Как найти уравнения диагоналей квадрата

Формулы и способы как находить диагональ квадрата

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

Определения и соглашения

Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
Корень квадратный из числа, это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical — корень).
Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали, если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a. Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади.

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS.

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр. В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ, который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R. Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r.

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

Хочется ещё отметить, что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Продолжая нашу цепочку и далее, мы научимся строить отрезки равные любому иррациональному числу.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Как посчитать диагональ квадрата? Формула длины диагонали квадрата.

Чем старше становятся ученики, тем больше возникает потребность в скорости решения простых задач. На экзаменах дается не так много времени, чтобы подолгу решать простые примеры или задачи. Как найти диагональ квадрата быстро и легко? Это детям начинают преподавать с восьмого класса. В этой статье приведено два способа — один более длительный, другой — быстрее.

Как посчитать диагональ квадрата?

Вам будет интересно: Акватория — это поверхность водоема или его участка? Какие бывают акватории? Что такое акватория порта?

Первый способ — это всем уже известная и привычная теорема Пифагора. В квадрате все углы прямые, а значит, диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника и сама является их гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Второй способ — это простая формула, которая свойственна исключительно квадратам, и ее нужно просто запомнить. Как известно, все стороны квадрата равны, и именно поэтому математики вычислили следующую формулу для нахождения его диагонали: она равна произведению стороны на корень из двух.

Безусловно, лучше всего просто запомнить формулу длины диагонали квадрата и пользоваться ею всегда, ведь это гораздо быстрее и удобнее. Особенно это чувствуется при решении задач в буквенном виде, где вместо целых больших подкорневых выражений можно обойтись лишь одним произведением.

Пример

Возьмем, к примеру, квадрат 6 на 6, то есть со стороной, равной шести сантиметрам.

По первому способу: пусть диагональ будет равна С, а боковая сторона — А.

Тогда получим, что С=√А^2+А^2 или С=√2А^2.

Запишем в числовом виде: С =√36 + 36. Получили √72, а это 3√8 или 6√2.

А теперь найдем ту же диагональ, но уже по второму способу: С = А√2 или в числовом виде: 6√2

Теперь видно, насколько второй способ быстрее, легче и самое главное — эффективнее, особенно в таких легких задачках, ведь на экзамене дорога каждая минута!

Другие свойства диагоналей квадрата

Помимо знания того, как найти диагонали квадрата, нужно также знать и их свойства. Основные из них:

Диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
При пересечении образуют прямые углы.
Делят квадрат на равные треугольники.

Вывод

Вопросом, как посчитать диагонали квадрата, обычно задаются ученики, пропустившие эту тему в школе. Однако такие фундаментальные правила математики должен знать каждый! Желательно решать как можно быстрее, и для этого необходимы знания сокращенных формул. Все это предельно просто и легко, но вместе с тем является базой, необходимой для решения в дальнейшем гораздо более сложных задач. И важную часть этой базы занимает квадрат.