Как найти уравнение высоты медианы биссектрисы

Все формулы для треугольника

5. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c ₁ , c ₂ — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α , β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):

Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , ( H ):

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Высоты, биссектрисы и медианы треугольника

Содержание

Из вершин треугольника к противолежащим от вершин сторонам можно проводить различные отрезки, причем так, чтобы получать «интересные данные» внутри фигуры.

К примеру, отрезок из вершины можно опустить таким образом, что в итоге он «приземлится» ровно посередине противолежащей от вершины стороны. В геометрии существует три подобных отрезка, что задают для треугольника новые геометрические параметры — высота, биссектриса и медиана.

Высота треугольника

Пусть нам дан треугольник $\bigtriangleup,$ где из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ опущен отрезок $CD$, образующий при этом перпендикуляр к стороне $AB$. Тогда отрезок $CD$ будет являться высотой треугольника $\bigtriangleup$. Аналогичный перпендикуляр можно опустить как из вершины $A$, так и из вершины $B$.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

В остроугольном треугольнике — где углы имеют значение $ 90^<\circ>,$ — провести высоту будет уже не так интуитивно просто.

Осмотрите треугольник $\bigtriangleup$ выше, с тупым углом $\angle$.

Нам необходимо провести высоту из вершины $K$ к стороне $PM$. Подумайте, как будет располагаться отрезок, выполните чертеж и сравните свои предположения со скрытым чертежом.

Пересечение высот в треугольнике

Выходит, что в остроугольном треугольнике высоты пересекаются в точке, расположенной строго внутри треугольника — никаких дополнительных построений не требуется.

В тупоугольном треугольнике высоты пересекаются в точке, расположенной вне треугольника, — чтобы эту точку получить, необходимо достраивать продолжение сторон. Так, в случае с нашим тупоугольным треугольником, высоты пересекаются в точке $O$ — внимание на чертеж выше.

Биссектриса

Пусть нам дан треугольник $\bigtriangleup,$ где из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ опущен отрезок $CD$ таким образом, что $\angle$ делится отрезком $CD$ на два равных друг другу угла. Тогда отрезок $CD$ будет называться биссектрисой треугольника $\bigtriangleup$ (от лат. ‘bi’ — «два», ‘secare’ — «резать»).

По аналогии с высотами, такие же отрезки, делящее угол пополам, можно опустить как из вершины $A$, так и из вершины $B$.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину с противолежащей стороной и делящий при этом угол данной вершины пополам.

В отличие от высоты, биссектриса — понятие, теснее связанное с углом, чем с треугольником, поэтому ряд ее свойств больше определяет геометрию углов, чем геометрию треугольников. Например, одно из таких замечательных свойств связано со смежными углами. Оказывается, что биссектрисы, проведенные из смежных углов, будут образовывать прямой угол. Давайте это докажем!

Теорема о биссектрисах смежных углов. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Доказательство. $\angle$ является смежным с $\angle$. $OB$ — биссектриса $\angle;$ $OD$, соответственно, биссектриса $\angle$. По свойству смежных углов известно, что сумма смежных углов равняется $180^<\circ>$. То есть:

Согласно условию $\angle=\angle=\frac<\angle><2>$, $\angle=\angle=\frac<\angle><2>$. Тогда уравнение выше можно представить в следующем виде:

Разделим обе части уравнения на $2$ и получим: $\angle+\angle=90^<\circ>.$ $\angle+\angle$ равняется $\angle$. Теорема доказана .

Медиана

Наконец, проведем отрезок $CD$ в треугольнике $\bigtriangleup$ из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ таким образом, что сторона $AB$ поделится на два равных друг другу отрезка. Мы получили третий важный отрезок в треугольнике — медиану (от лат. ‘medianus’ — «средний»).

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны.

Обратили внимание?

Медианы, как и биссектрисы с высотами, пересекаются в одной точке внутри треугольника. Исключением является тупоугольный треугольник и его высоты: они пересекаются вне треугольника.

Доказать это, к сожалению, нам пока не по силам, ибо требуется знание нескольких важных теорем, которые мы обязательно изучим в курсе далее. Как только, так сразу. Пока — принять, понять, поверить.

Решим задачу!

В $\bigtriangleup$ проведена медиана $AD$ к стороне $BC$. Продолжение медианы проходит через точку $E$, расположенную вне треугольника так, что $AD=DE$. Докажите, что треугольники $\bigtriangleup$ и $\bigtriangleup$ равны.

Дано:

Найти:

Решение
Рассмотрим $\bigtriangleup$ и $\bigtriangleup$. В них углы $\angle$ и $\angle$ равны как вертикальные. По заданному условию $AD=DE$. Также имеем равенство сторон $CD=DB$ — по определению медианы: отрезка, делящего противолежащую от угла сторону на два равных отрезка.

Следовательно $\bigtriangleup= \bigtriangleup$ по первому признаку равенства треугольников: двум сторонам и углу, лежащему между ними.