Как найти ускорение через уравнение движения

Формулы вычисления ускорения через скорость. Пример задачи

Любое перемещение тел изучает специальный раздел физики — кинематика. В нем не рассматриваются причины, которые привели к началу движения тела, а изучаются лишь законы изменения положения тела в пространстве с течением времени. В данной статье ответим на вопрос, как найти ускорение через скорость.

Скорость и ускорение — основные кинематические характеристики

Вам будет интересно: Идиолект — это. Общие сведения, место и роль

Каждый школьник сможет дать ответ на вопрос, что такое скорость. Под ней понимают физическую величину, которая определяет быстроту прохождения телом расстояний, что математически выражается через производную пути l по времени t:

В системе СИ скорость принято измерять в метрах в секунду (м/с).

Если взять теперь производную по времени t от скорости v, то мы получим ускорение a:

a = dv/dt = d2l/dt2.

Заметим, что ускорение может быть также рассчитано, как вторая производная по времени от пути. Величина a показывает быстроту, с которой изменяется величина v. Как правило, ускорение определяют в метрах в секунду в квадрате (м/с2).

Величины a и v являются векторными. Скорость направлена по касательной к траектории, а ускорение совпадает с вектором изменения скорости.

Равноускоренное (равнозамедленное) движение по прямой

Когда тело движется вдоль прямой линии с постоянным ускорением, то есть a=const, то существует всего три формулы определения ускорения через скорость и время:

Первое выражение позволяет определить ускорение, если тело начало ускоренное движение из состояния покоя. Оно отличается от математического определения ускорения тем, что в данном случае определяется средняя величина a за время движения t. Второе выражение также справедливо для ускоренного движения, только в этом случае до возникновения ускорения тело уже имело скорость v0. Наконец, третья формула применяется тогда, когда тело замедляет свое движение (тормозит) с постоянным ускорением.

Отметим, что все три равенства предполагают линейную зависимость между величинами a и v.

Пример решения задачи

Автомобиль двигался по трассе со скоростью 80 км/ч. Затем он начал тормозить и остановился ровно через 1 минуту. Необходимо определить его среднее ускорение торможения.

Прежде чем пользоваться записанной в предыдущем пункте формулой ускорения через скорость, переведем известные из условия задачи величины в единицы СИ:

v0 = 80 км/ч = 22,22 м/с;

Поскольку автомобиль в итоге остановился, то v = 0. Подставим все известные значения в соответствующую формулу, получим:

a = (v0-v)/t = 22,22/60 = 0,37 м/с2.

Рассчитанная величина не является слишком большой по сравнению с ускорением, которое наша планета сообщает всем телам (9,81 м/с2).

Ускорение при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

• Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой линии с постоянным ускорением ( a =const).
• Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости тела за 1 с. Обозначается как a .
• Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате (м/с 2 ).
• Акселерометр — прибор для измерения ускорения.

Формула ускорения

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v ₀ — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

v_x — проекция скорости тела в данный момент времени, v_0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

• Если вектор ускорения направлен в сторону оси ОХ, то его проекция положительна.
• Если вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению оси ОХ, его проекция отрицательная.

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают ( а ↑↑ v ).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу ( а ↑↓ v ).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (a_x=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

• Если график лежит выше оси времени , движение равноускоренное (направление вектора ускорения совпадает с направлением оси ОХ). На рисунке выше тело 1 движется равноускорено.
• Если график лежит ниже оси времени , движение равнозамедленное (вектор ускорения направлен противоположно оси ОХ). На рисунке выше тело 2 движется равнозамедлено.

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t₁ = 1 и t₂ = 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

В момент времени t₁ = 1с ускорение a = 2 м/с 2 . В момент времени t₂ = 3 ускорение a = 0 м/с 2 .

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

1. Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
2. Определить величины, которые характеризуют такое движение.
3. Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
4. Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать формулу, связывающую известные из условия задачи величины.
3. Выразить из формулы искомую величину.
4. Вычислить искомую величину, подставив в формулу исходные данные.

Решение

Запишем исходные данные:

• Начальная скорость v₀ = 5 м/с.
• Конечная скорость v = 15 м/с.
• Пройденный путь s = 40 м.

Формула, которая связывает ускорение тела с пройденным путем:

Так как скорость растет, ускорение положительное, поэтому перед ним в формуле поставим знак «+».

Выразим из формулы ускорение:

Подставим известные данные и вычислим ускорение автомобиля:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Внимательно прочитайте текст задани я и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени.

Какой из указанных ниже графиков совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела a_x в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

1. Охарактеризовать движение тела на участке графика, обозначенном в условии задачи.
2. Вычислить ускорение движение тела на этом участке.
3. Выбрать график, который соответствует графику зависимости от времени проекции ускорения тела.

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

• t₁ = 6 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 0 м/с.
• t₂ = 10 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = –10 м/с.

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Записать формулу ускорения.
2. Записать формулу для вычисления модуля ускорения.
3. Выбрать любые 2 точки графика.
4. Определить для этих точек значения времени и проекции скорости (получить исходные данные).
5. Подставить данные формулу и вычислить ускорение.

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

• t₁ = 1 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 15 м/с.
• t₂ = 2 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = 5 м/с.

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Как найти ускорение, зная скорость и время: формулы и пример решения типовой задачи

Ускорение и скорость — это две важные кинематические характеристики любого типа движения. Знание зависимости этих величин от времени позволяет рассчитать пройденный телом путь. Данная статья содержит ответ на вопрос, как найти ускорение, зная скорость и время.

Понятие о скорости и ускорении

Прежде чем давать ответ на вопрос, как, зная скорость и время, найти ускорение, рассмотрим каждую из характеристик с точки зрения физики.

Скоростью называется величина, которая определяет быстроту изменения координат в пространстве при движении тела. Скорость вычисляется по формуле:

Где dl — пройденный телом путь за время dt. Скорость всегда направлена вдоль касательной в траектории перемещения.

Движение может происходить либо с постоянной во времени скоростью, либо с переменной. В последнем случае говорят о наличие ускорения. В физике ускорение определяет быстроту изменения величины v, что в виде формулы записывается так:

Это равенство является ответом на вопрос, как найти ускорение по скорости. Для этого достаточно лишь взять первую производную по времени от v.

Направление ускорения совпадает с направлением разницы векторов скорости. В случае прямолинейного ускоренного движения величины a и v направлены в одну сторону.

Как найти ускорение, зная скорость и время?

При изучении механики сначала рассматривают равномерное и равноускоренное типы движения по прямой траектории. В обоих случаях для определения ускорения следует выбрать промежуток времени Δt. Затем, необходимо определить значения скоростей v₁ и v₂ на концах этого промежутка. Среднее ускорение определится так:

В случае равномерного движения скорость остается постоянной (v₂ = v₁), поэтому величина a будет равна нулю. В случае же равноускоренного перемещения постоянной будет величина a, поэтому она не зависит от промежутка времени Δt в формуле.

Для более сложных случаев движения, когда скорость является некоторой функцией времени, следует пользоваться формулой для a через производную, которая была представлена в пункте выше.

Пример решения задачи

Разобравшись с вопросом, как найти ускорение, зная время и скорость, решим простую задачу. Предположим, что тело, двигаясь по некоторой траектории, изменяет свою скорость в соответствии с таким уравнением:

Чему будет равно ускорение тела в момент времени t = 5 секунд?

Ускорение является первой производной величины v по переменной t, имеем:

Чтобы ответить на вопрос задачи, следует подставить известное значение времени в полученное уравнение: a = 29 м/c 2 .