Как найти уравнение поверхности уровня

Линии и поверхности уровня

Содержание:

Линии и поверхности уровня

Понятие линии и поверхности уровня:

Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.

Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.

Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.

Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .

Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),

В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).

Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .

Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.

Поверхности второго порядка

Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a₁₁ x 2 + 2a₁₂ xy + a₂₂ y 2 + 2a₁₃ xz + 2a₂₃ yz + a₃₃ z 2 + 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0.

В зависимости от значений коэффициентов получают различные поверхности второго порядка.

Например:
1) — конус;

2) — полусфера;

Рис. 4.

3) — эллиптический параболоид;

Рис. 5.

4) — гиперболический параболоид;

рис.6

5) — трехосный эллипсоид.

Рис. 7.

Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C₁, y = C₂, z = C₃. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.

Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C₁ (C₁ ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C₁ (уравнение окружности). Положим y = C₂ , тогда — уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на единиц вверх по оси Oz. Положим x = C₃ , получим уравнение
Получили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на единиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.

Гиперповерхности уровня

Пусть задана функция от n переменных u = f (x₁, x₂, . x_n) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x₁, x₂, . x_n) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Если u = C, то уравнение является уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Поверхности и линии уровня скалярного поля

Поверхности и линии уровня

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией . Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т. е.

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: . В частности, при получим , т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой, круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля равенство представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня — это линия на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Скалярное поле. Векторное поле. Основные понятия и задачи

Понятие поля в математике

Теория поля является разделом математики, однако понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u , если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определённое значение), поле давлений, поле скоростей и другие поля.

Поле величины u называется стационарным, (или установившимся), если u не зависит от времени t . В противном случае поле называется нестационарным (или неустановившимся). Таким образом, величина u есть функция точки M и времени t .

В задачах физики чаще всего приходится иметь дело со скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярные и векторные.

Скалярное поле: определение, поверхности уровня и линии уровня

Пусть D — некоторая область на плоскости или в пространстве.

Определение скалярного поля. Если в области D каждой точке M(x,y,z) пространства или точке M(x,y) плоскости в каждый момент времени t по определённому закону ставится в соответствие значение скалярной величины u , то функция u(x,y,z,t) в случае пространства или u(x,y,t) в случае плоскости называется скалярным полем.

Понятия скалярного поля и функции, определённой в области D , совпадают.

Примером скалярного поля может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику тепла, температура выше, чем в точках, расположенных дальше от источника тепла. Можно привести и такие примеры, как поле освещённости, поле плотности массы и тому подобные.

Для получения более полного представления о скалярном поле используется его графическое изображение — поверхности уровня в пространстве и линии уровня на плоскости.

Линии уровня широко используются при составлении топографических и метеорологических карт. На топографических картах линия уровня — линия, в точках которой отмечена одна и та же высота над уровнем моря. На метеорологических картах строят два вида линий уровня — изотермы (линии одинаковой температуры) и изобары (линии одинакового давления).

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество всех тех точек пространства, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение поверхности уровня скалярного поля u(x,y,z) :

При постоянном изменении значения C поверхности уровня заполняют всю область пространства. Если поверхности уровня размещены плотно, скалярное поле изменяется быстро. Если же поверхности уровня расположены редко, скалярное поле изменяется медленно.

Определение. Линией уровня скалярного поля называется множество всех тех точек на плоскости, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение линии уровня скалярного поля u(x,y) :

Пример 1. Определить поверхности уровня скалярного поля и их вид.

Решение. Уравнением поверхностей уровня данного скалярного поля является

Поверхностями уровня являются конусы с вершиной в начале координат и осью вращения Oy . Так как по области определения , то одновременно не может быть x = 0 и z = 0 . Поэтому следует исключить вершину конусов.

Пример 2. Определить линии уровня скалярного поля и их вид.

Решение. Уравнением линий уровня данного скалярного поля является

Из этого уравнения выразим «игрек»:

Так как arcsinC — также константа, обозначим её C 1 . Тогда

Графиками этих линий являются параболы с вершиной в точках и ветвями вниз. На рисунке изображены линии уровня в трёх случаях: C 1 = 1 — красная линия, C 1 = 2 — зелёная линия, C 1 = 3 — синяя линия.

Векторное поле: определение, векторные линии

Понятие векторного поля во многом аналогично понятию скалярного поля.

Определение векторного поля. Если в некоторой области пространства каждой точке M по определённому закону ставится в соответствие вектор , то векторная функция называется полем вектора или векторным полем.

Таким образом, векторным полем является векторная функция точки пространства

Примерами векторного поля являются поля скорости и ускорения в текущей жидкости или газе, поле силы гравитации, поле интенсивности электростатического поля и тому подобные. Вообще, примером векторного поля может служить поле сил любой природы.

Мы будем рассматривать только стационарные векторные поля, то есть поля, не зависящие от времени.

Проекции вектора , соответствующего точке M , на координатные оси обозначим P = P(x,y,z) , Q = Q(x,y,z) , R = R(x,y,z) . Тогда векторное поле сможем задать через компоненты:

Таким образом, векторное поле можно определить тремя скалярными функциями P , Q , R . Пусть эти функции и их частные производные по переменным x,y,z являются непрерывными функциями.

Определение. Векторной линией называется линия, направление которой в каждой точке касательной совпадает с направлением вектора поля в этой точке (рисунок ниже).

Векторные линии поля силы обычно называют линиями силы, векторные линии поля скоростей потока жидкости или газа — векторами потока. У стационарного потока жидкости линии потока совпадают с траекториями частиц жидкости.

Уравнения векторных линий можно найти, решив систему дифференциальных уравнений