Как найти вектор сдвига для решений системы уравнений

Урок по теме «Решение систем уравнений с помощью скалярного произведения векторов»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Проверить и закрепить знания, полученные по темам «Правило Крамера» и «Метод Гаусса» для решения систем линейных уравнений с двумя и тремя переменными;
• Повторить необходимый материал из геометрии для усвоения нового типа систем и метода их решения;
• Провести исследовательскую работу на этапе обобщения темы.

Ход урока

1. Организационный момент.

«Не мыслям учить надо, а мыслить» (Кант).

«Кто мало думает, много ошибается» (Леонардо да Винчи).

Последуем этим полезным советам: будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они скоро вам пригодятся.

Перед нами стоит задача: повторить методы и способы решения линейных систем уравнений с двумя и тремя переменными и усвоить новый тип систем с тремя переменными.

2. Устный опрос.

Проводится в форме фронтальной работы с классом. Проверяются теоретические знания. Умение их применять будет проверено на следующем этапе урока.

а) какие системы называются совместными?

б) что называется решением системы с двумя переменными?

в) геометрическая интерпретация решения системы с двумя переменными;

г) перечислить известные методы решения линейных систем с двумя переменными;

д) сформулировать правило Крамера;

е) как составляются определители ∆, ∆х, ∆у?

ж) перечислить условия, при которых система:

• имеет единственное решение,
• не имеет решения,
• имеет бесконечное множество решений;

з) приведение системы к треугольному виду с помощью метода Гаусса.

3. Решение систем.

На доске записать две системы:

С обратной стороны доски эти же системы записаны для учеников, которые вызываются учителем. По окончании решения они должны прокомментировать основные этапы решения.

Так как скорость выполнения заданий различна, то записывается на доске еще одно задание:

Найти значения параметра m, при которых система имеет решение, удовлетворяющее х > 1 и у => х = у = z,

подставляя в (1) получаем: ; х = 1, т.о. х = 1; у = 1;z = 1.

Проверим является ли тройка (1;1;1) решением системы?

Для этого осуществляем подстановку в (3) уравнение и убеждаемся, что (1;1;1) — решение системы.

2) Работа с учебником (Виленкин,11).

Найти задание № 3 стр. 148

Задание учащимся: разобраться, почему система, которую можно решить, используя скалярное произведение, вместо единственного решения имеет бесконечное множество решений.

Поиск пошел по пути определения и , как в примере 1 и 2, т.е. учащиеся ввели:

<x; y; z>,

; = ; , т.е. , чего не может быть по определению скалярного произведения».

4) Таким образом можно сформулировать алгоритм решения систем с помощью скалярного произведения (формулируют учащиеся).

5. Самостоятельная работа (с самопроверкой в классе).

Показать, что система несовместна.

Пусть <5x6; 4y4; 3z2>,

;

т.к. = ; = и система несовместна.

Для самопроверки на обратной доске сделаны записи координат векторов и , что является наиболее сложным в этом примере, а также проведено сравнение величины с .

6. Домашнее задание.

1) Решить систему: ответ:

2) Решить систему: ответ:

3) Решить систему: ответ: (1;1;1)

4) Повторить по 10-му классу вопросы:

• монотонность функции,
• исследование функции на монотонность с помощью производной.

7. Подведение итогов урока.

Основные определения и понятия

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными

. (1)

Матрица A,составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы уравнений (1)

называют расширенной матрицей системы, ее последний столбец отделяют вертикальной чертой.

и .

называют соответственно вектором неизвестных и вектором правых частей системы (1). В этих обозначениях векторно-матричная запись системы (1) выглядит так:

(2)

Если вектор , то система называется однородной, если же (хотя бы один из элементов отличен от нуля), то система называется неоднородной.

Решением системы (1) называется такой вектор , что при подстановке чисел в систему (1) получаются верные равенства (тождества).

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают. Если к некоторому уравнению системы прибавить другое, умноженное на число, то решения системы не меняются. Заметим, что операции над системой уравнений сводятся к элементарным преобразованиям над расширенной матрицей . Таким образом, элементарные преобразования над не меняют совокупности ее решений.

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему

(3)

Заметим, что однородная система всегда совместна, поскольку нуль-вектор – ее решение.

Вопрос лишь в том, единственно ли это решение и если нет, то что представляет собой совокупность всех ее решений.

Теорема. Множество всех решений однородной системы образует подпространство в

Действительно, если – решения системы (3), т.е. и , то , где – числа, также является решением системы (3):

.

Итак, решения однородной системы можно складывать, умножать на число, новый вектор вновь будет решением этой системы. Мы знаем, что в любом подпространстве (кроме ) можно выделить базис и любой вектор подпространства представить в виде линейной комбинации векторов базиса.

Обозначим V – подпространство решений однородной системы (3), а – некоторый базис в V.

Любой базис подпространства V решений однородной системы называют фундаментальной системой решений (ФСР).

Число векторов ФСР , где – число неизвестных системы (3), а r – ранг матрицы A. Таким образом, размерность подпространства решений .

Любой вектор-решение (общее решение) является линейной комбинацией векторов ФСР: .

Научимся находить общее решение однородной системы. Для этого применяется метод Гаусса. Метод Гаусса для решения систем уравнений состоит из прямого и обратного хода. Прямым ходом заданную систему приводят к эквивалентной ступенчатой системе, которая легко поддается исследованию. Решение системы находится обратным ходом метода Гаусса.

Проиллюстрируем алгоритм метода на примере системы:

Все преобразования системы сводятся к преобразованиям матрицы системы.

Прямой ход метода Гаусса.

1. Приведем матрицы системы к ступенчатому виду:

Матрица ступенчатая, ее ранг .

2. Выпишем соответствующую систему уравнений:

.

Мы отбросили последнее уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Заметим, что угловые элементы матрицы являются коэффициентами при в ступенчатой системе.

3. Назовем переменные , не связанные с угловыми элементами, свободными, а – зависимыми переменными (несвободными). Зависимыми переменными всегда объявляются переменные, коэффициентами которых являются угловые элементы. Заметим, что при другом способе приведения матрицы к ступенчатому виду свободными переменными могут оказаться переменные с другими индексами. Однако число свободных переменных всегда равно
В данном примере

Обратный ход метода Гаусса.

1. Выразим зависимые переменные через свободные из ступенчатой системы, начиная с последнего уравнения и «поднимаясь» вверх к первому. В результате получим

. (*)

Полученные выражения дают описание всего множества решений однородной системы (3). Давая свободным переменным произвольные значения (они играют роль параметров для множества решений) и вычисляя значения зависимых переменных, получаем некоторое частное решение системы. Так можно получить все решения системы, поэтому выражения (*) называют общим решением системы в координатной форме.

2. Запишем общее решение в векторной форме. Выберем из общего решения (*) линейно независимых решений и составим из них ФСР. Для этого придадим свободным переменным значения , тогда из (*) получим и ; затем , вычислим из (*) и .

Векторы линейно независимы (в силу выбора свободных переменных) и образуют ФСР.

Общее решение системы, записанное в векторной форме, имеет вид

.

Итак, размерность подпространства есть , где . Если (т.е. A имеет «полный ранг»), , т.е. имеет нулевую размерность ( ), а значит, состоит лишь из нулевого вектора . В этом случае однородная система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Неоднородные системы

Мы научились находить общее решение однородной системы. Перейдем теперь к неоднородным системам. Процедура получения общего решения (в координатной и векторной формах) для них будет похожей.

Пусть дана система или в координатной форме

.

Соответствующая этой системе однородная система имеет ту же матрицу системы , а вектор правых частей , т.е. .

Справедливо следующее утверждение.

Пусть – некоторое частное решение неоднородной системы , а – решение соответствующей однородной системы. Тогда вектор будет решением неоднородной системы. Действительно, .

Это означает, что к решениям однородной системы можно прибавить решение неоднородной системы, в результате получим решение неоднородной системы.

Чтобы получить общее решение неоднородной системы, нужно к общему решению соответствующей однородной системы прибавить некоторое частное решениенеоднородной.

В отличие от однородной системы неоднородная не всегда совместна, поэтому прежде чем находить решение системы необходимо выяснить вопрос, существует ли хотя бы одно решение, т.е. совместна ли система. Ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности неоднородной системы): система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы A равен рангу расширенной матрицы .

Рассмотрим метод Гаусса для решения неоднородной системы уравнений на примере системы

Прямой ход метода Гаусса.

1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

Здесь , система совместна.

2. Запишем эквивалентную ступенчатую систему:

Переменные являются зависимыми, а – свободной переменной.

Обратный ход метода Гаусса.

1. Выразим зависимые переменные через свободные. Запишем общее решение неоднородной системы в координатной форме.

Выразим переменные через свободную переменную :

(*)

Полученные равенства задают общее решение исходной системы в координатной форме. Заметим, что для получения общего решения однородной системы нет нужды повторять заново всю процедуру. Достаточно в формулах (*) заменить свободные члены нулями. Получим общее решение однородной системы в координатной форме:

(**)

Размерность подпространства V решений однородной системы , а значит, ФСР содержит лишь один вектор. Найдем его из равенств (**), придавая свободной переменной любое отличное от нуля значение, например, пусть , тогда , , и базисный вектор .

Общее решение однородной системы в векторной форме выглядит так: , здесь – произвольная постоянная (сокращение «оо» означает общее «однородного»).

Остается найти частное решение неоднородной системы. Для этого в формулах (*) свободной переменной придадим произвольное (например, нулевое) значение, получаем: .

.

– общее решение в векторной форме.

Пример.

, ; ;

Таким образом, ранги расширенной и основной матриц системы не равны, теорема Кронекера-Капелли не выполняется, система несовместна. Итак, всякое решение неоднородной системы ( – «общее неоднородной») есть сумма частного решения неоднородной ( ) и общего решения однородной ( ): , или , где – фундаментальная система решений (базис подпространства решений однородной системы). Можно показать, что множество решений неоднородной системы не является подпространством (проверьте это самостоятельно). Множество представляет собой сдвиг пространства V на произвольный вектор . Результат сдвига не зависит от выбора частного решения .

Говорят, что множество является «параллельным сдвигом» подпространства V. Понимать это нужно так: любой вектор – решение неоднородной системы может быть получен по формуле соответствующим подбором постоянных .

Лекции по высшей математике, линейная алгебра (стр. 4 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

Запишем в разных видах систему уравнений .

· = — матричный вид;

x 1 + x 2 = — векторный вид;

Вектор`x * = называется решением системы линейных уравнений, если при подстановке его координат в уравнения системы все уравнения обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет ровно одно решение.

Система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

2. СИСТЕМЫ n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ.

Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее строки линейно независимы.

Согласно этому определению, свойствам определителей, критерию существования обратной матрицы получаем, что невырожденная матрица имеет ненулевой определитель и обладает обратной матрицей.

Благодаря этим свойствам имеем два особых метода решения системы A`x =`b с квадратной невырожденной матрицей A.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СЛУ.

Если матрица A системы A`x =`b квадратная невырожденная, то существует единственное решение`x * этой системы, равное произведению обратной матрицы A– 1 на столбец свободных членов`b, `x * = A– 1`b.

Докажем сначала, что вектор`x * является решением системы A`x =`b. В самом деле, A`x * = A · A– 1`b = E`b =`b, то есть A`x * =`b и`x * является решением системы A`x =`b.

Докажем теперь единственность этого решения. Предположим, что имеется еще другое решение`x 1, то есть A`x 1 =`b — верное равенство. Домножим обе части этого равенства слева на A– 1. Получим A– 1 A`x 1 = A– 1`b и, следовательно,`x 1 = A– 1`b, то есть`x 1 =`x *. Теорема доказана.

Таким образом, матричный метод решения системы A`x =`b с квадратной невырожденной матрицей A состоит в нахождении решения этой системы по формуле`x * = A– 1`b.

Если матрица A системы A`x =`b квадратная невырожденная, то существует единственное решение`x * = этой системы, которое может быть найдено по формулам:

, , … , , где D — определитель матрицы A, D j — определитель, полученный из D заменой в нем j –го столбца на столбец свободных членов`b (для всех j = 1, 2, … , n).

ПРИМЕР решения системы линейных уравнений по правилу Крамера.

.

D = = 1 + 6 = 7, D 1 = = 0 + 14 = 14, D 2 = = 7 – 0 = 7,

= 2, = 1,`x * = .

3. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Рассмотрим систему уравнений A`x =`b с произвольной матрицей A. Исследуем вопрос о ее совместности и количестве решений.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ.

Для того, чтобы система уравнений A`x =`b была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу ее расширенной матрицы.

1) Пусть система уравнений A`x =`b является совместной. Докажем, что ранг r A матрицы A равняется рангу r à расширенной матрицы Ã.

Представим матрицы A и Ã как системы их векторов столбцов

соответственно. Ранг матрицы A равен рангу системы векторов (1), а ранг матрицы Ã равен рангу системы векторов (2). Поскольку система векторов (1) является подсистемой системы векторов (2), то r A £ r Ã.

Так как система A`x =`b является совместной, то существует вектор `x * = , координаты которого удовлетворяют данной системе, или, в векторном виде, имеет место равенство x 1*`A 1 + x 2*`A 2 + … + x n*`A n =`b. Отсюда следует, что`b Î L (`A 1,`A 2 , … ,`A n ) и, следовательно,

`A 1,`A 2 , … ,`A n ,`b Î L (`A 1,`A 2 , … ,`A n ). По свойствам ранга системы векторов r à £ r A. Но так как r A £ r à , то r A = r à .

2) Пусть теперь r A = r à = r. Докажем, что система A`x =`b является совместной. Согласно определению базиса системы векторов базисы систем (1) и (2) содержат по r векторов. Пусть`A 1, `A 2 , … ,`A r — базис системы (1). Тогда эти же векторы будут являться и базисом системы (2). Действительно, векторы`A 1,`A 2 , … ,`A r образуют линейно независимую подсистему системы (2), а поскольку их количество совпадает с рангом системы (2), то они являются базисом этой системы. Следовательно, вектор`b можно представить в виде линейной комбинации векторов`A 1,`A 2 , …,`A r :

`b = l 1`A 1 + l 2`A 2 + … + l r`A r, а также в виде линейной комбинации

`b = l 1`A 1 + l 2`A 2 + … + l r`A r + 0`A r + 1 + … + 0`A n. Справедливость последнего равенства означает, что вектор`x *, координатами которого являются числа l 1, l 2 , … , l r , 0, … , 0 является решением системы уравнений A`x =`b, то есть система A`x =`b совместна. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА ОБ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ СЛУ.

Пусть система уравнений A`x =`b является совместной, имеет n неизвестных и r A = r à = r.