Как найти уравнение предельной выручки

3.4 Выручка

Функция выручки — зависимость между количеством производимого блага и величиной денежной суммы, получаемой от продажи товара. Функция выручки выводится из спроса:

Функции выручки могут иметь совершенно разнообразный вид:

Пример 1

Функция спроса описывается зависимостью $Q(P)=\dfrac<100>

$. Найти функцию выручки.

Выразим обратную функцию спроса: $P(Q)=\dfrac<100>$; теперь найдем функцию выручки: $TR=\dfrac<100> \cdot Q=100$. В данном случае выручка постоянна, не зависит от количества производимого блага и равна 100.

Подробнее о функции выручки мы будем говорить, когда будем изучать рыночные структуры.

Определение 2
Средняя выручка (AR — average revenue) показывает, какую выручку в среднем приносит единица продаваемого товара:

$AR=\dfrac$

Геометрический смысл средней выручки — тангенс угла наклона луча (секущей), проведенного из начала координат к какой-нибудь точке на графике выручки:

Проведя огромное количество лучей к графику выручки мы сможем получить график средней выручки $AR$.

Так среднюю выручку можно описать функцией, вид которой будет совпадать с обратной функцией спроса:

Определение 3
Предельная выручка (MR — marginal revenue) показывает, какую выручку принесет дополнительная произведенная единица товара.

В дискретном случае предельная выручка будет равна $MR=\dfrac =\dfrac<\Delta TR><\Delta Q>$

Геометрический смысл предельной выручки — тангенс угла наклона секущей, соединяющей точки $(Q_2;TR_2)$ и $(Q_1;TR_1)$.

Если мы предполагаем, что производимый нами товар является бесконечно делимым, то нам будет интересно узнать какую выручку принесет дополнительная бесконечно малая единица выпускаемого блага.

Тогда геометрический смысл в данном случае будет следующий: MR есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции выручки в интересующей нас точке.

Проведя множество касательных к разным точкам сможем построить функцию предельной выручки:

В данном случае предельная выручка будет производной функции выручки: $MR(Q)=TR'(Q)$.

Пример 2

Функция спроса описывается уравнением $Q(P)=10-P$. Найти функции TR, AR, MR и изобразить их графики.

Выразим обратную функцию спроса: $P(Q)=10-Q$. Теперь найдем функцию выручки: $TR(Q)=P(Q)\cdot Q=10Q-Q^2$. Можно найти функции средней и предельной выручки: $AR(Q)=\dfrac=10-Q$, $MR(Q)=TR'(Q)=10-2Q$. Изобразим графики:

Максимизация функции выручки выполняется так же, как и любой другой функции — можно использовать производную (подробнее о максимизации функции можете узнать здесь), а можно обойтись без нее (подробнее здесь)

Пример 3
Обратная функция спроса имеет вид: $P(Q)=20-2Q$. Найти максимальную выручку.

Запишем функцию выручки: $TR=20Q-2Q^2$. Это парабола, ветви вниз. Найдем точку максимума: $x_0=-\dfrac<2a>=\dfrac<20><4>=5$. Подставим данную точку в функцию выручки: $TR=20\cdot 5-2\cdot 25=100-50=50$.

Также для функции $AR$ $TR$ в точке будет является произведением значений координат на осях:

для $MR$ — $TR$ в точке есть площадь под графиком функции, слева ограниченная осью $P$, справа перпендикуляром к оси $Q$, проведенным из интересующей нас точки:

Выручка фирмы Общая, средняя и предельная выручка фирмы

Выручка фирмы. Общая, средняя и предельная выручка фирмы. Прибыль как цель деятельности фирмы Бухгалтерская и экономическая прибыль. Максимизация прибыли фирмы в краткосрочном периоде. Условие максимизации прибыли фирмы MR=MC.

На конкурентном рынке типичная фирма, как и большинство фирм, стремится максимизировать прибыль, которая равна разности между общей выручкой и общими издержками.

Предположим, фермерское хозяйство выращивает огурцы в объеме Q и продает их по цене Р, тогда общая выручка за определенный период времени составит TR=P∙Q.

Важно помнить, что цена, по которой продается товар, зависит от спроса на него, так как потребитель будет готов купить больший объем товара обычно только в том случае, если цена за единицу товара снизится. Поэтому, TR=P(Q)∙Q, где P(Q)- обратная функция спроса на товар.

Заметим, что функция средней выручки совпадает с обратной функцией спроса независимо от ее вида. Поэтому график AR всегда совпадает с графиком кривой спроса на товар.

Допустим, при цене P1 фермерское хозяйство продавало Q1 огурцов, а когда снизило цену до Р2, то объем продаж вырос до Q2. Тогда

Общая, средняя и предельная выручка для линейной функции спроса с отрицательным наклоном

Рассмотрим на примере, какой вид имеют графики общей, средней и предельной выручки фирмы, если функция спроса на ее товар со стороны потребителя линейна. Пусть обратная функция спроса задана уравнением: (рис.1). Тогда: . Полученное выражение — это парабола с ветвями, направленными вниз.

Нетрудно убедиться, выручка равна нулю, когда либо цена, либо объем проданной продукции равны нулю, то есть точкам пересечения графика функции спроса с осями Q и Р. Поскольку парабола — функция симметричная, ее максимум расположен посередине между указанными значениями объема выпуска, то есть при = — и, соответственно, при Р =.

.

Таким образом, уравнение среднего дохода совпадает с исходным уравнением кривой спроса.

.

Заметим, что МR достигает нуля при том же значении, при котором ТR достигает максимума. Разумеется, это не случайное совпадение: экстремуму функции соответствует нулевое значение производной.

Обратите внимание, что для линейной функции спроса линия предельной выручки расположена ниже линии спроса и имеет в два раза больший наклон.

Этот результат можно использовать при решении задач, но важно помнить, что он был получен только для линейной кривой спроса. При других функциях спроса необходимо брать производную от соответствующей функции выручки. Также необходимо обратить внимание на тот факт, что МR=MR(Q), то есть является функций от объема выпуска, а не от цены. Поэтому МR(Q)≠TR(P). Если по условию задачи задана прямая функция спроса Qd=f(P), то для определения МR эту функцию следует преобразовать к виду , вычислить функцию общей выручки как функцию от объема выпуска, а затем взять производную от ТR.

Взаимосвязь графиков ТR, AR и MR

для линейной кривой спроса с отрицательным наклоном.

Между эластичностью спроса по цене и общей выручкой фирмы, ориентирующейся на этот спрос, существует тесная связь.

Если фирма работает на эластичном (Е ТСнеяв., то, разумеется, никаких стимулов к уходу у фирмы не существует, поскольку нет ни одного способа получить даже аналогичный уровень дохода, не говоря уже о большем. В случае же когда бухг

Как предельная прибыль влияет на эффективность бизнеса

Чтобы определить выход компании на точку безубыточности, необходимо уметь рассчитывать норму предельной прибыли (НПП). Сам по себе показатель НПП также имеет большое значение. В комплексе с другими он помогает понять, например, какой тип издержек нужно сократить, чтобы сделать бизнес более эффективным. Или определиться с тем, стоит ли вообще заниматься данным бизнесом.

Делаем расчет нормы предельной прибыли

Норма предельной прибыли = ((выручка от реализации — переменные издержки) / выручка от реализации) * 100

Показатель НПП выражается в процентах и, по сути, означает долю, которую в выручке составляет прибыль до вычета амортизации и других операционных расходов (постоянных издержек).

Например, если компания продала продукцию на $10 млн, а переменные издержки по проданным товарам составляют $5,5 млн, то норма предельной прибыли (НПП) будет составлять 45%:

НПП = (($10 млн – $5,5 млн) / $10 млн) * 100 = (4,5 / 10) * 100 = 45%.

Понятно, что высокая норма предельной прибыли далеко не всегда гарантирует высокую чистую прибыль, поскольку на дело сильно влияют постоянные издержки.

Барри Пирсон и Нил Томас в своей книге «Краткий курс MBA» приводят следующий пример. Несколько лет назад одна компания, работающая в сфере электроники, учредила дочернюю фирму по производству и сбыту кремниевых чипов. С самого начала было понятно, что придется инвестировать в данный проект существенную сумму и работать первое время в убыток. Для того чтобы в конечном итоге окупить проект, производственные мощности изначально закладывались довольно большими. А это потянуло за собой и численность обслуживающего персонала — большие постоянные издержки. Компания начала работать, и на третий год норма предельной прибыли достигла 74%. Это значит, что переменные издержки (сырье, материалы и пр.) составили всего 24%. Но мощности завода все еще не были задействованы полностью, то есть по большей части он простаивал. Поэтому постоянные издержки были все еще очень высокими и составляли 205% выручки. По сути, компания тратила почти в 2,5 раза (231% выручки) больше денег, чем получала. А чистый убыток составлял 131% объема продаж.

Но на следующий год продажи подскочили в три раза в связи с резким всплеском спроса на определенный тип устройств, в которых использовались выпускаемые предприятием чипы. И компания начала работать с прибылью.

Управляем чистой прибылью с помощью контроля НПП

Может показаться, что норма предельной прибыли для отдельных видов производимых товаров или услуг будет примерно одинаковой. Но это не так. К примеру, если средняя НПП составляет 45%, то для некоторых типов продукции она может быть и 60%, и 30%, а порой пределы колебания этого показателя могут быть еще больше.

Эффективное управление итоговой прибылью требует не только увеличения объемов продаж и выручки любыми способами, но и максимизации НПП при зафиксированном уровне постоянных издержек. Поэтому когда неизвестна конкретная НПП по каждому типу продукции, это не бизнес, а стрельба по тарелочкам с закрытыми глазами. Кроме того, покупатели отлично распознают тот товар, который недооценен и продается с заниженной маржей (НПП). И может оказаться, что этот товар составит серьезную долю в общей выручке и тем самым испортит итоговые показатели.

Игнорирование нормы предельной прибыли может привести к большой беде. К примеру, компания, выпускающая компьютерные компоненты, сильно пострадала, когда из-за конкурентов предложение на рынке значительно расширилось и цены на конкретный продукт упали с $2,25 до $0,79 менее чем за 1,5 года. В прошлом прибыльное предприятие превратилось в убыточное. Менеджеры приняли решение выходить из ситуации за счет увеличения доли рынка (повышения объемов продаж). Но убытки продолжали расти. Приглашенный внешний консультант быстро обнаружил, что переменные издержки обходятся компании дороже, чем стоит сам продукт, и на единицу товара составляют $0,89, то есть на 10 центов больше рыночной цены. Оказалось, что оборудование, на котором построено производство, не позволяет тратить меньше. И конкуренты, применяющие более новые технологии, позволяющие значительно сократить переменные издержки, легко обошли компанию.

Зная НПП по каждому виду продукции или услуг, менеджер может повлиять на прибыль и заставить ее расти различными путями:

• сосредоточить маркетинговые усилия на товарах с наиболее высокой НПП (выше среднего), остальные выпускать для поддержки широкого ассортимента;
• поощрять продавцов на сбыт товаров с высокой НПП, например давать более высокие комиссионные или разыгрывать призы (к примеру, «Евросеть» однажды устроила своим продавцам соревнование по продаже мобильных телефонов определенной марки, в итоге сотрудник, продавший максимальное количество, получил квартиру);
• попытаться увеличить НПП для тех товаров, для которых этот показатель ниже среднего, путем уменьшения переменных издержек, к примеру заказать материал с близкими характеристиками, но по стоимости дешевле, или заплатить поставщику вперед за конкретные материалы, получив скидку;
• следить за тем, чтобы новые товары и услуги, которые компания собирается выпустить на рынок, находились в допустимых пределах по показателю НПП.

Не пропустите новые публикации

Подпишитесь на рассылку, и мы поможем вам разобраться в требованиях законодательства, подскажем, что делать в спорных ситуациях, и научим больше зарабатывать.