Как найти уравнение высоты параллелограмма

Задача 41513 Даны три последовательные вершины.

Условие

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;3), В(5;-1),С(5;5). Не находя координаты вершины D, найти:
1. найти уровень сторон AD
2. уровень высоты опущенной из вершины B на сторону AD
3. найти длину этой высоты
4. уравнение диагонали BD
5. угол между диагоналями параллелограмма

Все решения

Точки В и С имеют одинаковую первую координату, поэтому [i]уравнение прямой[/i] ВС: [red]х=5[/red]

Прямая AD || BC и проходит через точку А, у которой первая координата равна (-3)
Значит, [i]уравнение прямой[/i] АD:[red] x=-3[/red]

Высота ВН перпендикулярна AD и значит параллельна оси Ох.
Уравнение прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку В (5;-1)
y=-1

Точка Н — точка пересечения AD и BH

Значит, координаты точки H (-3;-1)

3)
[green]|BH|[/green]=[green]|x_(H)-x_(B)|[/green]=| -3 — 5|= |-8| = 8
так как это частный случай формулы
при y_(H)=y_(B)

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты точки О как середины отрезка АС:
x_(O)=[m]\frac><2>=\frac<-3+5><2>=1[/m]
y_(O)=[m]\frac><2>=\frac<3+5)><2>=4[/m]

Уравнение диагонали BD — это и уравнение прямой BO.

Составим уравнение применяя общее уравнение прямой, проходящей через две точки

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
-5*(х-1)=4*(у-4)
-5х+5=4у-16

[b]5х+4у-21=0[/b] -[i] уравнение диагонали[/i] BD

5)
Угол между диагоналями — это меньший из углов, образованных прямыми BO и AC, значит это угол ВОС

Находим его как угол между векторами
vector и vector

Находим координаты векторов
vector=(5-1;-1-4)=(4;-5)
vector=(5-1;5-4))=(4;1)

Находим скалярное произведение векторов vector и vector
vector*vector=4*4+(-5)*1=11
|vector|=sqrt(4^2+(-5)^2)=sqrt(41)
|vector|=sqrt(4^2+1^2)=sqrt(17)

сos ( ∠ vector, vector)=[m]\frac<11><\sqrt<41>\cdot \sqrt<17>>=\frac<11><\sqrt<697>>=\frac<11\sqrt<697>><697>[/m]

Высота параллелограмма — формулы и свойства. Висота паралелограма — формули і властивості

Позначення у формулах еквівалентні позначенням на малюнках, а саме:
а — сторони, паралелограма, паралельні один одному
b — бічні сторони паралелограма
h — висота паралелограма
d — дiагональ паралелограма
S — площа паралелограма
α — гострий кут при основі паралелограма

Висота паралелограма дорівнює співвідношенню площі до підстави (Формула 1)

Висота паралелограма дорівнює твору бічної сторони на синус кута при його основі (Формула 2)

Співвідношення підстав паралелограма дорівнює обернено пропорційному співвідношенню висот, опущених на відповідні сторони (Формула 3)

Висоти паралелограма, опущені з однієї вершини, утворюють кут, рівний куту паралелограма при сусідній вершині (Малюнок 2)

Висота паралелограма рівна, корню з різниці квадрата бічної сторони і квадрата довжини відрізка, створюючого прямокутний трикутник, іншими сторонами якого є бічна сторона і висота (Формула 4)

Висота паралелограма дорівнює корню з різниці квадрата діагоналі, з якої опущена висота і квадрата довжини відрізка між точкою, з якої проведена діагональ і точкою пересічення висоти і основання (Формула 5)

Задача

Висота паралелограма проведена з вершини тупого кута і дорівнює 5 см. Висота ділить сторону парелелограма навпіл. Гострий кут паралелограма доривнюе 30 градусів. Знайдіть діагональ паралелограма, проведену з вершини тупого кута, и кути, яки вона утворює зі сторонами паралелограма.

Высота параллелограмма проведена из вершины тупого угла и равняется 5 см. Высота делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол равняется 30 градусам. Найдите диагональ параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.

Решение.

Поскольку, по условию задачи, AE=ED, то треугольники ABE и DBE равны между собой (по первому признаку равенства треугольников: равны две стороны и угол между ними, AE=ED и BE — общая сторона, а BE образует с AD угол 90 градусов). Таким образом, угол ADB равен 30 градусам. Соответственно, угол DBC также равен 30 градусам как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD.

Из прямоугольного треугольника ABE определим, что угол ABE равен 180 — 90 — 30 = 60 градусов. Откуда (из равенства треугольников ABE и DBE) угол EBD также равен 60 градусов. Таким образом, диагональ образует со вторым основанием угол ABD = 60 + 60 = 120 градусов. BDC = ABD = 120 градусов как внутренние накрест лежащие.

Найдем длину диагонали.
BE / BD = cos ∠EBD
BE / BD = cos 60
Подставим значение косинуса 60 градусов и получим:
BE / BD = 1/2
По условию задачи BE = 5 см, откуда
5 / BD = 1/2
BD = 10

Ответ: длина диагонали параллелограмма равна 10 см, углы, которые образует диагональ с основаниями равны 30 и 120 градусов.

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1 2) В(-2

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5). Не находя координаты вершины D, найти:
уравнение стороны AD;
уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
длину высоты BK;
уравнение диагонали BD;
тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

) Найдем уравнение прямой BC по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки А1 и А2:
x-x1x2-x1 = y-y1y2-y1.
x+2-4+2 = y-1-5-1⇒x+22 = y-16⇒3x+6=y-1⇒y=3x+7.
Получили уравнение вида y=kx+b – уравнение с угловым коэффициентом, k=3.
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то искомое уравнение прямой AD будем искать как уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно прямой BC. Угловые коэффициенты у параллельных прямых одинаковые.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку Mx0;y0 в данном направлении, имеет вид:
y-y0=kx-x0.
Тогда уравнение стороны AD имеет вид:
y-2=3x-1⇒3x-y-1=0.
2) Составим уравнение высоты BK, проведенной из вершины B на сторону AD как уравнение прямой, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AD.
Из условие перпендикулярности двух прямых: k=-13.
y-1=-13x+2⇒3y-3=-x-2⇒x+3y-1=0.
3) Найдем длину высоты BK по формуле длины перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AD:
d=Ax0+By0+CA2+B2, где A=3, B=-1.
d=3∙-2-1-132+-12=810.
4) Найдем уравнение диагонали BD как уравнение прямой, проходящей через точки B и E, где E – середина отрезка AC.
Если A(x1, y1), C(x2, y2), то координаты точки Ex0;y0 – середины отрезка AC, определяются формулами:
x0=x1+x22; y0=y1+y22.
x0=1-42=-32; y0=2-52=-32.
x+2-32+2 = y-1-32-1⇒x+212 = y-1-52⇒-5x+2=y-1⇒5x+y+9=0.
5) Найдем уравнение диагонали AC как уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
x-1-4-1 = y-2-5-2⇒x-15 = y-27⇒7x-7=5y-10⇒7x-5y+3=0,
уравнение с угловым коэффициентом имеет вид y=75x+35, угловой коэффициент k1 прямой AC равен 75.
Уравнение диагонали BD имеет вид 5x+y+9=0, уравнение с угловым коэффициентом имеет вид: y=-5x-9, k2=-5.
Тангенс угла φ между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется формулой:
tgφ=k2-k11+k1k2.
Следовательно,
tgφ=-5-751+75∙-5=3256=1615⇒φ≈470.
Построим чертеж:
-3238595250

Ответ. 1) 3x-y-1=0; 2) x+3y-1=0; 3) 810; 4) 5x+y+9=0; 5) 470.
Контрольная работа № 4

Вычислить пределы функций.
а) limx→∞x3-4×2+63×3+10×2+4x=∞∞=limx→∞x31-4x+6x33x31+103x+43×2=limx→∞x33x3=13.
Пределы от функций:-4x, 6×3, 103x и 43×2 равны 0 при x→∞.
б) limx→53×2-14x-5×2-6x+5=00=limx→53x+1x-5x-1x-5=limx→53x+1x-1=164=4;
limx→13×2-14x-5×2-6x+5=limx→13x+1x-1=40=+∞.
в)limx→-23x-6+2×3+8=00=
=limx→-23x-6+23x-62-23x-6+4x+2×2-2x+43x-62-23x-6+4=
=limx→-2x-6+8x+2×2-2x+43x-62-23x-6+4=
=limx→-21×2-2x+43x-62-23x-6+4=
=14+4+4364-23-8+4=112∙4+4+4=1144.
г)limx→01-cos5xxtg2x=limx→02sin25x2xsin2xcos2x=limx→02sin5x25x22∙25×24∙cos2xx∙sin2x2x∙2x=
=limx→02∙25×24∙cos2x2x2=254.
limx→0sin5x25x2=y=5×2=limy→0sinyy=1-первый замечательный предел;
limx→0sin2x2x=y=2x=limy→0sinyy=1-первый замечательный предел.

д)limx→π4tgπ4-xtg2x=0∙∞=y=π4-x⇒x=π4-y;y→0 при x→π4=
=limy→0tgy∙tgπ2-2y=limy→0tgy∙tgπ2-2y=limy→0tgy∙ctg2y=
=limy→0tgytg2y=limy→0tgyy∙ytg2y2y∙2y=limy→0y2y=12.
limx→0tgyy=limx→0tg2y2y=1-следствие из первого замечательного предела.
е) limx→∞13x+213x-15x+7=1∞=limx→∞13x-15+15+213x-15x+7=
=limx→∞1+1713x-15x+7=limx→∞1+1713x-1513x-1517 ∙ 1713x-15 ∙ x+7=
=elimx→∞ 1713x-15 ∙ x+7=e1713;
limx→∞1+1713x-1513x-1517 =y=13x-1517;y→∞ при x→∞=limy→∞1+1yy =e-
второй замечательный предел.
limx→113x+213x-15x+7=15-28=7,58.

Контрольная работа № 5
Производная и дифференциал
1. Найти производные:
а) y=10×5-14×4=10×5-x-44;
y’=10∙5×5-1–4∙x-4-14=50×4+1×5.
б) y=13xsinx=x-13sinx;
y’=-13x-13-1sinx+x-13cosx=-13x3xsinx+13xcosx=
=13xcosx-sinx3x.
в) y=tgxx;
y’=xcos2x-tgx2xx=xcos2x-sinx2xcosxx=2x-sinxcosx2xcos2xx=4x-sin2x4xxcos2x.
г) y=cosx1-sinx;
y’=-sinx1-sinx-cosx∙-cosx1-sinx2=-sinx+sin2x+cos2x1-sinx2=
=1-sinx1-sinx2=11-sinx.
д) y=ln1-ctgx;
y’=1sin2x1-ctgx=1sin2x-sin2x∙cosxsinx=1sin2x-sinx∙cosx=
=22sin2x-sin2x.
е) y=e-x+10lnx
y’=-e-x+10lnxln10x.
ж) y=arctg1+x1-x
y’=11+1+x1-x2∙1-x+1+x1-x2=21+1+x21-x21-x2=
=21-x2+1+x2=21-2x+x2+1+2x+x2=22×2+2=1×2+1.
з) y=sin23xcos32x;
y’=2sin3x∙cos3x∙3cos32x+sin23x3cos22x∙-sin2x∙2=
=3sin6xcos32x-6sin23xcos22x∙sin2x.
и) y=arcsinex+arccos12x=arcsinex+arccos2-x;
y’=11-e2xex-11-2-2×2-xln2∙-1=ex1-e2x+ln22x1-2-2x=
=ex1-e2x+ln222x-1.
к) y=tg3lnx;
y’=1cos23lnx∙3lnxln3x=3lnxln3xcos23lnx.
л) y=xx+1x-2;
y’=x+1x-2+x2x+1x-2∙12xx-2-12xx+1x-22=
=x+1x-2+x-2x+1∙xx-2-x-14x-22=
=x+1x-2-x-2x+1∙3x4x-22.
м) y=arctgx2-lnsinx;
y’=11+x4∙2x-cosxsinx=2×1+x4-ctgx.
2. Найти dydx
а) xy=lnex+y-2-функция выражена неявно.
y+xy’=ex+y∙y’ex+y-2; yex+y-2+xy’ex+y-2=ex+y∙y’;
yex+y-2=ex+y-xex+y-2y’;y’=yex+y-2ex+y-xex+y-2.
dydx=y’=yex+y-2ex+y-xex+y-2.
б) tgy-1=x+y2-функция выражена неявно.
y’cos2y-1=1+2yy’; y’cos2y-1-2yy’=1;
1-2ycos2y-1cos2y-1y’=1;y’=cos2y-11-2ycos2y-1;
dydx=y’=cos2y-11-2ycos2y-1.
в) x=arctgty=t2+1.
Используем формулу:
dydx=y’tx’t=2t2t2+111+t2=tt2+1.

3. Найти d2ydx2:
y=x3x-1.
dydx=y’=3x2x-1-x3x-12=x23x-3-xx-12=2×3-3x2x-12.
d2ydx2=y”=6×2-6xx-12-2x-12×3-3x2x-14=
=x-16xx-12-22×3-3x2x-14=
=6xx2-2x+1-4×3+6x2x-13=6×3-12×2+6x-4×3+6x2x-13=
=2×3-6×2+6xx-13=2xx2-3x+3x-13.