Уравнение перпендикулярной прямой
Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).
Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /9x – 1 /3 (a = 4 /9). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .
Уравнение перпендикулярной прямой
Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?
Пусть y=k1x+b1 — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид
Если эта прямая проходит через точку M(xo; yo), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение xo и yo, мы найдем b.
1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.
Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то
Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид
Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:
Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)
2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).
Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.
Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.
3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).
Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.
Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.
2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?
В отличие от предыдущих задач п. 2.5, рассмотренные ниже схемы работают лишь в декартовой системе координат (но не в общем аффинном случае):
Задача 79
Прямая задана уравнением в декартовой системе координат. Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .
Решение: по условию известна точка ( – значок принадлежности), и нам неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Так как прямые перпендикулярны, то фокус прост: из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ:
Развернём геометрический этюд:
И аналитическая проверка решения:
1) Из уравнений , вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны:
.
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению
Оба пункта легко выполнить устно!
Задача 80
Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение в декартовой системе координат и точка .
В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.
И наше увлекательное путешествие продолжается:
http://www.treugolniki.ru/uravnenie-perpendikulyarnoj-pryamoj/
http://mathter.pro/angem/2_5_4_kak_nayti_perpendikulyarnuyu_pryamuyu.html