Как найти ускорение по уравнению колебаний

I. Механика

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Уравнение гармонических колебаний

п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс

Например:
1) Вращение Луны вокруг Земли, Земли и других планет вокруг Солнца, Солнечной системы в целом вокруг центра Галактики;
2) Колебания атомов в молекуле, колебания электромагнитного поля;
3) Сокращения сердечной мышцы, колебания маятника часов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания, смена дня и ночи, приливы и отливы.

Например:
1) Период вращения минутной стрелки часов T=1 час
Период вращения Земли вокруг своей оси T=1 сут=24 ч
Период вращения Земли вокруг Солнца T=1 год=365 сут
2) Период колебаний атомов в двухатомных молекулах T=10 -14 с
Период вращения Солнца вокруг центра Галактики T=240 млн.лет.≈7,6·10 15 с

Если состояние системы характеризуется некоторой функцией от времени \(s=x(t)\), то для периодического процесса выполняется равенство: \(x(t+T)=x(t)\).
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции \(sin⁡t\) и \(cos⁡t\) с периодом \(T=2\pi\).

Множитель \(\omega\) перед аргументом \(t\) тригонометрической функции сокращает её период в \(\omega\) раз (см. §8 данного справочника). Поэтому:

Например:
Запишем закон колебаний математического маятника – шарика на нити, если в начальный момент времени он был отклонен на 5 см, а затем отпущен. При подсчете за 10 с он совершил 20 колебаний.
Отклонение в начальный момент соответствует амплитудному значению A=5 см при \(t_0=0\), значит, будем описывать колебания по закону косинуса с начальной фазой \(\varphi_0=0\). По условию за t=10 с зафиксировано N=20 колебаний, откуда частота: \begin \nu=\frac Nt,\ \ \omega=2\pi\nu=2\pi\frac Nt\\ \omega=2\pi\cdot\frac<20><10>=4\pi\ \text <(рад/с)>\end Получаем закон колебаний: \(x(t)=5cos(4\pi t)\)

п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении

Пусть \(x(t)\) — координата тела, участвующего в периодическом движении по закону: $$ x(t)=Acos⁡\omega t $$ Найдем скорость как первую производную от координаты: $$ v(t)=x'(t)=-A\omega sin\omega t=A\omega cos⁡\left(\omega t+\frac\pi 2\right) $$ Мы видим, что колебания скорости происходят с той же частотой, что и колебания координаты, но опережают их по фазе на \(\frac\pi 2\). Амплитудное значение скорости: $$ v_m=A\omega $$ Найдем ускорение как первую производную от скорости (и соответственно, вторую производную от координаты): $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=-A\omega^2 cos\omega t=A\omega^2 cos⁡(\omega t+\pi) $$ Колебания ускорения также происходят с той же частотой, опережая колебания скорости на \(\frac\pi 2\) и колебания координаты на \(\pi\). Амплитудное значение ускорения: $$ a_m=A\omega^2 $$ Например:
При A=2 и \(\omega=\frac12\) получаем такие синусоиды:

Из уравнения для ускорения получаем: $$ x»(t)=-A\omega^2cos\omega t=-\omega^2(Acos\omega t)=-\omega^2 x(t) $$ Откуда следует:

Решением этого уравнения в общем виде будут: $$ x(t)=Asin⁡(\omega t+\varphi_0)\ \text<или>\ x(t)=A cos⁡(\omega t+\varphi_0) $$ Для каждой из систем физический смысл \(x(t)\) и \(\omega\) будет разным.

п.3. Примеры

Пример 1. Получите уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника с массой m и жесткостью пружины k. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Горизонтальный пружинный маятник – это грузик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k. Грузик может перемещаться в горизонтальном направлении без трения.

По вертикали на грузик действую сила тяжести и реакция опоры, равнодействующая которых равна нулю.
По горизонтали на грузик действует только сила упругости: \(F=-k\cdot x(t)\)
Самое время вспомнить о втором законе Ньютона. Сила, действующая на грузик, приводит его в движение с ускорением a: \begin F=ma=m\cdot x»(t)\\ m\cdot x»(t)=-k\cdot x(t) \end Уравнение движения грузика: $$ x»(t)+\frac km x(t)=0 $$ что является уравнением гармонических колебаний с частотой: \(\omega=\sqrt<\frac km>\)
Общее решение уравнения: \(x(t)=Acos\left(\sqrt<\frac km>+\varphi_0\right)\)
Амплитудные значения скорости и ускорения: $$ v_m=A\sqrt<\frac km>,\ \ a_m=A\frac km $$ Ответ: \(\omega=\sqrt<\frac km>\)

Пример 2. Получите уравнение гармонических колебаний для малых углов отклонений математического маятника на нити длиной l при ускорении свободного падения g. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Математический маятник – это шарик, который можно считать материальной точкой, на длинной невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле тяготения с ускорением свободного падения g.

Пример 3. Получите уравнение гармонических колебаний для L-контура.
Чему равна циклическая частота этих колебаний?

LC-контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C. Модель является идеальной, т.к. предполагает, что в цепи полностью отсутствует активное сопротивление R, и колебания не затухают со временем.

Напряжение на конденсаторе \(U_C(t)=\frac\). Ток, протекающий через катушку, создает ЭДС \(\varepsilon_L(t)=-L\frac<\triangle I><\triangle t>\). При переходе к пределу \(\triangle t\rightarrow 0\) получаем производную \(\varepsilon_L(t)=-LI'(t)\). По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура: \begin U_c(t)=\varepsilon_L(t)\Rightarrow \frac=-LI'(t)\Rightarrow \frac+LI'(t)=0 \end Вспомним, что \(Q'(t)=I(t)\) – ток равен производной от заряда по времени.
Тогда первая производная от тока равна второй производной от заряда \(I'(t)=Q»(t)\).
\begin \frac+LQ»(t)=0 \end Получаем уравнение гармонических колебаний: $$ Q»(t)=\frac<1>Q(t)=0,\ \ \omega=\frac<1><\sqrt> $$ Общее решение уравнения: \(Q(t)=Q_m cos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right)\)
Напряжение на конденсаторе: $$ U_C(t)=\frac=\fraccos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right) $$ Амплитудное значение напряжения: \(U_m=\frac\)
Ток как скорость изменения заряда: $$ I(t)=Q'(t)=-\frac<\sqrt>sin\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right)=\frac<\sqrt>cos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0+\frac\pi 2\right) $$ Амплитудное значение тока: \(I_m=\frac<\sqrt>\)
Ток опережает колебания заряда и напряжения на \(\frac\pi 2\)

Как найти ускорение по уравнению колебаний

4.1.1иБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ НЕИБОЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙК

рХУФШ Л РТХЦЙОЕ У ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПН ХРТХЗПУФЙ k РТЙЛТЕРМЕО ЗТХЪ НБУУПК m, ОБИПДСЭЙКУС ОБ ЙДЕБМШОП ЗМБДЛПК РПЧЕТИОПУФЙ (ТЙУХОПЛ 4.1).

тЙУХОПЛ 4.1

рТЙ ТБУФСЦЕОЙЙ РТХЦЙОЩ ОБ ФЕМП ОБЮЙОБЕФ ДЕКУФЧПЧБФШ УЙМБ ХРТХЗПУФЙ F_ХРТ = — k И (УЙМБ ФСЦЕУФЙ Й УЙМБ ОПТНБМШОПК ТЕБЛГЙЙ ТБЧОЩ Й ОБРТБЧМЕОЩ Ч РТПФЙЧПРПМПЦОЩЕ УФПТПОЩ). еУМЙ ФЕМП ПФРХУФЙФШ, ФП РПД ДЕКУФЧЙЕН УЙМЩ ХРТХЗПУФЙ ПОП ОБЮЙОБЕФ ДЧЙЗБФШУС Ч УФПТПОХ, РТПФЙЧПРПМПЦОХА УНЕЭЕОЙА. рТПИПДС РПМПЦЕОЙЕ ТБЧОПЧЕУЙС, ФЕМП ВХДЕФ ПВМБДБФШ НБЛУЙНБМШОПК УЛПТПУФША Й РП ЙОЕТГЙЙ РТПДПМЦЙФ ДЧЙЦЕОЙЕ, УЦЙНБС РТХЦЙОХ. рПД ДЕКУФЧЙЕН УЙМЩ ХРТХЗПУФЙ, ЧПЪОЙЛБАЭЕК РТЙ ДЕЖПТНБГЙЙ УЦБФЙС, ФЕМП ПУФБОПЧЙФУС Й ОБЮОЕФ ДЧЙЗБФШУС Л РПМПЦЕОЙА ТБЧОПЧЕУЙС Й Ф. Д. рТЙ ЬФПН И — УНЕЭЕОЙЕ ФЕМБ ПФ РПМПЦЕОЙС ТБЧОПЧЕУЙС п -ЙЪНЕОСЕФУС РП ЪБЛПОХ

(4.1)

ЗДЕ б, ω, φ₀ ОЕ ЪБЧЙУСФ ПФ ЧТЕНЕОЙ. хТБЧОЕОЙЕ (4.1) ОБЪЩЧБЕФУС ХТБЧОЕОЙЕН ЛПМЕВБОЙК.

1.1 иБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ ЗБТНПОЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙК

ч ХТБЧОЕОЙЙ (4.1) БНРМЙФХДБ б — НБЛУЙНБМШОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ЙЪНЕОСАЭЕКУС ЧЕМЙЮЙОЩ, Ч ОБЫЕН РТЙНЕТЕ б — НБЛУЙНБМШОПЕ УНЕЭЕОЙЕ ПФ РПМПЦЕОЙС ТБЧОПЧЕУЙС. бНРМЙФХДБ ЪБЧЙУЙФ ПФ ЬОЕТЗЙЙ, УППВЭЕООПК УЙУФЕНЕ Ч ОБЮБМШОЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ (РПЛБЦЕН ОЙЦЕ). гЙЛМЙЮЕУЛБС (ЙМЙ ЛТХЗПЧБС) ЮБУФПФБ ω — ЮЙУМП РПМОЩИ ЛПМЕВБОЙК, УПЧЕТЫБЕНЩИ УЙУФЕНПК ЪБ, РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ 2π У. юБУФПФБ ν — ЮЙУМП РПМОЩИ ЛПМЕВБОЙК, УПЧЕТЫБЕНЩИ УЙУФЕНПК ЪБ 1 У. рЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК ф — РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ, ЪБ ЛПФПТЩК УПЧЕТЫБЕФУС ПДОП РПМОПЕ ЛПМЕВБОЙЕ:

(4.2)

ЗДЕ ν, ω, ф ПРТЕДЕМСАФУС РБТБНЕФТБНЙ ЛПМЕВМАЭЕКУС УЙУФЕНЩ.

жБЪБ ЛПМЕВБОЙК ( ωT + φ₀ ) ПРТЕДЕМСЕФ РПМПЦЕОЙЕ ЛПМЕВМАЭЕЗПУС ФЕМБ Ч ДБООЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ, φ₀ — ОБЮБМШОБС ЖБЪБ, ПРТЕДЕМСАЭБС РПМПЦЕОЙЕ ЛПМЕВМАЭЕЗПУС ФЕМБ Ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t = 0. жБЪБ ПВЩЮОП ЙЪНЕТСЕФУС Ч ТБДЙБОБИ.

рТЙНЕТ 1. лПМЕВБОЙС НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ РТПЙУИПДСФ ПФОПУЙФЕМШОП РПМПЦЕОЙС ТБЧОПЧЕУЙС 0 РП ЪБЛПОХ И = A sin ωt У РЕТЙПДПН 12 У. пРТЕДЕМЙФЕ, ЪБ ЛБЛПК ОБЙНЕОШЫЙК РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ t₁ ФПЮЛБ ХДБМЙФУС ПФ РПМПЦЕОЙС ТБЧОПЧЕУЙС ОБ ТБУУФПСОЙЕ, ТБЧОПЕ РПМПЧЙОЕ БНРМЙФХДЩ. ъБ ЛБЛПК РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ t₂ ПОБ РТПКДЕФ ПУФБЧЫХАУС ЮБУФШ РХФЙ ДП НБЛУЙНБМШОПЗП ПФЛМПОЕОЙС?

тЕЫЕОЙЕ. ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t₁ УНЕЭЕОЙЕ ТБЧОП б/2:

б/2 = A sin ωt₁ , ЙМЙ sin ωt₁ = 1/2, ПФЛХДБ

пЛПОЮБФЕМШОП, t₁ = T /12 = l c.

тБУУФПСОЙЕ ПФ ФПЮЛЙ ТБЧОПЧЕУЙС ДП ФПЮЛЙ НБЛУЙНБМШОПЗП ПФЛМПОЕОЙС НБФЕТЙБМШОБС ФПЮЛБ РТПИПДЙФ ЪБ t = ф / 4. уМЕДПЧБФЕМШОП, t₂ = T /4 — ф /12 = 2У.

4.1.2 лЙОЕНБФЙЛБ ЗБТНПОЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙК

еУМЙ И = A sin (ωt + φ₀ ), ФП УЛПТПУФШ ТБЧОБ

(4.3)

ЗДЕ υ₀ = A ω — БНРМЙФХДОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ УЛПТПУФЙ. хУЛПТЕОЙЕ ЙЪНЕОСЕФУС РП ЪБЛПОХ

(4.4)

ЗДЕ a₀ = A ω 2 — БНРМЙФХДОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ХУЛПТЕОЙС. ъОБЮЕОЙС УЛПТПУФЙ Й ХУЛПТЕОЙС, ФБЛ ЦЕ ЛБЛ Й УНЕЭЕОЙС, ЙЪНЕОСАФУС РП ЗБТНПОЙЮЕУЛПНХ ЪБЛПОХ. йЪ (4.1), (4.3) Й (4.4) УМЕДХЕФ, ЮФП ЙЪНЕОЕОЙС УЛПТПУФЙ ПФУФБАФ ОБ РП ЖБЪЕ ПФ УНЕЭЕОЙС, Б ЙЪНЕОЕОЙЕ ХУЛПТЕОЙС РТПЙУИПДЙФ Ч РТПФЙЧПЖБЪЕ УП УНЕЭЕОЙЕН:

йЪ УЛБЪБООПЗП ЧЩЫЕ УМЕДХЕФ, ЮФП ЕУМЙ НБФЕТЙБМШОБС ФПЮЛБ УПЧЕТЫБЕФ ЗБТНПОЙЮЕУЛЙЕ ЛПМЕВБОЙС, ФП УРТБЧЕДМЙЧП ХТБЧОЕОЙЕ (4.5). ьФБ УЧСЪШ ХУЛПТЕОЙС Й УНЕЭЕОЙС, ЛБЛ НПЦОП РПЛБЪБФШ, ЙУРПМШЪХС НЕФПДЩ ЧЩУЫЕК НБФЕНБФЙЛЙ, СЧМСЕФУС ОЕПВИПДЙНЩН Й ДПУФБФПЮОЩН ХУМПЧЙЕН ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ФЕМП УПЧЕТЫБМП ЗБТНПОЙЮЕУЛЙЕ ЛПМЕВБОЙС ПЛПМП РПМПЦЕОЙС ТБЧОПЧЕУЙС. уМЕДПЧБФЕМШОП, ЕУМЙ РТЙ БОБМЙЪЕ РПУФБЧМЕООПК ЪБДБЮЙ ВХДЕФ ОБКДЕОП, ЮФП a_x = cx , ЗДЕ У — РПМПЦЙФЕМШОБС РПУФПСООБС ЧЕМЙЮЙОБ, ФП ФЕМП ВХДЕФ УПЧЕТЫБФШ ЗБТНПОЙЮЕУЛЙЕ ЛПМЕВБОЙС ПЛПМП РПМПЦЕОЙС ТБЧОПЧЕУЙС У ГЙЛМЙЮЕУЛПК ЮБУФПФПК .

рТЙНЕТ 1. фЕМП УПЧЕТЫБЕФ ЛПМЕВБОЙС РП ЪБЛПОХ И = 0,3 sin π(t + 0,5) Н. оБКФЙ БНРМЙФХДХ, РЕТЙПД, ОБЮБМШОХА ЖБЪХ ЛПМЕВБОЙК Й ХУЛПТЕОЙЕ Ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t = 0,5У.

тЕЫЕОЙЕ. хТБЧОЕОЙЕ ЗБТНПОЙЮЕУЛПЗП ЛПМЕВБОЙС ЙНЕЕФ ЧЙД

рП ХУМПЧЙА ЪБДБЮЙ И = 0,3 sin π(t + 0,5) Н, УМЕДПЧБФЕМШОП, БНРМЙФХДБ ЛПМЕВБОЙК б = 0,3 Н, ГЙЛМЙЮЕУЛБС ЮБУФПФБ ω = πc -1 Й ОБЮБМШОБС ЖБЪБ ЛПМЕВБОЙК φ₀ = 0,5π. рЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК ПРТЕДЕМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ T = 2π/ω = 2π/π = 2c.

хУЛПТЕОЙЕ УЧСЪБОП УП УНЕЭЕОЙЕН РП ЖПТНХМЕ

ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t = 0,5 У ХУЛПТЕОЙЕ ВХДЕФ ТБЧОП

Б_И = — 0,ъ π 2 sin (0,5π + 0,5π)Н/У 2 = 0

4.1.3 дЙОБНЙЛБ ЗБТНПОЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙК

уПЗМБУОП 2-НХ ЪБЛПОХ оШАФПОБ, ma_x = F_{ТЕЪ И} , ЗДЕ F_{ТЕЪ И} — РТПЕЛГЙС ОБ ПУШ И ТЕЪХМШФЙТХАЭЕК ЧУЕИ УЙМ, ДЕКУФЧХАЭЙИ ОБ ФЕМП. рПУЛПМШЛХ a_И = -ω 2 x,

ЗДЕ F_{ТЕЪ И} — РТПЕЛГЙС УЙМ ОБ ПУШ И, ЧДПМШ ЛПФПТПК УПЧЕТЫБАФУС ЛПМЕВБОЙС.

йЪ (4.6) УМЕДХЕФ, ЮФП ТБЧОПДЕКУФЧХАЭБС УЙМ, ДЕКУФЧХАЭЙИ ОБ ФЕМП, УПЧЕТЫБАЭЕЕ ЗБТНПОЙЮЕУЛПЕ ЛПМЕВБОЙЕ, РТСНП РТПРПТГЙПОБМШОБ УНЕЭЕОЙА Й ОБРТБЧМЕОБ Ч УФПТПОХ, РТПФЙЧПРПМПЦОХА УНЕЭЕОЙА. уЙМЩ, РТСНП РТПРПТГЙПОБМШОЩЕ УНЕЭЕОЙА Й ОБРТБЧМЕООЩЕ Ч УФПТПОХ, РТПФЙЧПРПМПЦОХА УНЕЭЕОЙА, Ф. Е. ХДПЧМЕФЧПТСАЭЙЕ ХУМПЧЙА F_И = — kx, ОП ЙНЕАЭЙЕ ЙОХА РТЙТПДХ, ЮЕН ХРТХЗЙЕ УЙМЩ, ОБЪЩЧБАФУС ЛЧБЪЙХРТХЗЙНЙ. зБТНПОЙЮЕУЛЙЕ ЛПМЕВБОЙС УПЧЕТЫБАФУС РПД ДЕКУФЧЙЕН ХРТХЗЙИ ЙМЙ ЛЧБЪЙХРТХЗЙИ УЙМ.

рТЙНЕТ 1. фЕМП НБУУПК m РПДЧЕЫЕОП ОБ РТХЦЙОЕ l₀ У ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПН ХРТХЗПУФЙ k (ТЙУХОПЛ 4.2). пРТЕДЕМЙФШ ЮБУФПФХ ω, РЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК ф Й РПМПЦЕОЙЕ ТБЧОПЧЕУЙС l, ПФОПУЙФЕМШОП ЛПФПТПЗП ЬФЙ ЛПМЕВБОЙС РТПЙУИПДСФ.

тЕЫЕОЙЕ: хУМПЧЙЕ ТБЧОПЧЕУЙС ФЕМБ, РПДЧЕЫЕООПЗП ОБ РТХЦЙОЕ: F_Ф = F_ХРТ, ЙМЙ mg = k Δl, УМЕДПЧБФЕМШОП, ДЕЖПТНБГЙС РТХЦЙОЩ ТБЧОБ Δl = mg / k. фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЙ ТБЧОПЧЕУЙЙ ДМЙОБ РТХЦЙОЩ ТБЧОБ l = l₀ + Δl = l₀ + mg / k

чЩВЕТЕН ЪБ ОБЮБМП ПФУЮЕФБ И = 0 РПМПЦЕОЙЕ ТБЧОПЧЕУЙС. рТЙ ПФЛМПОЕОЙЙ ФЕМБ ПФ РПМПЦЕОЙС ТБЧОПЧЕУЙС ПУОПЧОПК ЪБЛПО ДЙОБНЙЛЙ ЙНЕЕФ ЧЙД ma_x = — kx, a_x = — (k / m) x. юБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК

4.1.4 рТЕПВТБЪПЧБОЙС ЬОЕТЗЙЙ РТЙ ЗБТНПОЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙСИ

еУМЙ ЛПМЕВБОЙС ФЕМБ РТПЙУИПДСФ РП ЪБЛПОХ x = A sin(ωt + φ₀) ФП ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС ФЕМБ ТБЧОБ:

(4.7)

рПФЕОГЙБМШОБС ЬОЕТЗЙС ТБЧОБ

(4.8)

рТЙ ЬФПН ЪБ ОХМЕЧПК ХТПЧЕОШ ПФУЮЕФБ РПФЕОГЙБМШОПК ЬОЕТЗЙЙ ЧЩВЙТБЕФУС РПМПЦЕОЙЕ ТБЧОПЧЕУЙС (И = 0). рПМОБС НЕИБОЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС УЙУФЕНЩ ТБЧОБ

(4.9)

бНРМЙФХДБ ЛПМЕВБОЙК ТБЧОБ

Й ПРТЕДЕМСЕФУС ЬОЕТЗЙЕК, УППВЭЕООПК УЙУФЕНЕ. рПФЕОГЙБМШОБС Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙЙ ЙЪНЕОСАФУС РП ЗБТНПОЙЮЕУЛПНХ ЪБЛПОХ У ЮБУФПФПК 2ω. чЩТБЦЕОЙС ДМС РПФЕОГЙБМШОПК Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙК НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ Ч ЧЙДЕ:

зТБЖЙЛ ЪБЧЙУЙНПУФЙ РПФЕОГЙБМШОПК ЬОЕТЗЙЙ ЛПМЕВМАЭЕЗПУС ФЕМБ ПФ УНЕЭЕОЙС И ЙЪПВТБЦЕО ОБ ТЙУХОЛЕ 4.3.

оБ ТЙУХОЛЕ РПЛБЪБОЩ ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС Й РПФЕОГЙБМШОБС ЬОЕТЗЙС ФЕМБ РТЙ И -2 ЛЗ), б = 0,2Н, ф = 4У;

тЕЫЕОЙЕ. ъБРЙЫЕН ХТБЧОЕОЙЕ ЗБТНПОЙЮЕУЛЙИ ЛПМЕВБОЙК: И = A cos (ωt + φ₀), ЗДЕ ω = 2π/T . фБЛ ЛБЛ РП ХУМПЧЙА РТЙ t = 0 УНЕЭЕОЙЕ x = б, ПРТЕДЕМЙН ОБЮБМШОХА ЖБЪХ:

cosφ₀ = 1, ПФЛХДБ φ₀ = 0. пЛПОЮБФЕМШОП ЙНЕЕН

лЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС ЫБТЙЛБ ПРТЕДЕМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:

рПДУФБЧЙН ЮЙУМПЧЩЕ ЪОБЮЕОЙС Й РПМХЮЙН

рПФЕОГЙБМШОБС ЬОЕТЗЙС ЫБТЙЛБ ТБЧОБ

4.1.5 уМПЦЕОЙЕ ЛПМЕВБОЙК, ОБРТБЧМЕООЩИ ЧДПМШ ПДОПК РТСНПК

рХУФШ НБФЕТЙБМШОБС ФПЮЛБ ПДОПЧТЕНЕООП ХЮБУФЧХЕФ Ч ДЧХИ ЛПМЕВБОЙСИ, РТПЙУИПДСЭЙИ ЧДПМШ ПДОПК РТСНПК, ОБРТЙНЕТ, ЧДПМШ ПУЙ И. юБУФПФЩ ЛПМЕВБОЙК ПДЙОБЛПЧЩ, Б ТБЪОПУФШ ЖБЪ ЕУФШ Δφ. фПЗДБ ХТБЧОЕОЙС ЛПМЕВБОЙК ЙНЕАФ ЧЙД

рТЙ УМПЦЕОЙЙ ЬФЙИ ДЧХИ ЛПМЕВБОЙК РПМХЮЙН

пЮЕЧЙДОП, ЮФП БНРМЙФХДБ ТЕЪХМШФЙТХАЭЕЗП ЛПМЕВБОЙС ВХДЕФ ЪБЧЙУЕФШ ПФ ТБЪОПУФЙ ЖБЪ. фБЛ, ЕУМЙ Δφ = ±2πn, ЗДЕ π = 0,1,2. n, ФП И = (A₁ + б₂) sin ωt, Ф. Е. БНРМЙФХДБ ТЕЪХМШФЙТХАЭЕЗП ЛПМЕВБОЙС ТБЧОБ УХННЕ БНРМЙФХД УЛМБДЩЧБЕНЩИ ЛПМЕВБОЙК. еУМЙ Δφ = ±(2n+1)π , ФП И = (б₁ — A₂) sin ωt , Ф. Е. БНРМЙФХДБ ТЕЪХМШФЙТХАЭЕЗП ЛПМЕВБОЙС ТБЧОБ ТБЪОПУФЙ БНРМЙФХД Й ЛПМЕВБОЙС РТПЙУИПДСФ У НЙОЙНБМШОПК БНРМЙФХДПК. еУМЙ БНРМЙФХДЩ УЛМБДЩЧБЕНЩИ ЛПМЕВБОЙК ТБЧОЩ, ФП Ч ЬФПН УМХЮБЕ ЛПМЕВБОЙК ЧППВЭЕ РТПЙУИПДЙФШ ОЕ ВХДЕФ.

4.1.6 ъБФХИБАЭЙЕ ЛПМЕВБОЙС

чЩЫЕ ВЩМ ТБУУНПФТЕО УМХЮБК, ЛПЗДБ УПРТПФЙЧМЕОЙЕ ПФУХФУФЧХЕФ Й ОБ ФЕМП ДЕКУФЧХЕФ ФПМШЛП УЙМБ F₁ = — kИ. чП ЧУЕИ ТЕБМШОЩИ УМХЮБСИ РПНЙНП ЬФПК УЙМЩ ОБ ФЕМП ДЕКУФЧХЕФ УЙМБ УПРТПФЙЧМЕОЙС, ЛПФПТБС ПВЩЮОП УЮЙФБЕФУС РТПРПТГЙПОБМШОПК УЛПТПУФЙ Й ОБРТБЧМЕООПК Ч УФПТПОХ, РТПФЙЧПРПМПЦОХА УЛПТПУФЙ: F2 = — r v, ЗДЕ r — РПУФПСООЩК ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ. фПЗДБ ЙЪ 2-ЗП ЪБЛПОБ оШАФПОБ ЙНЕЕН

йМЙ a = -ω₀ 2 x — βv, РТЙЮЕН ω₀ 2 = k/m, ω₀ -ЮБУФПФБ УПВУФЧЕООЩИ ЛПМЕВБОЙК УЙУФЕНЩ Ч ПФУХФУФЧЙЕ ЪБФХИБОЙС, r/m =2β , ЗДЕ β — ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ЪБФХИБОЙС. пЮЕЧЙДОП, ЮЕН ВПМШЫЕ r Й ЮЕН НЕОШЫЕ m, ФЕН ВЩУФТЕЕ ВХДХФ ЪБФХИБФШ ЛПМЕВБОЙС. тЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС (4.10) ЙНЕЕФ ЧЙД:

(4.11)

ЗДЕ . лПМЕВБОЙС, ПРЙУЩЧБЕНЩЕ ХТБЧОЕОЙЕН, УФТПЗП ЗПЧПТС ОЕ СЧМСАФУС РЕТЙПДЙЮЕУЛЙНЙ. фБЛЙЕ ЛПМЕВБОЙС РТЙОСФП ОБЪЩЧБФШ ЪБФХИБАЭЙНЙ ЛПМЕВБОЙСНЙ У РЕТЙПДПН

оБ ТЙУХОЛЕ 4.4 РТЙЧЕДЕО ЗТБЖЙЛ ЪБЧЙУЙНПУФЙ x (t). бНРМЙФХДБ ЙЪНЕОСЕФУС РП ЬЛУРПОЕОГЙБМШОПНХ ЪБЛПОХ (ЫФТЙИПЧБС МЙОЙС).

еУМЙ УЙМПК УПРТПФЙЧМЕОЙС РТЕОЕВТЕЮШ ОЕМШЪС, ФП НЕИБОЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС Ч РТПГЕУУЕ ЛПМЕВБОЙК ОЕРТЕТЩЧОП ХНЕОШЫБЕФУС, РЕТЕИПДС ЧП ЧОХФТЕООАА ЬОЕТЗЙА. бНРМЙФХДБ ЛПМЕВБОЙК ВХДЕФ ХНЕОШЫБФШУС Й ЛПМЕВБОЙС РПУФЕРЕООП ЪБФХИОХФ.

4.1.7 чЩОХЦДЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС

дМС РПДДЕТЦБОЙС ЛПМЕВБОЙК Ч УЙУФЕНЕ ОЕПВИПДЙНП, ЮФПВЩ ДЕКУФЧПЧБМБ УЙМБ, ТБВПФБ ЛПФПТПК ЛПНРЕОУЙТПЧБМБ ВЩ ХНЕОШЫЕОЙЕ НЕИБОЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ. ьФБ УЙМБ ДПМЦОБ ВЩФШ РЕТЕНЕООПК, ФБЛ ЛБЛ РПУФПСООБС УЙМБ НПЦЕФ ФПМШЛП ЙЪНЕОЙФШ РПМПЦЕОЙЕ ТБЧОПЧЕУЙС, ОП ОЕ НПЦЕФ УРПУПВУФЧПЧБФШ РПДДЕТЦБОЙА ЛПМЕВБОЙК Ч УЙУФЕНЕ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБ УЙУФЕНХ, УПЧЕТЫБАЭХА ЛПМЕВБОЙС ДПМЦОБ ДЕКУФЧПЧБФШ ЧЩОХЦДБАЭБС УЙМБ , ЗДЕ F₀ — БНРМЙФХДБ ЧЩОХЦДБАЭЕК УЙМЩ, Ω — ЕЕ ЮБУФПФБ. рПНЙНП ЧЩОХЦДБАЭЕК УЙМЩ ОБ ФЕМП ДЕКУФЧХАФ УЙМБ ХРТХЗПУФЙ (ЙМЙ ЛЧБЪЙХРТХЗБС УЙМБ) F₁= -kx Й УЙМБ УПРТПФЙЧМЕОЙС F₂ = -rv . йЪ 2-ЗП ЪБЛПОБ оШАФПОБ Ч ЬФПН УМХЮБЕ ЙНЕЕН

(4.12)

уПВУФЧЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС Ч УЙУФЕНЕ ЪБФХИОХФ, УМЕДПЧБФЕМШОП, ЧЩОХЦДЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС РТПЙУИПДСФ У ЮБУФПФПК ЧЩОХЦДБАЭЕК УЙМЩ. лПМЕВБОЙС, РТПЙУИПДСЭЙЕ РПД ДЕКУФЧЙЕН ЧЩОХЦДБАЭЕК УЙМЩ, ОБЪЩЧБАФУС ЧЩОХЦДЕООЩНЙ ЛПМЕВБОЙСНЙ. хТБЧОЕОЙЕ ЧЩОХЦДЕООЩИ ЛПМЕВБОЙК ЙНЕЕФ ЧЙД

(4.13)

ЗДЕ б — БНРМЙФХДБ ЧЩОХЦДЕООЩИ ЛПМЕВБОЙК, α₀ — ЖБЪБ, ПРТЕДЕМСЕНЩЕ УППФОПЫЕОЙСНЙ

,

(4.14)

йЪ (4.14) ЧЙДОП, ЮФП БНРМЙФХДБ Й ЖБЪБ ЪБЧЙУСФ ПФ УППФОПЫЕОЙС НЕЦДХ ЮБУФПФПК УПВУФЧЕООЩИ ЛПМЕВБОЙК ω₀ Й ЮБУФПФПК ЧЩОХЦДБАЭЕК УЙМЩ Ω. рТЙ УПЧРБДЕОЙЙ ЬФЙИ ЮБУФПФ БНРМЙФХДБ ЛПМЕВБОЙК ВХДЕФ ТЕЪЛП ЧПЪТБУФБФШ. ьФП СЧМЕОЙЕ РПМХЮЙМП ОБЪЧБОЙЕ ТЕЪПОБОУБ. тЕЪПОБОУОБС БНРМЙФХДБ ЪБЧЙУЙФ ПФ УПРТПФЙЧМЕОЙС УТЕДЩ (ТЙУХОПЛ 4.5).

лТЙЧПК 1 УППФЧЕФУФЧХЕФ НЕОШЫЕЕ УПРТПФЙЧМЕОЙЕ УТЕДЩ, ЮЕН ЛТЙЧПК 2. рТЙ , Й УППФЧЕФУФЧЕООП ХТБЧОЕОЙЕ ЛПМЕВБОЙК ЙНЕЕФ ЧЙД . фПЗДБ УЛПТПУФШ ЙЪНЕОСЕФУС РП ЪБЛПОХ . йЪ РПУМЕДОЕЗП ТБЧЕОУФЧБ ПЮЕЧЙДОП, ЮФП УЛПТПУФШ ЙЪНЕОСЕФУС Ч ЖБЪЕ У ЧЩОХЦДБАЭЕК УЙМПК. чПЪТБУФБОЙЕ БНРМЙФХДЩ РТЙ ТЕЪПОБОУЕ ПВЯСУОСЕФУС ФЕН, ЮФП РТЙ ω₀ = Ω ОБРТБЧМЕОЙЕ ЧЩОХЦДБАЭЕК УЙМЩ ЧУЕ ЧТЕНС УПЧРБДБЕФ У РЕТЕНЕЭЕОЙЕН, Й УМЕДПЧБФЕМШОП, ЧЩОХЦДБАЭБС УЙМБ ВХДЕФ ОЕРТЕТЩЧОП УПЧЕТЫБФШ РПМПЦЙФЕМШОХА ТБВПФХ. фБЛЙН ПВТБЪПН, НЕИБОЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС, Б УППФЧЕФУФЧЕООП, Й БНРМЙФХДБ ВХДХФ ТБУФЙ. рТЙ ПФУХФУФЧЙЙ УПРТПФЙЧМЕОЙС УТЕДЩ БНРМЙФХДБ УФТЕНЙФУС Л ВЕУЛПОЕЮОПУФЙ. рТЙ ω₀ ≠ Ω , ЧЩОХЦДБАЭБС УЙМБ ОБ ПДОЙИ РЕТЕНЕЭЕОЙСИ УПЧЕТЫБЕФ РПМПЦЙФЕМШОХА, Б ОБ ДТХЗЙИ ПФТЙГБФЕМШОХА ТБВПФХ, Й РПЬФПНХ БНРМЙФХДЩ ЧЩОХЦДЕООЩИ ЛПМЕВБОЙК ОЕЧЕМЙЛЙ.