Как называется действие приводящее уравнение к линейному

Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса

Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.

Общие сведения

Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.

Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.

В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.

Классификация уравнений

Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:

Обыкновенные.

С параметром.

Высшей степени.

Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.

Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.

Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.

Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.

Обыкновенные тождества

Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:

Раскрыть скобки.

Произвести математические преобразования над компонентами уравнения.

Сгруппировать элементы: перенести неизвестные в одну, а известные — в другую сторону.

Найти корень или доказать его отсутствие (учитывать и знаменатель при его наличии).

Выполнить проверку, подставив решение в исходное равенство.

Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:

7 (t 2 −1)-7t 2 +7t=7t 2 −7-7t 2 +7t=8.

7t 2 −7t 2 +7t-7=7t-7=8.

7t=15.

t=2,5.

7 (2,5−1)(2,5+1)-7*2,5 (2,5−1)=8. При расчете можно получить следующее тождество, которое является истинным: 8=8.

Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.

Выражения с параметром

Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:

Записать равенство.

Раскрыть скобки и привести подобные элементы к общему виду.

Выполнить математические преобразования, при помощи которых следует отделить некоторый параметр от переменной.

Записать диапазон значений, при которых неизвестная величина в третьем пункте не превращает уравнение в пустое множество.

Записать формулу определения корня.

При необходимости подставить значение параметра.

Проверить результат.

Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:

t-2+pt=0.

Опускается, поскольку в выражении нет скобок.

(t+pt)=t (1+p)=2.

p не должен быть -1: (-inf;-1)U (-1;+inf), где -inf и +inf — минус и плюс бесконечность соответственно.

t=2/(1+p).

При p=0: t=2.

2−2+0*2=0.

Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p). Каждый ученик должен понять основной смысл решения уравнений этого типа — научиться находить область значений параметра, не превращающие выражение в пустое множество.

Понижение степени

Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. К ним относятся следующие виды: квадратные, кубические и бикубические. Каждый из трех видов имеет собственный алгоритм нахождения корней.

Однако некоторые из них можно свести к линейному типу. Для этого применяется метод разложения на множители. Он подразумевает алгебраические соотношения, при помощи которых выражение легко записывается в обыкновенной линейной форме. К ним относятся следующие:

Первая и вторая формула называется квадратом суммы или разности соответственно. Третья — разность квадратов. Кроме того, бывают случаи, при которых невозможно применить эти тождества. Для этого требуется выносить общий множитель за скобки, тем самым понижая степень. Для нахождения корней существует определенная методика:

Написать равенство с неизвестным.

Выполнить анализ его структуры и сопоставить с одним из соотношений. Если операцию выполнить невозможно, то следует осуществить математические преобразования по вынесению общего множителя.

Решить линейные уравнения.

Произвести проверку, подставив корни или корень в исходное выражение в первом пункте методики.

Реализация алгоритма нужно проверить на практическом примере, т. е. следует решить уравнение «3t^2-3=0». Найти его корни можно, воспользовавшись вышеописанной методикой:

3t^2-3=0.

3(t^2-1)=0.

Сократить обе части на 3: t^2-1=0.

Воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов): (t-1)(t+1)=0.

У уравнения два корня: t1=1 и t2=-1.

Подставить t1 и t2: 3*1-3=0 и 3*(-1)^2-3=0. Оба решения являются верными, поскольку не обращают искомое тождество в пустое множество.

Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.

Системы линейного типа

Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:

Записать систему уравнений.

Выбрать наиболее простое тождество и выразить одну величину через другую.

Подставить в любое выражение переменную, выраженную во втором пункте алгоритма.

Раскрыть скобки и выполнить математические преобразования.

Решить уравнение в четвертом пункте.

Подставить корень, полученный на пятом шаге алгоритма, во 2 пункт.

Найти вторую переменную.

Записать результат.

Выполнить проверку.

Однако для практического применения вышеописанной методики необходимо разобрать систему уравнений, состоящую из двух тождеств (5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0). Решать ее нужно по вышеописанной методике:

5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0.

Простое выражение: 5t-2s=1. Выразить s: s=(5t-1)/2.

(2t-s)(2t+s)=[4t/2-(5t-1)/2][4t/2+(5t-1)/2]=8t=8.

8t=8=>t=1.

5*1-2s=1. Отсюда s=2.

5*1-2*2=1=1 (равенство действительное).

В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.

Следует отметить, что еще одним методом решения системы уравнений считается построение графиков функций, входящих в ее состав. Методика поиска решений сводится к простым шагам, которые можно править относительно предыдущего алгоритма таким образом:

Упростить все выражения, входящие в систему.

Выразить одну величину через другую в каждом выражении. Следует учитывать, что искомая переменная должна быть обязательно без степени и коэффициентов.

Построить отдельно для каждой функции специальные таблицы значений зависимости одной переменной от другой.

Начертить прямоугольную систему координат.

Отметить точки, исходя из таблицы, в системе координат.

Соединить точки плавными линиями при помощи карандаша.

Проделать аналогичные действия над другими тождествами (5 и 6).

Определить точки пересечения функций и записать их координаты.

В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.

Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.

Дистанционный урок по теме «Решение уравнений, приводимых к линейным»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 21 города Ставрополя

Тема. Решение уравнений, приводимых к линейным.

Автор Белоцерковская Татьяна Юрьевна

Образовательное учреждение МБОУ СОШ № 21 города Ставрополя

Краткая аннотация- Закрепление материала по решению линейных уравнений, приводимых к линейным, проверка знаний по данной теме в ходе выполнения самостоятельной работы.

Тема Решение у равнений, приводимых к линейным.

Тип урока Урок закрепления изученного материала

Форма урока урок-семинар , контроль знаний .

Необходимое оборудование и материалы для дистанционного урока компьютер с выходом в интернет,

использование ресурсов сети Интернет –

i-Класс Алгебра I , 7 класс, урок № 5

микрофон, камера, колонки

Требования к уровню ИКТ компетентности обучающихся

умение работать со Skype – звонить, принимать звонки, получать и отправлять файлы

умение работать с MS Word

умение загружать файлы на сайт

Тип доставки учебного материала —

Чтение с сайта, скачивание с сайта и по Skype

Повторить с учащимися решение уравнений и задач, приводимых к линейным.

Проверить умение учащихся решать уравнения и задачи, приводимые к линейным.

Развитие познавательного интереса учащихся к решению уравнений, приводимых к линейным.

Развивать интерес учащихся к выбору профессии.

Воспитание средствами математики уважительного отношения к профессии врача и негативного отношения к табакокурению.

Воспитывать аккуратность, самостоятельность, внимательность, требовательность к себе.

Закрепить навыки решения уравнений, приводимых к линейным.

Контроль полученных знаний.

Создание условий для наилучшего усвоения материала по данной теме.

Создание условий для развития познавательного процесса.

таблица «Линейное уравнение с одной переменной»,

карточки «Домашнее задание» к уроку,

карточки для работы на уроке,

карточки для самостоятельной работы,

плакат-рисунок к домашней задаче,

газеты о вреде курения,

Учебно-методическое обеспечение учебник «Алгебра, 7 класс», под редакцией С.А. Теляковского.

Время реализации занятия 1 урок – 40 минут

Примерная структура дистанционного урока

Устанавливается связь с учеником посредством программы Skype . Затем объявляется тема урока и его ход.

Проверка домашнего задания, теоретического материала, устный счет.

Теоретический материал (учитель задает вопросы по изученному материалу):

Уравнение какого вида называется линейным уравнением с одной переменной?

Что значит решить уравнение?

Что называется корнем уравнения?

Сколько корней может иметь линейное уравнение?

Когда линейное уравнение имеет один корень?

Затем проверяется домашнее задание с использованием слайда презентации.

Устно (учащийся решает уравнения, учитель комментирует):

Комментарий учителя: имеет один корень — число 5.

Комментарий учителя : уравнение имеет три корня: 1, 5 и 8. Каждое из этих значений x обращает произведение ( x — 1)( x — 5)( x — 8) в ноль, а при любых других значениях x ни один из множителей не равен нулю, а значит, не равно нулю их произведение.

Комментарий учителя: уравнение не имеет корней, так как значение его левой части меньше значения правой части на 4 при любом значении x .

Уравнение 3( x + 5) = 3 x + 15

Комментарий учителя: уравнение имеет бесконечно много корней, так как в силу распределительного свойства умножения значение его левой части равно значению правой части при любом значении x .

Решение задачи и уравнений.

Рассмотрим и решим задачу (выход в I – школу, урок № 5):

В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?

Пусть x — число мальчиков в классе, тогда 2 x — число девочек. Если уйдут три девочки, то останется (2 x — 3) девочек. Если придут три мальчика, то станет ( x + 3) мальчиков. По условию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков, отсюда составим уравнение:

Чтобы найти неизвестное число мальчиков, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями с одной переменной. Нам надо найти число, при подстановке которого вместо x в уравнение (2 x — 3) — ( x + 3) = 4 получается верное равенство.

Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем:

2 x — 3 — x — 3 = 4; (раскрыли скобки)

x — 6 = 4; (привели подобные слагаемые)

Число 10 называют корнем уравнения.

Итак, в классе 10 мальчиков, 20 девочек, всего в классе 30 учащихся.

Ответ: 30 человек.

Решим уравнение 4 + 16 x = 21 – (3 + 12 x ).

1) 4 + 16 x = 21 – 3 – 12 x – раскрыли скобки в правой части уравнения.

2) 16 x + 12 x = 21 – 3 – 4 – перенесли слагаемые с неизвестным в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

3) 28 x = 14 – привели подобные слагаемые.

4) x = 14 : 28 — разделили на 28 обе части уравнения.

5) x = 0,5 — корень уравнения.

Все пять уравнений, полученные при решении данного уравнения, являются равносильными ему и имеют решением один и тот же корень: 0,5.

а) Выполни задания по теме «Уравнение и его корни» .

Желаю успеха! (урок № 5 i -школы, Алгебра, 7 класс)

б) Выполни любой из вариантов из презентации.

Итак, мы прошли тему «Решение уравнений, приводимых к линейным», подведем итоги (продублировать часть теоретических вопросов из начала урока).

В заключении я хочу рассказать притчу :

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горящем солнцем тележку с камнями для строительства.

Мудрец остановил их и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?» Тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни.

У второго спросил: «А что ты делал целый день?» Тот ответил: «Я добросовестно выполнял свою работу».

А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием. «А я принимал участие в строительстве храма». Оцени свою работу на уроке. (сигнальные карточки)

Если работал как первый человек, то подними синюю карточку.

Если работал как второй человек, то подними зелёную карточку.

А если работал как третий человек, то подними красную карточку.

Я желаю тебе всегда работать с радостью и удовольствием.

Учебник « Алгебра, 7 класс»,

Дидактический материал «Алгебра, 7 класс», авторы В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.

«Справочник школьника по математике».

Учебно-методическое пособие по математике, автор Н.Г. Миндюк.

Ф. Кривин «Притчи и сказки».

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 581 820 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

10.05.2018
601
7

10.05.2018
565
4

10.05.2018
1138
27

10.05.2018
291
0

10.05.2018
321
0

10.05.2018
1092
0

10.05.2018
947
19

10.05.2018
533
1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

10.05.2018 615
DOCX 373.5 кбайт
6 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Белоцерковская Татьяна Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 5 лет и 4 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 34260
Всего материалов: 24

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным

Метод решения

К линейным уравнениям первого порядка приводится уравнения вида:
(1) ,
где z – функция от y ; p и q – функции от x .
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляя в (1), получаем уравнение, линейное относительно z :
.

Дифференциальные уравнения, линейные относительно переменной x

Ранее мы рассматривали уравнения, линейные относительно переменной y . То есть мы считали, что x является независимой переменной, а y является зависимой переменной. Однако, всегда стоит иметь в виду, что возможен противоположный подход. То есть можно считать переменную y независимой переменной, а x – зависимой переменной. На практике часто встречаются задачи, в которых уравнение линейно относительно переменной x , а не y . В общем виде такое уравнение можно записать так:
(2) ,
где P, Q, R –функции от y .

Покажем, что это уравнение линейно относительно переменной x . Для этого выполняем преобразования. Представим производную в виде отношения дифференциалов:
.
Тогда уравнение (2) примет вид:
.
Умножаем на и выполняем алгебраические преобразования:
;
.
Разделив на R ( y ) , приводим уравнение к виду:
,
где .
Это – линейное относительно x дифференциальное уравнение.

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению первого порядка

Решить уравнение:
(П.1) .

Подставим в (П.1):
.
Считаем, что y – это независимая переменная, а x – зависимая. То есть x – это функция от y . Умножим на :
(П.2) .
Делаем подстановку:
.
Здесь z – сложная функция от y , .
Дифференцируем по y . По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляем в (П.2):
;
.
Это линейное, относительно z , дифференциальное уравнение. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель e y :
;
;
.
Интегрируем по частям:

;

;
;
.
Переходим к переменной x :
;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2012 Изменено: 26-06-2015

источники:

http://infourok.ru/distancionniy-urok-po-teme-reshenie-uravneniy-privodimih-k-lineynim-2994109.html

http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/linejnye/privodyaschiesya/