды оптически более плотной, т. е. когда лучи при преломлении удаляются от перпендикуляра к поверхности раздела сред. Явление, при котором световое излучение полностью отражается от поверхности раздела прозрачных сред, называют полным отражением света.

Граница, отделяющая частично отраженные лучи от полностью отраженных лучей, определяется величиной угла i_п (рис. 29.20). Угол падения лучей i_п, при котором их угол преломления равен называют предельным углом падения. Заметим, что полное отражение происходит только у тех лучей, которые падают на поверхность раздела под углом i, большим предельного угла i_п. Величину предельного угла в каждом случае можно определить по относительному показателю преломления двух сред. Действительно, поскольку для угла i_п угол из формулы (29.9) имеем

Учитывая, что окончательно получим

(29.11)

Когда световое излучение переходит из какой-либо среды в вакуум (в воздух), отношение (29.11) принимает вид

(29.11а)

(Объясните, почему при переходе лучей из среды оптически менее плотной в среду более плотную полное отражение невозможно.)

Полая пробирка, опущенная в воду, и пузырьки газа в воде иногда блестят, как посеребренные. Это явление объясняется полным отражением лучей на границе жидкости или твердого тела с газообразной средой. Полное отражение света используется при устройстве светопроводящих волокон. Свет направляют внутрь прозрачного волокна через один торец, а выходит он через другой торец, многократно отражаясь от стенок волокна и следуя всем его изгибам.

Светопроводы используются для оптической связи. С помощью модуляции света, идущего по светопроводу, можно передавать по нему несравненно больший поток информации, чем по обычному высокочастотному кабелю.

По пучку светопроводящих волокон можно передавать изображение предмета, помещенного перед торцом пучка. Это используется в медицине для осмотра внутренних органов больного (при этом часть волокон используется для внутреннего освещения).

Прохождение света через пластинку с параллельными гранями и через трехгранную призму. Призма с полным отражением

Выясним, как изменяет ход световых лучей прозрачная пластинка с двумя плоскими и параллельными гранями. Примером такой пластинки является хорошее оконное стекло.

Пусть на пластинку, сделанную из вещества с показателем преломления n, падает из воздуха узкий пучок света AO₁ под углом i₁ (рис. 29.21). После преломления на верхней грани этот пучок идет внутри пластинки по пути O₁O₂, вторично преломляется на нижней грани и идет в воздухе по пути O₂B. Сравним углы i₁ и Для верхней грани формула второго закона преломления в данном случае принимает вид

а для нижней грани

Поскольку и равны, после почленного умножения этих равенств получим

откуда и означает, что луч AO₁ параллелен лучу О₂В. Следовательно, лучи света после прохождения через пластинку с плоскими и параллельными гранями смещаются параллельно самим себе. Расстояние, на которое смещается луч после прохождения пластинки, тем больше, чем толще пластинка и чем больше показатель преломления ее вещества. Кроме того, смещение d зависит от угла падения лучей i₁. Поэтому, когда человек смотрит сквозь толстую прозрачную пластинку под углом, все Предметы кажутся ему смещенными (рис. 29.22).

В прикладной оптике часто используют прозрачные трехгранные призмы. Две грани призмы, сквозь которые лучи входят в призму и выходят из нее, называют преломляющими гранями, а двугранный угол составленный этими гранями, называют преломляющим углом призмы.

Допустим, что на призму с показателем преломления n из воздуха падает узкий пучок света AO₁, какого-то определенного цвета (рис. 29.23, а). В призме он идет по пути O₁O₂. При выходе из призмы он удаляется от перпендикуляра к грани и идет по пути О₂В. Итак, в результате прохождения сквозь призму пучок света отклоняется к ее широкой части. Поскольку до призмы свет шел по направлению AO₁, а после призмы идет по направлению О₂В, то смещение пучка произошло на угол (рис. 29.23, а), который называют углом отклонения, Этот угол тем больше, чем больше показатель преломления вещества призмы n и ее преломляющий угол

Заметим, что поскольку показатель преломления n зависит от то и отклонение лучей в призме зависит от их цвета. Например, красные лучи отклоняются на меньший угол чем фиолетовые. Подробнее этот вопрос рассмотрим дальше (§ 34.2).

Если трехгранную призму поместить в такую среду, относительно которой показатель преломления вещества призмы окажется меньше единицы, то, пройдя призму, луч AO₁ (рис. 29.23, б) будет отклоняться в сторону преломляющего угла а не к широкой части призмы, на угол (Объясните, почему параллельные лучи, падающие на призму, после выхода из нее остаются параллельными.)

Подсчет показывает, что предельный угол для стекла составляет около 42. Поэтому в стеклянной прямоугольной призме с углами по 45° легко получить полное отражение света. На рис. 29.24, а показан поворот лучей на 90° в такой призме, а на рис. 29.24, б показано, как поворачивается изображение в такой же призме. На рис. 29.24, в изображена призма прямого зрения и ход лучей в ней. Видно, что верхние и нижние лучи меняются местами, но продолжают распространяться в прежнем направлении.

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Геометрическая оптика в физике — формулы и определение с примерами

Содержание:

Геометрическая оптика – это раздел оптики, в котором изучаются законы распространения световой энергии в прозрачных средах на основе представления о световом луче. Световой луч – это линия, имеющая направление, вдоль которого распространяется энергия световых волн.

Закон отражения света с точки зрения корпускулярной и волновой теории

Если луч света состоит из частиц, как утверждал И. Ньютон, то можно полагать, что они отражаются от поверхности, как упругие мячи (рис. 149) в соответствии с законом отражения, изученным в геометрической оптике.

К такому же выводу приводит и волновая теория, основанная на принципе Х. Гюйгенса: каждая точка среды, до которой дошло возмущение, является источником вторичных волн. Огибающая фронты вторичных волн является фронтом результирующей волны (§ 11).

Рассмотрим отражение плоской волны от поверхности MN (рис. 150). Лучи

Поскольку рассматриваемые треугольники равны, то углы равны, лучи лежат в одной плоскости, выполняется закон отражения света.

Запомните! Закон отражения: Угол падения равен углу отражения Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный в точку падения луча к границе раздела двух сред, лежат в одной плоскости.

На основе волновой теории можно объяснить, почему свет почти не отражается от поверхности толстого стекла и практически полностью отражается от тончайшей металлической фольги. Стекло – диэлектрик, в нем нет свободных заряженных частиц, он прозрачен для электромагнитных волн. В металлах свободные электроны под действием световой волны совершают колебательные движения, созданное ими поле отражает световую волну.

Применение закона отражения

Закон отражения получил применение в различных устройствах и аттракционах.

На транспорте применяется угловой отражатель – катафот, изготовленный из стекла или пластмассы. Сзади велосипеда укрепляют красный, впереди – белый, на спицах колес – оранжевый. Светоотражатель направляет луч света обратно к освещающему его источнику независимо от угла падения света на поверхность. Ими оборудуются все транспортные средства и опасные участки дорог. Светосигнальные приборы европейского образца появились на автодорогах республиканского значения, их установили на участках «Алматы – Ташкент – Термез», «Новый обход перевала Куюк» в Жамбылской области (рис. 151). Приборы заряжаются солнечными лучами, и они освещают осевую линию дороги в темное время суток. Установлены сигнальные столбики с надписью «Kazautozhol» на автомобильных дорогах, где нет искусственного освещения.

Светоотражающие материалы используются для пошива спецодежды – костюмов для работников пожарных, медицинских, военных и других видов служб. Существует два вида светоотражателей: на текстильной и основе ПВХ. Светоотражатели на текстильной основе производят с использованием стеклянных микрошариков с алюминиевым слоем отражателя, которые наносятся на рабочую поверхность материал полимерным клеем. Светоотражатели на основе ПВХ производят с использованием микропирамидок. Они превосходят светоотражатели на текстильной основе в износостойкости, поскольку микропирамидки находятся изнутри пленки.

Формула плоского зеркала

Запишем формулу плоского зеркала в соответствии с изображением, полученным на рисунке 158:

где d − расстояние от предмета до зеркала; − расстояние от зеркала до изображения. Знак минус свидетельствует о том, что изображение мнимое.

Изображение в двух плоских зеркалах

С помощью двух плоских зеркал можно получить несколько изображений, число которых определяется углом между отражающими поверхностями зеркал При построении необходимо помнить, что изображение первого зеркала становится предметом для второго зеркала, и наоборот, изображение второго зеркала – предметом первого. Последнее полученное изображение находится за отражающей поверхностью двух зеркал (рис. 159). Для определения числа изображений необходимо от числа секторов, на которые угол a делит полный угол, равный 360°, отнять один, в котором находится сам предмет:

Например, при число изображений в зеркалах равно:

Сферические зеркала. Основные точки и линии зеркал

Зеркала, отражающая поверхность которых представляет собой часть сферы, называют сферическими.

Основные точки и линии зеркал: вершина зеркала – точка O; центр кривизны – точка C; главная оптическая ось (ГОО) − прямая, проходящая через вершину и центр зеркала; фокус зеркала – точка F, в которой фокусируются все лучи, падающие на плоскость зеркала параллельно ГОО (рис. 160). Фокус выпуклого зеркала мнимый, он находится за плоскостью зеркала.

Введем еще несколько основных точек и линий для сферических зеркал. Побочная оптическая ось (ПОО) – прямая, проходящая через центр кривизны зеркала С. Фокус побочной оптической оси F₁ находится в точке пересечения ПОО с фокальной плоскостью (ФП). Через эту точку проходят лучи, параллельные ПОО. Фокальная плоскость – это плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через ее фокус. МК – главная плоскость сферического зеркала – это плоскость, перпендикулярная ГОО и проходящая через вершину зеркала.

Формула вогнутого сферического зеркала

Формула вогнутого сферического зеркала справедлива для параксиальных лучей, которые составляют с главной оптической осью малые углы. При таком условии фокальная плоскость перпендикулярна главной оптической оси. На рисунке 161 изображен луч источника света S, он отражается от точки A поверхности вогнутого зеркала.

KM − касательная в точке А, перпендикулярная радиусу AC или побочной оптической оси. Для параксиальных лучей можно считать, что: следовательно, расстояние от зеркала до предмета расстояние от зеркала до изображения радиус кривизны Выразим через катет AB треугольников полученных в результате построения:

Установим связь между углами треугольников. Угол является внешним для треугольника угол − внешним для треугольника следовательно:

Из (5) выразим и, подставив в (4), получим:

Тангенсы малых углов равны значениям углов в радианной мере. Выразим тангенсы из уравнений (3) и, подставив в уравнение (6), получим формулу сферического зеркала:

Построение изображения предмета в сферическом зеркале

Для построения изображения в сферическом зеркале достаточно использовать два луча из тех, ход которых известен (рис. 162):

луч, параллельный оптической оси, после отражения проходит через ее фокус;
луч, прошедший через фокус зеркала, отражается параллельно оптической оси;
луч, падающий в точку вершины зеркала, отражается под тем же углом;
луч, прошедший через центр кривизны зеркала, отражается вдоль линии падения в обратном направлении.

Алгоритм построения изображения точечного источника света

1. Провести ПОО, указать в точке пересечения с ФП фокус проведенной оси (рис. 163).

2. От источника света S построить луч, параллельный ПОО, до главной плоскости зеркала. Провести отраженный луч через фокус побочной оси.

3. Указать в точке пересечения с лучом, направленным вдоль ГОО, полученное изображение

Вспомните! Изображение мнимое, если пересекаются не сами отраженные лучи, а их продолжения. Изображение предмета действительное, если пересекаются лучи.

Линейное увеличение

Рассчитать изменение линейных размеров тела можно из подобия треугольников (рис. 162):

где H − высота изображения; h − высота предмета; − расстояние от изображения до вершины зеркала; d − расстояние от предмета до вершины зеркала; Г − увеличение.

Физическую величину, равную отношению высоты изображения к высоте предмета, называют линейным увеличением зеркала.

Если то размеры изображения тела увеличиваются; если − уменьшаются. Лучи обратимы, следовательно, если считать, что на рисунке 162 предметом является отрезок то его изображением станет отрезок AB.

Закон преломления света с точки зрения волновой теории

Закон преломления света открыт экспериментально голландским математиком В. Снеллиусом в начале XVII в.

Произведение абсолютного показателя преломления на синус угла падения остается постоянной величиной, являясь «оптическим инвариантом» при переходе света из одной среды в другую.

где — абсолютные показатели сред, – угол падения, – угол преломления.

Рассмотрим преломление двух лучей плоской волны на границе двух сред MN на основе принципа Гюйгенса (рис. 165). Фронт падающей волны в момент, когда луч достигает границы сред MN, обозначен на рисунке отрезком AC. Показатель преломления второй среды больше, чем первой среды Фронт вторичной волны, созданной во второй среде в момент падения луча на границу MN, обозначен отрезком DB. В результате построения получены прямоугольные треугольники с общей стороной AB. В треугольниках угол равен углу падения угол равен углу преломления Выразим сторону AB через отрезки AD и CB, пройденные лучами за один и тот же промежуток времени, получим:

Из формул (3) и (4) следует, что:

Выразим скорость света в средах через абсолютный показатель преломления:

Вспомните! Абсолютный показатель преломления – это физическая величина, показывающая, во сколько раз скорость распространения света в вакууме больше скорости распространения света в данной среде: где n − абсолютный показатель преломления среды, с − скорость света в вакууме, − скорость света в среде. Оптически менее плотная среда обладает меньшим абсолютным показателем преломления.

Подставив формулы (6) в (5), получим:

На основе волновой теории Гюйгенса получен закон преломления Снеллиуса.

Вспомните! Относительный показатель преломления – это физическая величина, которая показывает во сколько раз скорость распространения света в первой среде больше скорости распространения света во второй среде.

Заменим в уравнении (7) отношение абсолютных показателей преломления относительным показателем, получим:

Полное внутреннее отражение света

Если направить луч света из оптически более плотной среды в менее плотную среду, то угол преломления больше угла падения. Наибольшему значению угла преломления, равному 90º, соответствует угол падения он назван предельным углом полного внутреннего отражения.

При падении луча на границу сред под углом, превышающим предельный угол полного внутреннего отражения преломленный луч исчезает, происходит полное отражение света (рис. 166).

Закон преломления для предельного угла примет вид:

Из полученного равенства следует, что предельный угол полного отражения определяется показателем преломления среды в том случае, если второй средой является вакуум или воздух:

Запомните! Закон преломления света:

Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для двух сред есть величина постоянная. Она равна относительному показателю преломления второй среды относительно первой.

Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр восстановленный в точку падения луча к границе раздела двух сред, лежат в одной плоскости.

Преимущества оптоволоконной технологии при передаче световых сигналов

Простейшая оптоволоконная система передачи информации между двумя точками состоит из трех основных элементов: оптического передатчика, оптоволоконного кабеля и оптического приемника.

Оптический передатчик преобразует электрический сигнал в модулированный световой поток, предназначенный для передачи по оптоволокну. В качестве источника света используются светодиоды и полупроводниковые лазеры. Длина волны излучения выбрана с учетом максимальной прозрачности материала волокна и наивысшей чувствительности фотодиодов. Оптические передатчики работают в диапазоне инфракрасных лучей с длиной волны 850, 1300 и 1550 нм.

Оптический приемник преобразует световой сигнал в копию исходного электрического сигнала. В качестве чувствительного элемента оптического приемника используется фотодиод.

Световод (оптоволоконный кабель) − закрытое устройство для направленной передачи света.

Оптоволоконный кабель состоит из одного или нескольких стеклянных волокон со ступенчатым или плавным изменением показателя преломления вдоль радиуса (рис. 167 а). Волокно со ступенчатым профилем показателя преломления состоит из сердцевины, изготовленной из стекла с малыми оптическими потерями, окруженной стеклянной оболочкой с более низким показателем преломления (рис. 167 б). Оптоволокно с плавным профилем состоит из стекла только одного сорта, но оно обработано так, что его показатель преломления плавно уменьшается от центра к поверхности волокна. Такой световод постоянно отклоняет распространяющийся по нему свет к центру (рис. 167 в).

В зависимости от числа волокон различают кабели одножильные, многожильные и многомодовые, которые позволяют распространяться световым волнам по нескольким различным путям, которые называют модами.

В многомодовых волокнах каждая световая волна распространяются под своим углом. Волны по-разному отражаются от оболочки и поступают в приемник в разное время. В одном многомодовом кабеле может быть порядка 80–100 мод. В многожильных кабелях возможно использование нескольких отдельных волокон, диаметр которых колеблется от 8 мкм до 10 мкм, соответствует диаметру одножильных кабелей. Многомодовые и многожильные кабели в сравнении с одножильными кабелями обеспечивают большую пропускную способность на малые расстояния, около 2 метров, на больших дистанциях возникают помехи. Одножильное оптоволокно чаще всего применяется в телекоммуникационных системах большой протяженности.

Оптические кабели имеют ряд преимуществ над обычными проводами и кабелями:

могут с высокой скоростью передать значительно большее количество информации;
тоньше и легче медных кабелей с такой же пропускной способностью;
не подвержены внешним помехам, включая грозовые разряды;
практически не взаимодействуют с агрессивными химическими веществами, вызывающими коррозию;
не проводят электричество, могут находиться в прямом контакте с высоковольтным электрооборудованием, не несут опасности поражения электрическим током при ремонте;
не создают вокруг себя электромагнитного излучения;
обеспечивают защиту передаваемой информации, несанкционированное подключение к кабелю легко обнаруживается.

Интересно знать! В настоящее время используются оптоволоконные кабели, позволяющие передавать данные на большие расстояния с пропускной способностью до 100 Гбит/с. Максимальная пропускная способность оптоволоконного кабеля со спектральным уплотнением каналов WDM достигает 9,6 Тбит/с, так как он способен передать данные одновременно по 96 каналам.

Построение изображения в системе линз. Формула тонкой линзы

I. Собирающая и рассеивающая линзы

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями: (рис. 170 а). Одна из поверхностей может быть плоской, ее можно рассматривать как сферическую поверхность большого радиуса.

Обратите внимание! Если показатель преломления линзы больше показателя преломления среды, то выпуклые линзы фокусируют падающие на них лучи, вогнутые линзы – рассеивают.

II. Ход лучей в собирающей и рассеивающей линзах

Луч 1, параллельный главной оптической оси, проходит через задний фокус линзы (рис. 171);

Луч 2, прошедший через центр линзы, не преломляется (рис. 171);

Луч 3, прошедший через передний фокус линзы, становится параллельным главной оптической оси (рис. 171);

Луч 4, прошедший через центр кривизны одной из сферической поверхностей, проходит через центр кривизны другой поверхности (рис. 171).

Обратите внимание! Зеркала дают изображение в отраженных лучах, а линзы – в проходящих.

III. Побочные оси. Построение лучей с использование побочных осей

Фокусы побочных оптических осей F₁ также принадлежат фокальной плоскости и находятся в точках пересечения ПОО с ФП (рис. 175 а). Лучи, падающие на собирающую линзу параллельно побочной оси, проходят через фокус ПОО (рис. 175 б). В рассеивающей линзе в фокусе побочной оси пересекаются продолжения лучей (рис. 175 в).

В том случае, когда предмет представляет собой точечный источник света, находящийся на главной оптической оси, для построения изображения используют побочную ось. На рисунке 176 изображен ход лучей при условии использован луч, параллельный ПОО, и луч, проходящий через центр линзы О. Полученное изображение действительное, находится по другую сторону линзы за двойным фокусом.

Запомните! Побочную ось необходимо ввести для лучей, падающих на линзу под произвольным углом. Она проводится параллельно падающему лучу. В этом случае преломленный луч пройдет через задний фокус побочной оси собирающей линзы (рис. 176). Для рассеивающей линзы необходимо провести преломленный луч таким образом, чтобы его продолжение прошло через передний фокус побочной оси.

IV. Формула тонкой линзы. Оптическая сила линзы. Увеличение линзы

Формула тонкой линзы вам известна из курса физики 8 класса:

где D – оптическая сила линзы. Для собирающей линзы фокус линзы положительный F > 0, для рассеивающей линзы – отрицательный F 1, если изображение уменьшенное, то Г 0, для мнимого предмета d D), т. е. проявляется волновой характер светового излучения. Следует отметить, что дифракция будет наблюдаться на очень больших расстояниях от экрана даже при диаметре диафрагмы

Таким образом, луч — чисто геометрическое понятие. Луч указывает направление, перпендикулярное фронту волны, в котором опа переносит энергию.

Лучи, выходящие из одной точки, называют расходящимися, а собирающиеся в одной точке — сходящимися. Примером расходящихся лучей может служить любой точечный источник света, а примером сходящихся — совокупность лучей, попадающих в зрачок нашего глаза от различных предметов.
Пересекающиеся световые лучи не взаимодействуют друг с другом в рамках геометрической оптики, т. е. «исказить» изображение с помощью других лучей невозможно. Факт независимости распространения световых лучей от наличия (или отсутствия) других лучей устанавливается в следующем законе геометрической оптики.

Закон независимости световых лучей:

световые лучи распространяются независимо друг от друга.

Целый ряд оптических явлений (отражение облаков в воде, отражение предметов в зеркальной или любой полированной поверхности и т. д.) способствовали открытию следующего закона геометрической оптики — закона отражения света (рис. 268):

угол отражения равен углу падения
луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости.

Эксперименты показывают, что существуют два вида отражения света: зеркальное и рассеянное. Поверхность, размеры неровностей которой меньше длины световой волны, называют зеркальной. Лучи света, падающие на такую плоскую поверхность параллельным пучком, после отражения остаются параллельными. Такое отражение называют зеркальным (рис. 269).

Поверхность, размеры неровностей которой больше длины световой волны, отражает лучи света по всевозможным направлениям и называется шероховатой, а отраженный свет — рассеянным или диффузным (рис. 270).

Используя закон отражения света, можно построить изображение предмета АВ в плоском зеркале (рис. 271), представляющем собой плоскую отражающую поверхность. Построив ход лучей 1 и 2 от точки А после отражения от зеркала KL, продолжим их до пересечения в точке А’. Аналогичные построения
сделаем для точки В, найдем ее изображение — точку В’. Глазу наблюдателя будет казаться, что лучи вышли из точек А’ и В’, т. е. оттуда, где будет находиться мнимое изображение А’В’ предмета АВ.

В оптике изображение называется действительным, если оно образовано самими лучами (т. е. в данную точку поступает световая энергия), если же изображение образовано не самими лучами, а их продолжениями, то говорят, что изображение мнимое (световая энергия не поступает в данную точку).

Изображение называется прямым, если верх и низ изображения ориентированы аналогично самому предмету. Если же изображение перевернуто, то его называют обратным или перевернутым.

Таким образом, изображение предмета в плоском зеркале — мнимое прямое, в натуральную величину. Оно симметрично предмету относительно плоскости зеркала и находится на таком же расстоянии за плоскостью зеркала, как и сам предмет (см. рис. 271).

Преломление света

Изменение направления распространения луча света при прохождении через границу раздела двух сред называется преломлением света.
Для наблюдения данного явления достаточно поместить карандаш в стакан с водой и посмотреть на него со стороны — карандаш будет казаться «надломленным» (преломленным) (рис. 273), оставаясь при этом совершенно целым.

Первые упоминания о преломлении света в воде и стекле встречаются в труде Клавдия Птолемея «Оптика», вышедшего в свет во II в. нашей эры.
Закон преломления света был экспериментально установлен в 1621 г. голландским ученым Виллебродом Снеллиусом и независимо от него теоретически обоснован в 1637 г. Рене Декартом.

Закон преломления световых лучей:

отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух данных сред;
падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром, проведенным в точке падения луча к плоскости границы раздела двух сред

Здесь — абсолютные показатели преломления сред.
Рассмотрим луч, падающий на плоскую границу раздела двух прозрачных сред под некоторым углом (рис. 274).

При этом наряду с отраженным лучом будет существовать и преломленный луч. Он распространяется во второй среде под некоторым углом у в соответствии с законом преломления.

Принцип Ферма

Хотя законы геометрической оптики были открыты экспериментально, однако все они (за исключением закона независимости световых лучей) являются следствием принципа «кратчайшего пути» или «минимального времени», сформулированного в 1679 г. французским математиком Пьером Ферма:
распространение света из одной точки среды в другую происходит по траектории, которой соответствует минимальное время по сравнению с другими возможными траекториями.

При помощи этого принципа Ферма вывел закон преломления света. Из этого принципа также следуют законы прямолинейного распространения и отражения света, т. е. принцип Ферма является наиболее общим принципом геометрической оптики.

Действительно, в однородной прозрачной среде, где скорость света постоянна минимальному времени распространения света между двумя точками соответствует движение по прямой, т. е. приходим к закону прямолинейного распространения света.

При отражении от плоского зеркала в силу симметрии можем сказать, что сумма |АВ| + |ВС| (рис. 275) будет минимальна в случае, когда Это как раз и соответствует закону отражения света.

Впервые данный факт геометрически доказал Герон Александрийский (II в. н. э.) задолго до появления принципа Ферма.

Анализируя время распространения луча между двумя точками при преломлении света, можно показать, что принцип Ферма выполняется и в этом случае, т. е. при движении по «траектории» преломления свету потребуется наименьшее время но сравнению с любой другой возможной «траекторией».

Для законов отражения и преломления выполняется принцип обратимости световых лучей:

луч света, распространяющийся по пути отраженного (преломленного) луча, отразившись в точке О от границы раздела сред, распространяется дальше по пути падающего луча. Иными словами можно менять падающий и отраженный (преломленный) лучи местами, т. е., не изменяя хода луча, поменять направление его распространения.

На границе раздела двух прозрачных сред обычно одновременно с преломлением наблюдается отражение волн.

Согласно закону сохранения энергии сумма энергий отраженной и преломленной волн равна энергии падающей волны

Примерный баланс энергий между отраженной и преломленной волнами приведен на рисунке 276.

Как следует из закона преломления, при переходе света из оптически более плотной среды I (с большим абсолютным показателем преломления ) в оптически менее плотную среду II (с меньшим показателем преломления угол преломления становится больше угла падения (рис. 277).

По мере увеличения угла падения, при некотором его значении угол преломления станет т. е. свет не будет попадать во вторую среду.
Энергия преломленной волны при этом станет равной нулю, а энергия отраженной волны будет равна энергии падающей. Следовательно, начиная с этого угла падения вся световая энергия отражается от границы раздела этих сред в среду I.

Это явление называется полным отражением (см. рис. 277). Угол при котором начинается полное отражение, называется предельным углом полного отражения. Он определяется из закона преломления при условии, что угол преломления

Таким образом, при углах падения, больших преломленный луч отсутствует.

Закон преломления света позволяет определять ход лучей в различных оптических системах.

На рисунке 278 показан ход светового луча в плоскопараллельной пластинке толщиной d, находящейся в воздухе. Согласно закону преломления на первой и второй границах раздела для луча, падающего под углом на первую границу,

Здесь — угол преломления на первой границе, — угол падения луча на вторую границу, — угол преломления на второй границе, n — показатель преломления вещества пластинки.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВК — перпендикулярах к первой и второй параллельным границам — равны, т. е. Следовательно, Откуда следует, что

Таким образом, луч света, проходя через плоскопараллельную пластинку, с обеих сторон которой находится одна и та же среда, смещается параллельно своему начальному направлению. Поэтому все предметы, если смотреть на них сквозь прозрачную плоскопараллельную пластинку под углом, не равным нулю, будут казаться смещенными на некоторое расстояние h. Найдем, от каких параметров пластинки зависит это смещение.

Из треугольника АВС следует, что

Из треугольника ABD находим

Из этих двух соотношений получаем

С учетом закона преломления и тригонометрического тождества находим

Окончательно, смещение h между направлениями входящего и выходящего лучей можно определить из соотношения

Откуда видно, что h при данном угле падения зависит от толщины d пластинки и ее показателя преломления n.

На рисунке 279 показан ход луча через стеклянную призму, находящуюся в воздухе. Грани, через которые проходит луч, называются преломляющими гранями; их ребро — преломляющим ребром, а угол между ними — преломляющим углом призмы. Угол между направлениями входящего и выходящего лучей называется углом отклонения:

Если угол падения на грань призмы и преломляющий угол призмы малы, то малыми будут и углы Поэтому в законах преломления отношение синусов можно заменить отношением углов, выраженных в радианах, т. е. Из геометрических соотношений следует равенство Используя эти соотношения для угла отклонения, находим

Из последнего равенства следует, что, во-первых, чем больше преломляющий угол тем больше угол отклонения лучей призмой; во-вторых, угол отклонения лучей зависит от показателя преломления вещества призмы. А так как показатель преломления зависит от частоты волны n(v), то при падении на призму белого света он будет разлагаться в спектр.

Знание наименьшего угла отклонения лучей призмой позволяет определить показатель преломления вещества, из которого она изготовлена:

Направив пучок лучей белого света на призму, мы обнаружим его сложную структуру: на экране за призмой появится радужная полоска — спектр (рис. 280).

Образование спектра обусловлено тем, что призма, вследствие дисперсии, по-разному преломляет лучи, соответствующие различным длинам волн. Порядок следования лучей в спектре легко запомнить с помощью известной фразы:

красный — 770—630 нм каждый
oранжевый — 630—590 нм охотник
желтый — 590—570 нм желает
зеленый — 570—495 нм знать.
голубой, синий — 495—435 нм где сидят
фиолетовый — 435—390 нм фазаны

Явление дисперсии совместно с полным отражением приводит к образованию радуги, вследствие преломления солнечных лучей на мельчайших водяных капельках во время дождя, к нежелательному «окрашиванию» изображений в оптических системах (хроматическая аберрация) и т. д.

Линза. Построение изображения в линзах

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллель-ный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей.

Как известно, плоское зеркало даст мнимое изображение предмета в натуральную величину. Однако для практических нужд чаще необходимы изображения увеличенные или уменьшенные. Эта задача решается с помощью линз (или криволинейных зеркал).

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное с двух сторон криволинейными поверхностями. Чаще всего применяются линзы с поверхностями, имеющими сферическую форму (сферические сегменты).
По форме ограничивающих поверхностей различают шесть типов линз. На рисунке 281, а. б показаны условные обозначения линз и типы линз.

Отметим условия, при одновременном выполнении которых линза является собирающей:

толщина в центре больше толщины у краев;

ее показатель преломления больше показателя преломления окружающей среды.

При невыполнении (или выполнении) только одного из этих условий линза является рассеивающей.

Линза считается тонкой, если ее толщина в центре намного меньше радиусов ограничивающих ее поверхностей. Тонкая линза дает неискаженное изображение только в том случае, если свет монохроматический и предмет достаточно мал, следовательно, лучи распространяются вблизи главной оптической оси. Такие лучи получили название параксиальных.

Рассмотрим основные характеристики линзы (рис. 282, а, б).

Прямая линия, на которой лежат центры обеих сферических поверхностей линзы, называется главной оптической осью.

Точка О линзы, проходя через которую луч не преломляется, называется оптическим центром.

Прямая линия, проходящая через оптический центр линзы, не совпадающая с главной оптической осью, называется побочной оптической осью. Каждая линза имеет только одну главную оптическую ось и бесконечно много побочных осей.

Плоскость, проходящая через оптический центр тонкой линзы перпендикулярно главной оптической оси, называют главной плоскостью линзы.

Точка, в которую собирается параксиальный пучок света после преломления в линзе, распространяющийся параллельно главной оптической оси, называется главным фокусом F линзы. Расстояние OF от оптического центра линзы до се главного фокуса называется фокусным расстоянием линзы.

Плоскость, проходящая через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость собирающей линзы является геометрическим местом точек, в которых пересекаются параллельные лучи, падающие на линзу под любым углом к главной оптической оси.

Пучок света, направленный на собирающую линзу параллельно побочной оптической оси, собирается в побочном фокусе, лежащем в фокальной плоскости.

Обычно для построений в линзах используют три характерных (стандартных) луча (рис. 283, а, б):

луч, идущий через оптический центр О линзы, не испытывает преломления;
луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления проходит через ее главный фокус;
луч, проходящий через главный фокус линзы, после преломления идет параллельно главной оптической оси.

Для построения изображения в линзе достаточно построить ход двух лучей от каждой точки предмета. Изображение находится в месте пересечения лучей после преломления на поверхностях линзы (действительное изображение) или в месте пересечения продолжений лучей (мнимое изображение).
В зависимости от типа линзы и расстояния до нее можно получать изображения: увеличенные и уменьшенные, прямые и обратные (перевернутые), действительные и мнимые (рис. 284).

Все приведенные примеры построений относились к предметам, которые имели определенные размеры. А как найти построением положение изображения точечного источника света, находящегося на главной оптической оси?

Для этого необходимы два любых луча, один из которых — самый простой, — проходящий не преломляясь через оптический центр линзы. Для построения хода другого пользуются побочной оптической осью. Рассмотрим точечный источник, находящийся на главной оптической оси собирающей линзы (рис. 285). Проведем из точки S произвольный луч SA. Для того чтобы найти ход луча после преломления в линзе, проведем побочную оптическую ось параллельную лучу SA. Нарисуем сечение KL фокальной плоскости линзы.

Точка пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью KL является побочным фокусом Следовательно, луч SA, преломившись в линзе, должен пройти через побочный фокус Продлевая прямую до пересечения с главной оптической осью, находим точку которая является изображением точечного источника S.

Положение изображения точечного источника, находящегося на главной оптической оси рассеивающей линзы, найдите построением самостоятельно.

Формула тонкой линзы

Между расстояниями от предмета до линзы и от линзы до изображения существует определенная зависимость от фокусного расстояния линзы, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы из геометрических соображений, рассматривая ход характерных лучей (рис. 289).

Пусть расстояние от предмета АВ до линзы d, расстояние от линзы до изображения АВ f, фокусное расстояние линзы F, расстояние от предмета до левого фокуса а, расстояние от изображения до правого фокуса а’.
Из рисунка видно, что следовательно,

Поперечным увеличением Г называется отношение линейного размера изображения h’ к линейному размеру предмета h:

Из соотношения (I) следует формула Ньютона:
С учетом того, что получаем формулу линзы:

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» Кеплер изучал прелом-ление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы линзы следует твердо запомнить правило знаков:

в случае собирающей линзы действительных источника и изображения величины F, d, f считают положительными; в случае рассеивающей линзы мнимых источника и изображения величины F, d, f считают отрицательными.
Заметим, что предмет или источник является мнимым только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с F>0 является собирающей (положительной), а с F 40 не применяются из-за сильных искажений изображения или малости обзора.

Мультимедийный (лазерный) проектор (рис. 292) — оптическое устройство, с помощью которого на экране получают действительное (прямое или обратное) увеличенное изображение, «снятое» с экрана компьютера, телевизора или других источников видеосигнала.

Для формирования изображения в мультимедиа-проекторах используются различные базовые технологии: жидкокристаллическая технология, технология цифровой обработки света или технология формирования цифровых изображений методом отражения.

При формировании цифрового изображения методом отражения источник света 1 при помощи разделяющих призм 2 освещает оптическую матрицу с изображением 3 и при помощи системы проекционных линз 4 передает увеличенное изображение на экран 5 (рис. 293).

Популярность мультимедийных проекторов обусловлен их универсальностью, поскольку помимо компьютерного изображения они поддерживают практически вес существующие стандарты видеозаписей, а также полностью совместимы с форматом телевидения высокой четкости.

Мультимедиа-проекторы активно работают на научных конференциях, вы-
семинарах и т. д., поскольку по размерам изображения и по возможностям его настройки с ними не способны конкурировать ни телевизоры, ни плазменные панели.

Так, например, мультимедиа-проекторы позволяют осуществить обратную проекцию или проекцию изображения на просветный экран, при которой зрители и проекционное оборудование находятся по разные стороны экрана. При такой установке проектора докладчик может находиться непосредственно перед экраном, не заслоняя собой проекцию, а освещение в помещении не так сильно влияет на качество изображения.

Фотоаппарат (рис. 294) — прибор, предназначенный для получения действительных уменьшенных обратных изображений предметов на фотопленке. При этом предметы могут быть расположены на различном удалении от точки съемки.

Фотоаппарат состоит из закрытой светонепроницаемой камеры и системы линз, называемых объективом (О). С помощью перемещения объектива добиваются наводки на резкость, при которой изображение предмета АВ формируется на фотопленке. В противном случае изображение А’В’ получается нечетким (размытым). Количество световой энергии, поступающей на пленку, определяется размерами диафрагмы и временем открытия затвора (выдержкой).

Сегодня на смену пленочным приходят электронные (цифровые) фотокамеры, в которых изображение записывается не на фотопленку, а на специальный чувствительный элемент (матрицу), с которого информация считывается и хранится в электронном (цифровом) виде, как в памяти компьютера. К достоинствам электронных камер можно отнести возможность «мгновенного» просмотра сделанной фотографии, восстановление ресурсов памяти после переписывания информации в компьютер, высокий темп съемки (10 и более кадров в секунду).

Зрение человека не в состоянии фиксировать очень быстрые и очень медленные изменения положения объекта. Фотоаппарат благодаря возможности фотографировать с различными выдержками от тысячных долей секунды до нескольких секунд позволяет хронометрировать события, визуально «неулавливаемые».

Глаз, очки

Основную часть информации (примерно 90 %) об окружающем мире мы получаем с помощью органов зрения.

Глаз представляет собой сложную оптическую систему, подобную фотоаппарату (рис. 295).

Преломляющая система глаза подобна объективу фотоаппарата, а сетчатка — фоточувствительному слою фотопленки.

У глаза имеется радужная оболочка (окрашенная часть глаза), которая играет роль диафрагмы и автоматически регулирует количество попадающего в глаз света. Зрачок — отверстие в радужной оболочке, через которое проходит свет.

Сетчатка играет роль светочувствительной пленки, находится на задней поверхности глаза. Она состоит из «палочек» (нервные волокна) и «колбочек»
(рецепторы), которые преобразуют световую энергию в электрические сигналы, распространяющиеся по нервным волокнам. Днем свет воспринимается колбочками, а ночью — палочками. Днем мы отчетливо видим мелкие предметы и различаем их цвет. Слабо освещенные предметы (например, ночью) мы видим только в черно-белых тонах (бесцветными). Недаром говорят, что «ночью все кошки серы». Желтое пятно — область диаметром около 0,25 мм — находится в центре сетчатой оболочки, в которой достигается особая острота зрения и наиболее четко различаются цвета. Слепое пятно — место входа глазного нерва — это область сетчатки, которая не участвует в формировании изображения. Роговица — служит предохранительным покрытием и является первой поверхностью, преломляющей свет. Хрусталик — это эластичное линзоподобное тело, которое осуществляет настройку нашего зрения на различные расстояния. В оптической системе глаза фокусировка изображения на сетчатку называется аккомодацией (от латинского слова commodus — удобный). У человека аккомодация происходит за счет увеличения или уменьшения выпуклости хрусталика, которое осуществляется с помощью цилиарных мышц. При этом изменяется оптическая сила глаза.
Точка, видимая глазом при расслабленной цилиарной мышце, называется дальней точкой, а точка, видимая при максимальном напряжении этой мышцы, — ближней точкой.

Расстояние наилучшего зрения — это расстояние от предмета до глаза, при котором глаз не устает и угол зрения достаточно велик. Размер изображения на сетчатке (рис. 296) определяется углом зрения с вершиной в оптическом центре глаза и лучами, направленными на крайние точки предмета.

От бесконечно удаленного предмета в глаз попадает пучок параллельных лучей. В этом случае аккомодации не требуется. Если предмет приближается, то лучи становятся расходящимися. Для того чтобы сделать их снова параллельными, необходимо изменить оптическую силу глаза так, чтобы его фокусное расстояние совпало с расстоянием до предмета, т. е. F=d. В этом случае оптическая система глаза соберет параллельные лучи на сетчатке.

Оптическую силу аккомодационной добавки или аккомодации найдем из условия

Зрение человека с нормальным зрением характеризуется понятием «нормальный глаз», т. е. расстояние наилучшего зрения около 25 см, а предел зрения (дальняя точка) находится на бесконечности.

Для нормального глаза преломляющая сила хрусталика без аккомодации D= 19,11 дптр, а при максимальной аккомодации — = 33,06 дптр; оптическая сила всего глаза, соответственно, D = 58,64 дптр и = 70,57 дптр. Пользуясь этими данными, можно определить минимальное расстояние, на котором нормальный глаз еще может ясно видеть предмет. Максимально возможная аккомодация обеспечивает изменение оптической силы нормального глаза на = 11,93 дптр. Этому изменению оптической силы соответствует минимальное расстояние = 8,4 см. Следует отметить, что такая аккомодация возможна только в молодости (до 20 лет).

С возрастом возможность аккомодации быстро уменьшается в основном из-за уплотнения хрусталика, теряющего способность достаточно сжиматься. Пожилой человек не может отчетливо видеть близкие предметы, а также различать буквы в газетах и книгах. К пятидесяти годам расстояние наилучшего зрения увеличивается в среднем до 50 см.
С возрастом, по болезни или при несоблюдении гигиены могут появиться дефекты зрения. Два наиболее распространенных дефекта — близорукость и дальнозоркость.

Близорукость (миопия) — дефект зрения, при котором глаз видит удаленные предметы не резко, а расплывчато (предел зрения не равен бесконечности). Изображения предметов при этом не попадают на сетчатку глаза, а фокусируются перед ней (точка М на рис. 297, а). Для исправления этого дефекта зрения используют очки с рассеивающими линзами (рис. 297, б). Поскольку оптическая сила этих линз отрицательна, то в повседневной жизни такие очки называют отрицательными.

Дальнозоркость (гиперопия) — дефект зрения, при котором глаз не в состоянии видеть резко близкие объекты, хотя удаленные предметы он видит хорошо. Изображения предметов при дальнозоркости получаются за сетчаткой (точка Р на рис. 298, а), и для коррекции зрения необходимо применять собирающие линзы (рис. 298, б), оптическая сила которых положительна (положительные очки).

Оптические явления в атмосфере

Атмосфера нашей планеты представляет собой достаточно интересную оптическую систему, показатель преломления которой уменьшается с высотой вследствие уменьшения плотности воздуха. Таким образом, земную атмосферу можно рассматривать как «линзу» гигантских размеров, повторяющую форму Земли и имеющую монотонно изменяющийся показатель преломления.

Это обстоятельство приводит к появлению целого ряда оптических явлений в атмосфере, обусловленных преломлением (рефракцией) и отражением (реф-лекцией) лучей в ней.

Рассмотрим некоторые наиболее существенные оптические явления в атмосфере.

Атмосферная рефракция — явление искривления световых лучей при прохождении света через атмосферу.
С высотой плотность воздуха (значит, и показатель преломления) убывает. Представим себе, что атмосфера состоит из оптически однородных горизонтальных слоев, показатель преломления в которых меняется от слоя к слою (рис. 299).

При распространении светового луча в такой системе он будет в соответствии с законом преломления «прижиматься» к перпендикуляру к границе слоя. Но плотность атмосферы уменьшается не скачками, а непрерывно, что приводит к плавному искривлению и повороту луча на угол а при прохождении атмосферы.

В результате атмосферной рефракции мы видим Луну, Солнце и другие звезды несколько выше того места, где они находятся на самом деле.

По этой же причине увеличивается продолжительность дня (в наших широтах на 10—12 мин), сжимаются диски Луны и Солнца у горизонта. Интересно, что максимальный угол рефракции составляет 35′ (для объектов у линии горизонта), что превышает видимый угловой размер Солнца (32′).

Из этого факта следует: в тот момент, когда мы видим, что нижний край светила коснулся линии горизонта, на самом деле солнечный диск находится уже под горизонтом (рис. 300).

Мерцание звезд также связано с астрономической рефракцией света. Давно было подмечено, что мерцание наиболее заметно у звезд, находящихся вблизи линии горизонта. Воздушные потоки в атмосфере изменяют плотность воздуха с течением времени, что приводит к кажущемуся мерцанию небесного светила. Космонавты, находящиеся на орбите, никакого мерцания не наблюдают.

В жарких пустынных или степных районах и в полярных областях сильный прогрев или охлаждение воздуха у земной поверхности приводит к появлению миражей: благодаря искривлению лучей становятся видимыми и кажутся близко расположенными предметы, которые на самом деле расположены далеко за горизонтом.

Иногда подобное явление называется земной рефракцией. Возникновение миражей объясняется зависимостью показателя преломления воздуха от температуры. Различают нижние и верхние миражи.

Нижние миражи можно увидеть в жаркий летний день на хорошо прогретой асфальтовой дороге: нам кажется, что впереди на ней есть лужи, которых на самом деле нет. В данном случае мы принимаем за «лужи» зеркальное отражение лучей от неоднородно разогретых слоев воздуха, находящихся в непосредственной близости от «раскаленного» асфальта.

Верхние миражи отличаются значительным разнообразием: в одних случаях они дают прямое изображение (рис. 301, а), в других — перевернутое (рис. 301, б), могут быть двойными и даже тройными. Эти особенности связаны с различными зависимостями температуры воздуха и показателя преломления от высоты.

Атмосферные осадки приводят к появлению в атмосфере эффектных оптических явлений. Так, во время дождя удивительным и незабываемым зрелищем является образование радуги, которое объясняется явлением различного преломления (дисперсии) и отражения солнечных лучей на мельчайших капельках в атмосфере (рис. 302).

В особо удачных случаях мы можем увидеть сразу несколько радуг, порядок следования цветов в которых взаимообратен.

Световой луч, участвующий в формировании радуги, испытывает два преломления и многократные отражения в каждой дождевой капле. В данном случае, несколько упрощая механизм образования радуги, можем сказать, что сферические дождевые капельки играют роль призмы в опыте Ньютона по разложению света в спектр.

Вследствие пространственной симметрии радуга видна в виде полуокружности с углом раствора около 42°, при этом наблюдатель (рис. 303) должен находиться между Солнцем и каплями дождя, спиной к Солнцу.

Преломление света в кристалликах льда, сопровождающееся разложением в спектр, приводит к появлению сравнительно редкого и не менее красивого оптического явления гало (рис. 304).

Гало проявляется в виде кругов (иногда столбов, крестов) вокруг Солнца и Луны. Для появления яркого гало необходимо достаточное количество ледяных кристаллов правильной формы.

Разнообразие цветов в атмосфере объясняется закономерностями рассеяния света на частичках различных размеров. Вследствие того, что синий цвет рассеивается сильнее, чем красный, — днем, когда Солнце находится высоко над горизонтом, мы видим небо голубым. По этой же причине вблизи линии горизонта становится красным и не таким ярким, как в зените. Появление цветных облаков также связано с рассеянием света на частичках различных размеров в облаке.

Основные формулы в геометрической оптике

Предельный угол полного отражения:

Формула тонкой линзы:

Оптическая сила линзы:

Поперечное увеличение:

Рекомендую подробно изучить предметы:

Физика
Атомная физика
Ядерная физика
Квантовая физика
Молекулярная физика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Фотометрия и световой поток
Освещенность в физике
Закон прямолинейного распространения света
Законы отражения света
Оптические приборы в физике
Оптика в физике
Волновая оптика в физике
Квантовая оптика в физике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

источники:

http://natalibrilenova.ru/otrazhenie-i-prelomlenie-sveta/

http://www.evkova.org/geometricheskaya-optika-v-fizike