Как нужно решать уравнения 5 класс

О методике работы репетитора по математике с темой «решение уравнений» в 5-6 классах

З накомство ребенка с уравнениями начинается почти с самого начала изучения математики, задолго до ЕГЭ и, как правило, задолго до обращения к репетитору. Еще в младшей школе решаются простейшие алгебраические уравнения, которые служат фундаментом для построения алгоритмов решения уравнений в 11 классе. Каких только разновидностей уравнений не встретишь в школе: алгебраические, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические. Голова идет кругом. При этом, почти к каждому разделу учебника математики прикрепляются уравнения определенного вида с различной комбинацией изученных действий, функций и разным уровнем сложности. Репетитору по математике важно помнить о том, что методы обучения решению уравнений на разных этапах освоения предмета имеют много общего, так как по сути перед учеником ставится одна и та же задача — подбор числа или чисел, удовлетворяющих данному равенству.

Основы работы с уравнениями закладываются задолго до 11 класса и объясняются на простых математических объектах, пока предмет еще не разделен на алгебру и геометрию. Именно в этом возрасте ребенку отводится время на формирование представление о том, как изучаемый объект устроен и как он используется в реальных ситуациях. Исключение этого важного этапа математической подготовки в большинстве случаев оказывается в последствии невосполнимым. Даже опытный репетитор по математике, работая с учеником старших классов, не сможет в полной мере компенсировать недостаток внимания к уравнениям в младших. Можно только дать представление о методах решения или натаскать на заучивание определенных алгоритмов.

Наверное любой репетитор по математике, успевший плотно поработать с учениками 5-6 классов хотя бы пару лет, слышал жалобы от родителей, связанные со снижением успеваемости при переходе в 6 класс. Проблемы начинают возникать даже, казалось бы, с такой простой темой, как уравнения. К удивлению родителей она вдруг неожиданно переходит в категорию трудных. «Мой ребенок всегда хорошо решал уравнения и вдруг перестал их понимать», — часто жалуются родители репетитору математики. «Что нам делать? Я не могу ему донести то, что понимаю сама, а в школе преподаватель толком ничего не объясняет, а только требует», — обычная картина из практики репетитора: родители в панике. Однако, попытка найти спасение нанимая ребенку преподаваеля, не всегда приводит к желаемому результату. Почему?

Репетитор по математике в работе со слабым шестиклассником часто повторяет методологию учебников и опирается на определенные навыки работы с числами и действиями, которые должны быть у школьника сформированны к этому моменту. Но это относится только к способному ребенку. Реальность репетиторской работы такова, что эти навыки дети часто или не получают вовсе или не могут применить их работе с аналогичными, но более сложными конструкциями. И дело не только в том, что этому мало кто учит. Причина кроется еще и в возрастных особенностях работы памяти ребенка и его мышления, в способности рассмотреть простой объект внутри сложного. В большинстве случаев, с которыми репетитору приходится сталкиваться, ученику рано переходить к использованию алгоритмов в более сложных математических объектах.

Во-первых, понимание этих аналогий часто еще не успевает сформираться. Во-вторых, механизмы позволяющие переносить эти операции на более сложные объекты могут быть не отработаны на достаточном количестве заданий. В третьих, сами операции и правила, по которым они выполняются, часто забываются.

Глубоким заблуждением многих методистов, репетиторов по математике и школьных преподавателей является мнение о том, что правила нахождения компонентов алгебраических действий помогают ребенку принять решение о том том, сложить ли ему данные числа, или отнять, найти ли разность a-b или b-a. Вспомните себя, помогало ли вам на уроках математике такое правило: чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность? Приходится вспоминать названия участников действия, затем текст правила (каждое для своего случая). Пока будет вспоминать текст, — успеет забыть где у него в уравнении стоит уменьшаемое, а где вычитаемое. Начтет вспоминать названия — забудет правило. А еще нужно правильно записать и произвести вычисления. Куда тут до правильного ответа? Укротить бы термины.

Как действует ученик в простом случае и почему он промахивается с подбором действий в более сложных? Дело в том, что к моменту, когда ему необходимо решить уравнение 8-x=3 он, как правило, получает хорошую практику вычислений (если преподаватель по математике дал классу эту практику) и просто узнает знакомую картинку, в которой пропущено одно число. Он может и без правил догадаться, какое число ему поставить вместо икса. И если требуется записать действие для его нахождения, он переберет все возможные варианты с числами 8 и 3 (благо они перед глазами) и выпишет подходящее. Никакими правилами нахождения вычитаемого он в большинстве случаев не пользуется. Это слишком сложно для него.

С некоторым напряжением ученику даются уравнения, нагруженные несколькими действиями, например . Если числа в таких уравнених не очень большие, то в голове пятиклассника реализуется тот же самый алгоритм подбора неизвестного компонента 2x-8 в делении. Этот алгоритм, обычно, опережает подбор действия, с помощью которого получается ответ. Сложности возникают только с тем, что ребенку приходится находить не икс, а некотороый промежуточный результат. Практика моей работы репетитором по математике показывает, что с этим видом непонимния часто удается справиться сравнительно легко. Главная помощь репетитора здесь заключается в своевременном повторении понятия «корень уравнения» и «проверка корня». При этом репетитор должен уделить внимание практическому ходу этой проверки и выделить в ней определенные этапы:
1) Берем наугад число для проверки
2) Выполняем его умножение на 2, затем потом вычитаем 8 и получаем некоторый промежуточный результат
3) делим 42 на него и должно получиться 7.

При такой форме ребенок в 95 % случаев сам скажет репетитору математики, что нужно разделить 6. В этот момент грамотный репетитор обязательно укажет ученику на то, что подобранное число 6 должно получиться в результате вычитания. Останется понять как при вчитани числа 8 получить 6. Репетитору должен поставить новую цель: что вставить вместо икса, чтобы после умножения на 2 и вычитания восьми эта шестерка получилась. Тогда надо решить уравнение, в котором слева уже стоит не , а . Этот момент отдельно выделяется и репетитору обязательно нужно на нем остановиться отдельно. Решая такими путями уравнения ребенок запоминиает поведение чисел. Те взаимосвязи, которые предлагабются ему для заучивания запоминаются в естественном порядке, а именно в процессе деятельности.

Существуют простые, но важные правила работы с методикой:

1) Репетитор по математике должен исключить из текстов своих пояснений стандартные математические термины и шаблонные фразы («значение выражения», «переменная», «делитель», «значение переменной, при которой. »)

2) При подборе уравнения следует не дупустить проникновение в него повторяющихся действий и даже повторяющихся чисел (как начальной в записи самого уравнения, так и во всех дальнейших формах). Иначе ребенок запутается, о каком делении репетитор по математики говорит в конкретный момент и о каком числе 6 идет речь, если она используется дважды.

3) Каждая пара чисел в уравнении на каждом этапе решения должна быть удобной для подбора третьего числа.

В конце 5-го и в начале 6-ого класса понятие числа расширяется. Появляются уравнения с дробями (десятичными и обыкновенными) и вместе с ними приходят главные проблемы. Как теперь решить такое?

Подбор числа и действия затрудняется, так как операции с дробями делаются в несколько этапов. Если раньше ребенок мог распознать, что число а не делится на число b, то теперь уже можно делить друг на друга почти все числа. Сложнее узнать знакомое сочетание и подбирать для него соответствующее арифметическое действие. При достаточном количестве решенного ранее, способные дети дети запоминают алгоритмы и по аналогии применяют их в новой систуации. А что делать отстающим? У многих из них информация о правилах еще успела прочно отложиться в его долговременной памяти. Репетитор по математике истытывает в работе с такими детьми огромные трудности, а ведь решение проблемы лежит на поверхности.

Репетитору необходимо продлить время привычной деятельности ученика при решении уравнений. То есть подбирать действия прежним способом. Для этого преподавателю достаточно обязать (или разрешить) рядом с решаемым уравнением составить любой простенький пример на это же действие, но с натуральными числами. Допустим, надо решить уравнение:

Репетитор просит ученика определить последнее действие в левой части уравнения, составить с его участием любой простенький пример из программы 2-го класса и записать его где-нибудь рядом. В особых случаях можно рекомендовать использовать нижнюю строчку под самим уравнением. Ребенок смотрит, какой учасник последнего действия в исходном уравнении неизвестен, находит его аналог в придуманном примере и по нему подбирает арифметическое действие с соседними числами (благо они перед глазами). Затем просто переносит его на свое уравнение. И так с каждым исключением последнего действия. Полное оформление может выглядеть следующим образом:

Репетитор по математике должен договориться с учеником о том, чтобы в составленных примерах числа не повторялись. Не стоит cоставлять такие примеры:
и подобные им .

Для совсем слабых детей репетитор может заготовить отдельные карточки с уже подобранными примерами на все действия и класть их перед учеником в нужный момент.

Статья из цикла «методики для репетиторов».
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва, Строгино.

Урок 17 Бесплатно Уравнение

Часто приходится описывать реальную ситуацию, процесс, явление с помощью математического языка.

Математический язык- универсальный язык, с помощью него можно однозначно и кратко описать многие закономерности, процессы, задачи и т.д.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Описывая реальность с помощью математического языка, люди создают математические модели, превращающие слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель дает возможность решать огромное количество практических (природных, технических, научных, экономических, социальных и других) задач.

Математические модели делят на:

• Словесные.
• Графические (схемы, графики, чертежи, рисунки и т.д.).
• Аналитические (алгебраические: числовые равенства, неравенства, уравнения, формулы и т.д.).

На данном уроке подробно рассмотрим одну из аналитических математических моделей- уравнение.

Выясним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения.

Рассмотрим простейшие виды уравнений.

Разберем способы и приемы решения уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и примеры решения задач с помощью уравнений.

Уравнения

Часто при решении задач приходится составлять равенства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединенные знаком равно «=», образуют равенство.

В математике различают два вида равенств: тождества и уравнения.

Тождества- это числовые равенства, а также равенства, которые выполняются при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.

Уравнение- это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, значение которых можно определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом уравнения (или просто «неизвестным»).

Чаще всего в математике неизвестные величины обозначают маленькими буквами латинского алфавита x, y, z.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Долгое время в математических выкладках не использовали буквенные обозначения и записывали выражения и уравнения словами.

В 1591 году французский ученый философ Франсуа Виет ввел буквенные обозначения. Он предложил использовать гласные буквы латинского алфавита для названия величин, а согласные для неизвестных.

Позже другой французский ученый, философ Рене Декарт предложил иную систему обозначений, связанную с латинскими буквами (которую используют по сегодняшний день).

Для неизвестных было предложено использовать последние буквы латинского алфавита (х, у, z), а для известных величин первые буквы латинского алфавита (а, b, c)

Пример 1:

4 + х = 18 является уравнением с неизвестной х.

12у — 5 = 19 является уравнением с неизвестной у.

(2 + z) — (3 — 1) = 2 является уравнением с неизвестной z.

Все три записи являются равенствами, в каждом из них есть неизвестное число, обозначенное буквой.

Пример 2:

4х — 18 не является уравнением, так как не является равенством.

24 — 5 = 19 не является уравнением, так как не содержит неизвестную.

у + 2 > 12 не является уравнением, так как не является равенством.

Решить уравнение- это значит найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство.

Уравнение считается решенным, если все его решения найдены или доказано, что уравнение решения не имеет.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения.

Следовательно, если в уравнение вместо неизвестной подставить ее численное значение и получится верное числовое равенство, то это значение неизвестной будет решением этого уравнения.

Дано уравнение 12 — х + 3 = 10.

1) Пусть х равно 6, получаем

12 — 6 + 3 = 10

9 ≠ 10 (девять не равно десяти)

При подстановке вместо неизвестного число 6, получаем неверное числовое равенство 9 ≠ 10, т.е. число 6 не является корнем уравнения.

2) Пусть х равно 5, получаем

12 — 5 + 3 = 10

10 = 10

При подстановке вместо неизвестного число 5, получаем верное числовое равенство 10 = 10, т.е. число 5 является корнем уравнения.

Уравнение может иметь разное количество корней: существуют уравнения, имеющие один единственный корень, уравнения, имеющие два, три корня.

Встречаются уравнения, вообще не имеющие верного решения, и даже такие уравнения, решением которых являются бесконечное множество решений.

7 — х = 4 уравнение имеет один корень, х = 3, любое другое значение х будет давать неверное равенство.

х = х — 15 уравнение не имеет решения, так как любое значение неизвестного х будет данное равенство обращать в неверное, не существует таких чисел, которые были бы меньше самого себя.

0 ⋅ y = 0 уравнение имеет бесконечное множество верных решений, так как при умножении любого числа на 0, получается 0.

Уравнение, содержащее одну неизвестную, называют уравнением с одной неизвестной.

Уравнения с большим количеством неизвестным называют соответственно уравнением с двумя, тремя и т.д. неизвестными.

Такие уравнения и их решение будете рассматривать в старших классах.

Например, 26 — 2х = 23 — х— это уравнение с одной неизвестной х.

53 — х = 19у— это уравнение с двумя неизвестными х и у.

Любое уравнение имеет левую и правую часть.

Выражение, стоящее слева от знака равно, называют левой частью уравнения, а выражение, которое стоит справа, правой частью уравнения.

Каждый компонент, из которых состоит уравнение, называют членами этого уравнения.

Обычно все члены уравнения, содержащие неизвестное, следует группировать в левой части уравнения, а известные — в правой.

Чаще всего уравнение записывают в левой части страницы, справа делают письменные вычисления (вычислительные операции).

При решении уравнения каждое новое равенство записывается с новой строки (т.е. решение оформляется в виде столбика равенств).

Таким образом, знак равенства при решении уравнения используют только один раз в каждой строке.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Приемы решения уравнений в 5-6 классах
статья по алгебре (5 класс) на тему

Уравнения — не только одна из самых распространенных, но и одна из самых проблемных математических задач. Рассмотрим некоторые приемы решения простейших уравнений на уроках в 5-6 классах, которые в дальнейшем используем при решении более сложных уравнений. К концу обучения в 6 классе формируем обобщенный метод решения уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Жарова Галия Шамратовна

Учитель математики МКОУ «Садовская СШ» Быковского района Волгоградской области тел. 8904-405-49-56

Приемы решения уравнений в 5-6 классах

Уравнение – самая простая и распространенная форма математической задачи. Решение уравнений — одна из проблем в математике. В 5-м классе изучение уравнений начинается с определения уравнения, его корней, что значит решить уравнение. Повторяются правила нахождения неизвестных компонентов сложения, вычитания. Решаются уравнения, которые содержат буквенные выражения только в одной части уравнения. Для их решения учащиеся должны выполнить последовательно несколько преобразований, каждое из которых освоено ими раньше: 395+х=864 или 59=81-k (№395 Математика 5 класс Н.Я. Виленкин и др.) Учащиеся 5 класса затрудняются решать уравнения такого типа, как (х + 121) — 38 =269. Алгоритм решения таких уравнений дан в №375 данного учебника.

Обычно такие уравнения решаются так:

чтобы найти уменьшаемое х +121,

надо к вычитаемому 38 прибавить разность 269:

х + 121 = 38 + 269;

Далее рассуждают так: чтобы найти неизвестное слагаемое Х, надо из суммы 307 вычесть известное слагаемое121:

Чаще всего ученики не видят в этом уравнении вычитаемого 38 и уменьшаемого (х+121). Если учащиеся имеют хорошие навыки решения простейших уравнений, можно решать подобные уравнения, приведя их к простейшим уравнениям. Рассмотрим этот прием на примерах решения уравнений из № 376 учебник Математика 5класс Н.Я.Виленкин и др.

Обозначим выражение, стоящее в скобках через a: х + 15 = а

Тогда получим такое уравнение:

Теперь возвращаемся к выражению, стоящему в скобках:

Подстановка 45-у = а;

Подстановка х+24= а;

Подстановка х – 15 = а;

Этот приём позволяет легко решать такие сложные уравнения.

Для тех учащихся, кто так и не усвоил правил нахождения неизвестных: слагаемого, вычитаемого, множителя и т.д., используется при решении простейших уравнений приём «по аналогии». Например, нужно решить уравнение: х – 284 = 127. В стороне от этого уравнения слабый ученик записывает простейший арифметический пример 7 — 3 = 4. Ученик смотрит, где в этом примере должен стоять х (на месте7). Как из этого простого примера найти 7? Надо к 3 прибавить 4. Значит, и в данном уравнении, чтобы найти х, надо 127 сложить с 284

Учащиеся 6-го класса осваивают новые методы решения уравнений. Вначале рассматривается возможность умножения или деления обеих частей на одно и то же отличное от нуля число. В обоих случаях делаются выводы о том, что при умножении (или делении) обеих частей уравнения на неравное нулю число получается новое уравнение с теми же корнями, что и заданное.

Далее осваивается способ переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака у слагаемого на противоположный. Так как обоснование этому способу также не дается (не изучались свойства равенства), то активно используется методические приемы с весами, с помощью которых учащиеся осознают смысл этого преобразования: все математические действия сопровождаются соответствующими действиями с весами. Покажем это на примере.

Решите уравнение х + 6 = 15

Вначале наполняем конкретным содержанием данную задачу: показываем картинку с весами или рассматриваем рисунок в учебнике. После выяснения соответствия картинки тексту задачи приступаем к решению уравнения.

Вынем из левой части уравнения число 6, это тоже самое, что снять с левой чаши весов гири в 5 кг и 1 кг. Чтобы равновесие не нарушилось, надо и с правой чаши весов снять гири массой в 6 кг, т.е. для сохранения равенства надо из правой части уравнения вычесть число 6.

После упрощения получаем

Просмотрев ход решения, можно сделать выводы: а) число 9 является корнем уравнения, б) при переносе членов из одной части уравнения в другую с переменой знаков получаем новое уравнение, но с тем же корнем.

После решения уравнения делаются выводы о возможности переноса членов, являющихся буквенными выражениями. Делается вывод, что любые слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом знаки.

В 6 классе учащиеся знакомятся с понятием модуля числа и учатся решать уравнения с модулем. Уравнения с модулем сводятся к простейшим уравнениям, в решении которых применяется определение модуля, учитывается, что под знаком модуля могут быть как положительные выражения, так и отрицательные, при этом модуль бывает только неотрицательным числом. Начнем с такого вида:

Решаем это уравнение как линейное: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Теперь обе части уравнения делим на число, стоящее перед модулем икса: