Как ньютон вывел свои уравнения

Законы Ньютона

Ньютон первым обратил внимание на силу, как причину, по которой тела приходят в движение и меняют свою скорость.

Раздел механики, изучающий силы, называется динамикой. По-гречески «динамис», значит «сила».

Что такое сила

Тела действуют друг на друга с помощью сил.

Сила – это мера взаимодействия тел. Измеряя силу, мы измеряем величину взаимного действия тел. В обыденной жизни мы говорим: «как сильно» одно тело действует на другое тело.

Смысл законов Ньютона

Ньютон, в своих законах динамики, хотел сказать следующее:

• В I законе: Если сила не действует, скорость не меняется. Импульс тела тоже не меняется.
• Во II законе: Если сила действует, скорость меняется. Импульс тела, также, меняется, появляется ускорение.
• В III законе: Взаимодействуют два тела — возникают две силы. Они по модулю равны, а по направлению противоположны.

Примечание:

Выражение «векторы равны по модулю», понимаем так: «длины векторов одинаковые».

Перед изучением законов Ньютона рекомендую вспомнить, что такое инерциальные системы отсчета (откроется в новой вкладке).

Первый закон Ньютона

Словесная формулировка первого закона Ньютона:

В инерциальной системе отсчета тело свою скорость не меняет, если на него не действуют другие тела (или действие других тел скомпенсировано).

Формула:

\( F = 0 \) – сила на тело не действует (Может быть и так: на тело действуют несколько сил, но их действие компенсируется);

\( a = 0 \) – ускорение отсутствует;

\( v = const \) – скорость тела не изменяется (остается одной и той же);

\( p = const \) – импульс тела не изменяется (остается одним и тем же);

Важно! По первому закону Ньютона, «двигаться с одной и той же скоростью по прямой» и «покоиться» — это равнозначные виды движения.

Значит, если на тело не действуют другие тела (силы), то

• тело будет двигаться с одной и той же скоростью по прямой, если оно так двигалось до этого,
• или будет продолжать покоиться, если покоилось в прошлом.

Второй закон Ньютона

Сформулируем словами второй закон Ньютона:

Ускорение, приобретаемое телом,
прямо пропорционально
приложенной силе
и обратно пропорционально
массе этого тела.

Формула второго закона Ньютона с пояснениями

\( a \left( \frac<\text<м>>> \right) \) – ускорение тела

\( m \left( \text <кг>\right) \) – масса тела

\( F \left( H \right) \) – сила, которую приложили к телу

Примечание: Ускорение отвечает на вопрос: «Как быстро меняется скорость тела?». Значит, если изменяется хотя бы одна из характеристик вектора скорости, ускорение есть. А если скорость не изменяется, ускорения нет \( \vec < a >= 0 \)

Ускорение прямо пропорционально силе:

Чем больше сила, тем больше ускорение тела, тем быстрее тело меняет скорость.

Ускорение обратно пропорционально массе:

Чем больше месса тела, тем труднее изменить его скорость.

Формулу второго закона часто записывают в векторном виде:

Мы можем заменить местами правую и левую части, в таком случае получим:

Расшифруем эту запись: Возьмем вектор «F», умножим его на скаляр (1/m) и получим новый вектор «a».

Дробь \( \displaystyle \frac<1> \) – это скалярная величина.

Примечания:

1. Вместо слов «направлены в одну и ту же сторону» физики пользуются термином «сонаправлены». Лично мне удобнее пользоваться первой формулировкой.
2. Часто применяют еще один вид записи, его называют так: «Второй закон Ньютона в импульсной форме».

Третий закон Ньютона

Пусть одно тело действует на второе тело. Тогда это второе тело будет в ответ действовать на первое.

Словами третий закона Ньютона можно сформулировать так:

Силы взаимного действия по модулю равны, а направлены противоположно. Они лежат на прямой, которая соединяет центры тел, действующих друг на друга.

\( F_ <12>\left( H \right) \) – сила, с которой первое тело действует на второе тело.

\( F_ <21>\left( H \right) \) – сила, с которой второе тело отвечает первому.

Пояснить формулу можно с помощью такого рисунка:

Обратите внимание, что длины красного и черного векторов равны.

Не важно, перед каким из векторов находится знак «минус». Этот знак показывает, что векторы направлены в противоположные стороны. Поэтому, формулу третьего закона Ньютона можно записать и так:

Примечания:

1. Если перед каким-либо вектором записан знак «минус», то этот вектор развернут в противоположную от выбранной нами сторону.
2. Между векторами находится знак равенства. Это значит, что длины векторов одинаковые (векторы по модулю равны).

Советую прочитать еще две статьи. Так как для решения задач кроме знания трех законов Ньютона нужно дополнительно уметь:

• находить проекции вектора на оси и
• составлять векторные силовые уравнения (ссылки открываются в новых вкладках).

Самый великий физик

Беру в руки журнал “Наука и жизнь” №1 2020. На обложке бросается в глаза вопрос “Почему Эйнштейн самый великий физик?”. Действительно, почему? Открываю статью Евгения Берковича “Трагедия Эйнштейна, или счастливый Сизиф”. Начинается она так: “Кто самый великий физик? Спросите об этом кого угодно, любой вам скажет: Альберт Эйнштейн. Не зря строгий академик Лев Ландау поставил его первым в иерархии физиков”.

Но, господин Беркович, ведь Ландау классифицировал, как мне кажется, только действующих на тот момент физиков. По крайней мере, где бы шкала Ландау не упоминалась, Ньютон там не упоминался. При всей «скромности» Ландау я не могу вообразить, что где-то есть список, составленный им и в котором был бы и Ньютон и сам Ландау.

“Спросите об этом кого угодно…”. Господин Беркович берет на себя смелость отвечать за всех. Ну, кого угодно, так кого угодно — мне угодно взять себя. Беру себя. И отвечаю: самый великий физик это Исаак Ньютон.

И я вспомнил вот какую статью Почему англичане ставят сэра Исаака выше Альберта Эйнштейна.

Эта статья меня утешила. Правда, я считаю, что величайшее достижение физики двадцатого века – квантовая теория. И думаю, что любой физик, знакомый и с теорией относительности и с квантовой теорией это подтвердит. Далее, нужно учесть, что это результаты внутрианглийского опроса. Очевиден результат возможного внутриизраильского опроса. А можно ли объективировать ответ? В полной мере нет, конечно. Однако в любом случае нужно более подробно рассмотреть достижения. Но как учесть разницу в начальных условиях – состояние науки во времена Ньютона и во времена Эйнштейна? На что мог опереться Ньютон и на что Эйнштейн – огромная разница.
Конечно, никакой масштабной линейки измерения величия людей нет. Какого рода аргументы сравнения величия могут привести физики? Далее пойдут аргументы, как понимаю их я.

Ньютон

«Он самый счастливый, систему мира можно установить только один раз«(Лагранж)
Базовые источники информации:

• Арнольд. Гюйгенс и Барроу. Ньютон и Гук.
• Акройд. Ньютон.
• Вавилов. Исаак Ньютон
• Вавилов. Принципы и гипотезы оптики Ньютона.

Этим источникам я вполне доверяю.

Меня очаровала книга Арнольда «Гюйгенс и Барроу. Ньютон и Гук». Поражает как много неизвестного (для меня, по крайней мере) увидел Арнольд в Принципах Ньютона. А кто из нас читал первоисточники?

Ниже приводится несколько модифицированных и несколько точных цитат из Арнольда.

Основному труду Ньютона «Математическим началам натуральной философии» уже более 300 лет. Это книга заложила основы всей современной теоретической физики.

Историческая перспектива, как и пространственная, уменьшает масштабы личностей и их дел. Грандиозные открытия тех времен сейчас издалека кажутся нам меньшими, чем они были на самом деле.

Ньютон занимался проблемой света. Он разложил белый свет на радужные составляющие, определил цвета солнечного спектра и заложил тем самым основы современной спектроскопии — науки в значительной степени волновой. Тем не менее, Ньютон придерживался корпускулярной теории – свет как поток частиц. Ньютон, однако, был первым, кто измерил длину световой волны.

Он собирал в большом количестве алхимические рецепты, сохранившиеся еще от средневековья, и намеревался изготовить золото в соответствии с содержащимися в них указаниями. Усилия, затраченные им на это, значительно превосходили те, что пошли на создание его математических и физических работ.

В споре с Гуком Ньютон позиционирует себя как математика, а Гука как физика. Физик выдвигает гипотезы и может не доказывать их, математик обязан доказать их. «Математики, которые все открывают, все устанавливают и все доказывают, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих. Другой же, который ничего не может доказать, а только на все претендует и все хватает на лету, уносит всю славу как своих предшественников, так и своих последователей… И вот я должен признать теперь, что я все получил от него, а что я сам всего только подсчитал, доказал и выполнил всю работу вьючного животного по изобретениям этого великого человека»

Стиль Ньютоновских математических рассуждений в его Принципах – антибурбакизм: наглядный интуитивный подход.

По поводу рассуждений Ньютона о том, что на камень внутри Земли внешние слои не действуют, т. е. что поле тяжести внутри однородной сферы равно нулю: Этот образчик ньютоновского рассуждения показывает, как можно было решать задачи из теории потенциала без анализа, не зная ни теории гармонических функций, ни фундаментального решения уравнения Лапласа, ни потенциалов простого и двойного слоя. Подобные рассуждения, предшествовавшие возникновению анализа, часто встречались в работах тех времен и оказывались чрезвычайно мощными. Вот пример задачи, которую люди вроде Барроу, Ньютона, Гюйгенса решили бы за считанные минуты и которую современные математики быстро решить, по-моему, не способны (во всяком случае, я еще не видел математика, который быстро бы с ней справился):

Ньютон заметил, что законы природы выражаются изобретенными им дифференциальными уравнениями. Отдельные, и порой очень важные, дифференциальные уравнения рассматривались и даже решались и раньше, но именно Ньютону они обязаны своим превращением в самостоятельный и очень мощный математический инструмент.

Ньютон открыл способ решения любых уравнений, причем не только дифференциальных, но и, например, алгебраических при помощи бесконечных рядов. Все надо раскладывать в бесконечные ряды. Поэтому, когда ему приходилось решать уравнение, будь то дифференциальное уравнение или, скажем, соотношение, определяющее некоторую неизвестную функцию (теперь это называли бы одним из видов теоремы о неявной функции), Ньютон действовал по следующему рецепту. Все функции раскладываются в степенные ряды, ряды подставляются друг в друга, приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях и один за другим находятся коэффициенты неизвестной функции. Теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений этим способом доказывается мгновенно заодно с теоремой о зависимости от начальных условий, если только не заботиться о сходимости получающихся рядов. Что касается сходимости, то ряды эти сходятся настолько быстро, что Ньютон, хотя сходимости строго и не доказывал, в ней не сомневался. Он владел понятием сходимости и явно вычислял ряды для конкретных примеров с огромным числом знаков (в том же письме Лейбницу Ньютон пишет, что ему «просто стыдно признаться», с каким числом знаков он проделал эти вычисления). Он заметил, что его ряды сходятся как геометрическая прогрессия и потому сомнений в сходимости его рядов у него не было. Вслед за своим учителем Барроу, Ньютон сознавал, что анализ допускает обоснование, но совершенно справедливо не считал полезным на нем задерживаться («Можно было бы удлинить апагогическим) рассуждением,—писал Барроу,—но для чего?»).

В чем его основное математическое открытие? Ньютон изобрел ряды Тейлора — основное орудие анализа. Конечно, тут может возникнуть некоторое недоумение, связанное с тем, что Тейлор был учеником Ньютона и соответствующая его работа относится к 1715 году. Можно даже сказать, что в работах Ньютона рядов Тейлора вообще нет. Это верно, но только отчасти. Вот что было сделано на самом деле. Во-первых, Ньютон нашел разложения всех элементарных функций — синуса, экспоненты, логарифма и т. д.— в ряды Тейлора и таким образом убедился, что все встречающиеся в анализе функции разлагаются в степенные ряды. Эти ряды — один из них так и называется формулой бинома Ньютона (показатель в этой формуле, разумеется, не обязательно натуральное число) — он выписал и постоянно их использовал. Ньютон справедливо считал, что все вычисления в анализе надо проводить не путем кратных дифференцирований, а с помощью разложений в степенные ряды. (Например, формула Тейлора служила ему скорее для вычисления производных, чем для разложения функций — точка зрения, к сожалению, вытесненная в преподавании анализа громоздким аппаратом бесконечно малых Лейбница.) Ньютон вывел аналогичную ряду Тейлора формулу в исчислении конечных разностей — формулу Ньютона, и, наконец, у него есть и сама формула Тейлора в общем виде, только в тех местах, где должны быть факториалы, стоят какие-то невыписанные явно коэффициенты.

Больше всего сил и временя Ньютон потратил на алхимию и теологию. Основные открытия Ньютона сделаны им в два студенческих года, на двадцать третьем и двадцать четвертом году жизни. После Principia (оконченных им в возрасте сорока четырех лет) Ньютон отошел от активной научной работы).

Среди важнейших физических принципов, содержащихся в Principia, нужно отметить: 1) идею относительности пространства и времени («в природе не существует ни покоящегося тела,… ни равномерного движения»), 2) гипотезу существования инерциальных систем координат, 3) принцип детерминированности: положения и скорости всех частиц мира в начальный момент определяют все их будущее и все их прошлое.

Вселенная, представлявшаяся хаотической, оказалась после Principia подобием хорошо налаженного часового механизма. Эта регулярность и простота основных принципов, из которых выводятся все сложные наблюдаемые движения, воспринимались Ньютоном) как доказательство Бытия Божьего: «Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа… Сей управляет всем не как душа мира, а как властитель вселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель)».

Перечислить здесь хотя бы главные конкретные достижения, изложенные в Principia, невозможно. Упомяну лишь построение теории пределов (отличающееся от современного разве обозначениями), топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов (лемма XXVIII), вычисление сопротивления движению в разреженной среде с большими сверхзвуковыми скоростями (нашедшее приложения лишь в эпоху космонавтики), исследование вариационной задачи о теле наименьшего сопротивления при данной длине и ширине (решение этой задачи имеет внутреннюю особенность, о которой Ньютон знал, а его издатели в XX веке, видимо, не знали и сгладили Ньютоновский чертеж), расчет возмущений движения Луны Солнцем.

Двухсотлетний промежуток от гениальных открытий Гюйгенса и Ньютона до геометризации математики Риманом и Пуанкаре кажется математической пустыней, заполненной одними лишь вычислениями.

В Principia есть две чисто математические страницы, содержащие удивительно современное топологическое доказательство замечательной теоремы о трансцендентности абелевых интегралов. Затерянная среди небесно-механических исследований, эта теорема Ньютона почти не обратила на себя внимания математиков. Возможно, это произошло потому, что топологические рассуждения Ньютона обогнали уровень науки его времени на пару сотен лет. Доказательство Ньютона в сущности основано на исследовании некоторого эквивалента римановых поверхностей алгебраических кривых, поэтому оно непонятно как с точки зрения его современников, так и для воспитанных на теории множеств теории функций действительного переменного математиков двадцатого века, боящихся многозначных функций.

Сегодня идеи, на которых основано доказательство Ньютона, называются идеями аналитического продолжения и монодромии. Они лежат в основе теории римановых поверхностей и ряда отделов современной топологии, алгебраической геометрии и теории дифференциальных уравнений, связанных прежде всего с именем Пуанкаре, — тех отделов, где анализ скорее сливается с геометрией, чем с алгеброй.

Забытое доказательство Ньютона алгебраической неквадрируемости овалов было первым «доказательством невозможности» в математике нового времени — прообразом будущих доказательств неразрешимости алгебраических уравнений в радикалах (Абель) и неразрешимости дифференциальных уравнений в элементарных функциях или в квадратурах (Лиувилль), и Ньютон недаром сравнивал его с доказательством иррациональности корней квадратных в «Началах» Евклида.

Сравнивая сегодня тексты Ньютона с комментариями его последователей, поражаешься, насколько оригинальное изложение Ньютона современнее, понятнее и идейно богаче, чем принадлежащий комментаторам перевод его геометрических идей на формальный язык исчисления Лейбница.

Этим я заканчиваю цитировать Арнольда.

Если кто-то возразит, что процитированное относится скорее к математике, чем к физике, то надо иметь в виду, что в те времена математика была более земной. Она была просто языком физики. Большинство математиков черпало идеи из физической реальности. Только теория чисел уже тогда оторвалась от физического мира. А весь анализ возник из механики. Для физика производная это скорость и т.д.

Теперь более систематизированный перечень достижений Ньютона.

Классическая механика

Ньютон чётко сформулировал абсолютность пространства и времени и относительность пространства инерциальных систем отсчета.

Пространство трехмерно и евклидово. В пространстве классической механики есть абсолютное расстояние:

Потенциальная возможность сколь угодно большой скорости передачи взаимодействия позволяют ввести абсолютное время классической механики с расстоянием:

Время одномерно и евклидово.

Ньютон предлагает рассматривать всякий материальный объект как систему материальных точек.

Ньютон создал механику. В инерциальных системах отсчета работают три закона механики, которые полностью детерминируют движение материальной точки и тел, как систем материальных точек. Небесная механика, молекулярно-кинетическая теория, теория сплошных сред, статистическая физика, физическая кинетика – базируются на механике Ньютона.

Закон инерции. Он равносилен признанию существования инерциальных систем отсчета.

Основной закон динамики: для каждой k-ой материальной точки системы выполняется

— сила с которой j действует на k.
in = внутренние силы системы
ex — внешние силы системы
Движущей характеристикой выступают силы, инертной характеристикой выступают массы.

Закон действия и противодействия:

Модификации Ньютоновского формализма

Замечательно, что Ньютоновский формализм допускает равносильные модификации, в которых исчезает понятие силы и которые допускают переход от дискретной системы материальных точек к материальному континууму — полю.

Полезность разных формализмов состоит в том, что:

• Некоторые задачи проще решаются в других формализмах
• Для развития теории некоторые формализмы более удобны

Плюсы Лагранжева формализма и производных от него:

• Он работает не со всеми координатами, а только с независимыми и не ограничивается декартовыми координатами
• Он не оперирует понятием силы, приложенной к точке и поэтому может быть распространен и на безсиловые ситуации
• И, самое главное, в Лагранжевом подходе одинаково описывается динамика как частиц, так и полей — как дискретные, так и континуальные материальные системы. В Нютоновском формализме силы задаются извне. В лагранжевом формализме поля первичнее сил, и поля задаются потенциалами(полевые функции), которые определяются не силовыми а энергетическими характеристиками. Динамика полей определяется также уравнениями Лагранжа второго рода. Главное — найти лагранжиан поля.

Поэтому я не устою от искушения кратко дать обозрение модификаций Ньютонового формализма.

Формализм Лагранжа

Лагранж отполировал Ньютоновский механизм, приспособив его к системам со связями.
Имея уравнения Ньютона, мы, в принципе, можем предсказать движение любой механической системы, зная все силы и имея начальные условия. Но это “в принципе” так и остается в принципе, и в большинстве случаев подход от точек практически ничего не дает – вычислительные трудности непреодолимы.

Но, иногда мы, не зная еще решения, уже знаем некоторые стороны движения – ограничения, налагаемые на положения и скорости точек. Ограничения эти реализуются некими силами. Но иногда мы ничего не хотим знать об этих силах, кроме того, что они определяют связь. Система со связями это не просто рой самостоятельных точек, а нечто, ведущее себя как целое. И хотелось бы иметь описание на уровне этого целого. Например, если мы имеем твердое тело, то мы знаем, что должно быть для любых двух точек тела . Нельзя ли использовать эту информацию и упростить уравнения – представить их в такой форме, где эти ограничения зашиты в уравнения? Лагранж сделал это. Если на координаты точек системы наложены ограничения, то не все координаты уже независимы. И тогда становится удобным пользоваться не декартовыми координатами, а другими координатами, которые естественно вписываются в ограничения. Так, движение твердого тела естественно задать его центром тяжести, осью мгновенного вращения и поворотом тела вокруг этой оси. Система представляется не просто роем точек, а она представляется как некое целое, которое удобно описывать на уровне этого целого, а не обращаться к самому низу – набору материальных точек. Тогда в описание войдет меньше параметров, чем число координат и скоростей составляющих материальных точек. Эти параметры называются обобщёнными координатами . Их число – число степеней свободы.

Связь можно задавать как функцию C(x,v,t), связывающую координаты и скорости. Связь, ограничивающая только координаты, называется геометрической, голономной. Связь, ограничивающая скорости, называется кинематической. Независящая явно от времени связь, называется стационарной. Идеальная связь – связь, реакция R которой перпендикулярна поверхности f(x,v,t)=const. В этом случае . Работа реакций идеальных связей бесконечно малом виртуальном перемещении системы равна нулю. Идеальные связи не вмешиваются в баланс энергии. Это значительно упрощает анализ систем с идеальными связями. Кроме того, это не пустая абстракция, а ситуация, к которой сводятся многие реальные задачи.

Обобщённым координатам соответствуют обобщённые силы:

Для идеальных голономных связей уравнения динамики запишутся так(T – кинетическая энергия):

Таким путем нужно все-таки знать силы для всех точек и, значит реально пользы мало. Это не тот уровень. А тот уровень — это получение обобщенных сил через работу:

Работу мы ощущаем на макроуровне, не опускаясь до предельных материальных точек. Если силы потенциальны, то вводим функцию Лагранжа . Именно она, а не силы, выступает в этом формализме движущей характеристикой.

Действие по пути P(A,B) – интеграл по пути:

а уравнения Лагранжа — это уравнения Эйлера вариационного исчисления, выводимые из условия

Отсюда получаются уравнения Лагранжа(2-го рода):

Функция Лагранжа для замкнутой системы материальных точек:

Лагранжев формализм лежит в основе современной квантовой теории поля и ее текущей вершины — стандартной модели взаимодействия элементарных частиц.

Дальнейшие формализмы за основу берут Лагранжев формализм.

Формализм Гамильтона(=Канонические уравнения)

Ограничившись обобщённо-потенциальными и диссипативными силами и голономными идеальными связями, Гамильтон предложил свой формализм в котором уравнены в правах обобщённые координаты и обобщённые импульсы.

Функция Гамильтона:

Именно функция Гамильтона, а не силы, в этом формализме выступает движущей характеристикой.

Тогда основное уравнение динамики принимает вид

Важную роль в формализме играют скобки Пуассона:

Если f и g интегралы движения, то и их скобка Пуассона, также интеграл движения.

В Гамильтоновом подходе координаты и импульсы равноправны. Поэтому можно рассматривать замены координат и импульсов, перепутывающих координаты и импульсы:

Для того, чтобы и в новых переменных уравнения имели канонический вид

достаточно существование функции T, такой, что:

Такие преобразования называются каноническими.

Канонические преобразования дают гораздо больший простор для упрощения уравнений, чем просто преобразования координат.

Формализм Гамильтона-Якоби

Именно действие, а не силы, в этом формализме выступает движущей характеристикой.

Зная S можно получить обобщённые импульсы:

Формализм Гамильтона-Якоби трансформируется в Шредингеровскую формулировку квантовой механики.

Формализм Пуассона

Введем функцию Пуассона:

Тогда имеем динамическое уравнение для любой функции F от координат и импульсов:

В этом формализме скобка(функция) Пуассона выступает движущей характеристикой.

Уравнения Гамильтона в этом формализме примут вид

Необходимое и достаточное условие постоянства во времени физической величины f(p,q,t) есть:

Формализм Пуассона трансформируется в Гейзенберговскую формулировку квантовой механики.

Переход к континууму

Формализм Лагранжа и Гамильтона можно перенести на континуум, когда с каждой областью пространства можно связать материальный объект. В пределе это справедливо для каждой точки пространства. Тогда вводится полевая функция φ(x). Через неё выражается Лагранжиан. И, значит, можно записать уравнения Лагранжа и канонические уравнения.

Гравитация

Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Составляющие формулировки закона:

Действие гравитации на материальную точку определяется скалярным гравитационным потенциалом:

Гравитационный потенциал материальной точки P с массой определяется так

В безпотенциальной форме гравитационная сила между двумя материальными точками:

единичный вектор от 1 к 2.
Именно так обычно и излагается закон всемирного тяготения.

Потенциалы аддитивны. Потенциал системы материальных точек равен сумме потенциалов от каждой точки

В совокупности с законами динамики это позволяет решать любую гравитационную систему. Так для двух точек получим законы Кеплера. Любопытно, что уже для задачи трех материальных точек нет общего решения – нет функции, которая была бы решением и про которую можно было сказать, что мы её знаем, например, знаем для неё ряд Тейлора, или ряд Фурье. Применяя компьютеры можно вычислить значение решения в любой момент времени, но это ещё не означает знания функции. Так, например, неизвестно её асимптотическое поведение.

Движение небесных тел получило строгую теорию. Это факт сравнительно недавний. Раньше считалось, что нестационарная Вселенная может рассматриваться только в рамках ОТО.
По поводу гравитации вот интересный отрывок из Вавилова:

«Непостижимо,— пишет Ньютон,— чтобы неодушевленная грубая материя могла без посредства чего-либо нематериального действовать и влиять на другую материю без взаимного соприкосновения, как это должно бы происходить, если бы тяготение в смысле Эпикура было существенным и врожденным в материи. Предполагать, что тяготение является существенным, неразрывным и врожденным свойством материи, так что тело может действовать на другое на любом расстоянии в пустом пространстве, без посредства чего-либо передавая действие и силу,— это, по-моему, такой абсурд, который немыслим ни для кого, умеющего достаточно разбираться в философских предметах. Тяготение должно вызываться агентом, постоянно действующим по определенным законам. Является ли, однако, этот агент материальным или не материальным, решать это я предоставил моим читателям».

Цитируя только подчеркнутые нами строки и не обращая внимания на первую и последнюю фразы отрывка, делают вывод, что для Ньютона эфир был необходим. На самом деле, как явствует из первой и последней фраз, эта необходимость возникает, по Ньютону, в том случае только, если исключается нематериальный (т. е. духовный) агент. Решать этот вопрос в 1693 г. Ньютон предоставлял читателям, умалчивая о собственном мнении.

Каково было это мнение, с удивлением можно узнать из недавно (1937) опубликованных записей Д. Грегори. 21 декабря 1705 г. Грегори записывает следующее: «Сэр Исаак Ньютон был со мной и сказал, что он приготовил 7 страниц добавлений к своей книге о свете и цветах (т. е. к «Оптике») в новом латинском издании… У него были сомнения, может ли он выразить последний вопрос так: „Чем наполнено пространство, свободное от тел?» Полная истина в том, что он верит в вездесущее божество в буквальном смысле. Так же, как мы чувствуем предметы, когда изображения их доходят до мозга, так и бог должен чувствовать всякую вещь, всегда присутствуя при ней. Он полагает, что бог присутствует в пространстве, как свободном от тел, так и там, где тела присутствуют. Но считая, что такая формулировка слишком груба, он думает написать так: „Какую причину тяготению приписывали древние?» Он думает, что древние считали причиной бога, а не какое-либо тело, ибо всякое тело уже само по себе тяжелое».

Это замечательное место в дневнике Грегори, остававшееся до 1937 г. неизвестным, объясняет смысл длинного религиозного завершения «Оптики» и «Общего поучения», которым кончаются «Начала» во втором издании. В «Оптике» фраза «бог присутствует всегда в самих вещах», а в «Началах» утверждение, что «движущиеся тела не испытывают сопротивления от вездесущия божия», приобретают после разъяснения Грегори буквальный смысл.

Сколь ни удивительно слышать это от создателя классической физики, но он, по-видимому, серьезно полагал пустое пространство наполненным богом, «не представляющим сопротивления движению» и регулирующим всемирное тяготение.

Упорно и многократно Ньютон подчеркивает математический, формальный характер своей книги, избегая касаться вопроса о причине тяготения: «Довольно того,— пишет он в самом конце,— что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря». В другом месте «Начал» (Отдел XI, «Поучение») Ньютон высказывается еще определеннее: «Под словом «притяжении» я разумею здесь вообще какое бы то ни было стремление тел к взаимному движению, происходит ли это стремление от действия самих тел, которые или стараются приблизиться друг к другу, или приводят друг друга в движение посредством испускаемого ими эфира, или если это стремление вызывается эфиром, или воздухом, или вообще какою-либо средою, материальною или нематериальною, заставляющею погруженные в нее тела приводить друг друга в движение. В этом же смысле я употребляю и слово «импульс», исследуя в этом сочинении не виды сил и физические свойства их, а лишь их величины и математические соотношения между ними».

Современники во многих случаях не поняли формализма Ньютона и обвиняли его во введении скрытых, или как говорили в XVIII веке «потаенных» качеств. Блестящую отповедь этим обвинителям дал Котс в предисловию ко второму изданию Начал(Котс – помощник пожилого Ньютона). «Я слышу,—писал он, — как некоторые… бормочут о скрытых свойствах. Они постоянно твердят, что тяготение есть скрытое, сокровенное свойство, скрытым же свойствам нет места в философии. На это легко ответить: сокровенны не те причины, коих существование обнаруживается наблюдениями с полнейшей ясностью, а лишь те, самое существование которых неизвестно и ничем не подтверждается. Следовательно, тяготение не есть скрытая причина движения небесных тел, ибо явления показывают, что эта причина существует на самом деле. Правильнее признать, что к скрытым причинам прибегают те, кто законы этих движений приписывает неведомо каким вихрям некоторой, чисто воображаемой материи, совершенно непостижимой чувствами». Обвинение было перевернуто, потаенным качеством оказался эфир.
Этим заканчивается цитата из Вавилова.

Оптика

Ньютон открыл спектр света – дисперсию солнечного света. Он, в основном, придерживался представления о световых корпускулах. Однако некоторые фразы из его Оптики говорят о зачатках корпускулярно-волнового дуализма.

Вот что пишет Вавилов о волновой природе света в построениях Ньютона:
Ньютон открыл наличие несомненной периодичности в свойствах света. Такая периодичность качественно указывалась Гуком, но в опытах Ньютона она получила характер достоверности. В основном тексте книги, где, по мнению Ньютона, были неуместны гипотезы, нужно было ввести чисто формальное толкование наблюденной периодичности. Такое формальное, не гипотетическое толкование Ньютон дает в следующем виде: «Всякий луч света при прохождении через какую-либо преломляющую поверхность принимает определенное временное строение или состояние, снова возвращающееся через равные промежутки по мере прохождения луча; всякий раз, как это состояние возвращается, оно располагает луч к прохождению через преломляющую поверхность; в промежутке между возвращениями такого состояния луч отражается… Я не стану здесь рассматривать, в чем заключается предрасположение такого рода, состоит ли оно из вращательного или колебательного движения луча или среды или из чего-либо другого».

В явлениях периодичности(и дифракции в 1675г.) Ньютон ясно видел наличие некоторого волнового элемента в световых лучах. В этом пункте волновая гипотеза была наглядной и полезной. И Ньютон создаёт гипотезу совершенно нового типа, в которой есть и корпускулы и волны. В эфире, заполняющем тела, световые корпускулы вызывают волны, распространяющиеся со скоростью, несколько большей скорости корпускулы. Обгоняя корпускулы, волны подводят к ним то фазу сгущения, то фазу расширения, вызывая приступы чередующихся отражений и прохождений.

Программа атомизма

«Мельчайшие частицы материи могут сцепляться посредством сильнейших притяжений, составляя большие частицы, но более слабые. Многие из них могут также сцепляться и составлять ещё большие частицы с ещё более слабой силой – и так в ряде последовательностей, пока прогрессия не закончится самыми большими частицами, от которых зависят химические действия и цвета природных тел; при сцеплении таких частиц составляются тела заметной величины… Таким образом, в природе существуют агенты, способные сжимать вместе частицы тел весьма сильными притяжениями. Обязанность экспериментальной философии их отыскать».
Лучше не скажешь.

Дифференциальное исчисление

Производная нужна для адекватного воплощения понятия скорости материальной точки

Тогда ускорение

Интегральное исчисление

Определенный интеграл нужен для адекватного воплощения понятия пути материальной точки, движущейся из точки в точку

Через интеграл выразится и работа силы, совершаемая над материальной точкой, движущейся из точки в точку

Эксперименты

Ньютон и дальнодействие

Часто говорят о Ньютоне как о приверженце дальнодействия. Предоставим, однако, слово самому Ньютону. «Непостижимо, чтобы неодушевлённая грубая материя могла без посредства чего-либо нематериального действовать и влиять на другую материю без взаимного соприкосновения, как это должно бы происходить, если бы тяготение в смысле Эпикура было существенным и врождённым в материи. Предполагать, что тяготение является существенным, неразрывным и врождённым свойством материи, так что тело может действовать на другое на любом расстоянии в пустом пространстве, без посредства чего-либо передавая действие и силу, — это, по-моему, такой абсурд, который немыслим ни для кого, умеющего достаточно разбираться в философских предметах. Тяготение должно вызываться агентом, постоянно действующим по определённым законам. Является ли, однако, этот агент материальным или нематериальным, решать это я предоставил моим читателям»(письмо Ньютона Бентлею).

Тем не менее, закон всемирного тяготения выглядит как дальнодействующий. Его можно модифицировать, введя скорость распространения тяготения. Однако никто не мог измерить эту скорость(как и сейчас). Поэтому её введение излишне. Ясно только, что она должна быть настолько большой, что её можно принять за бесконечно большую и тогда достаточно обходиться дальнодействием.

Система мира

Ньютон создал систему мира – теорию, позволяющую в принципе рассчитать поведение любой материальной системы мира, если известны все силы, определяющие движение системы и известны начальные условия. В этой системе предполагается следующая структура:

• Мир – множество тел
• Тела – системы материальных точек, связываемых вместе силами.
• Тела взаимодействуют посредством сил. Отыскание законов, определяющих силы – задача других разделов физики.
• Движение тела под воздействием заданных сил описывается законами Ньютона.

Отсюда ясна задача физики:

• Изучение сил и установление законов, определяющих эти силы
• Определение движений тел, под воздействием заданных сил.

Эйнштейн

Специальная теория относительности(СТО)

Далее я придерживаюсь правила Эйнштейна: по повторяющимся верхним и нижним индексам подразумевается суммирование. Подъем и опускание индексов делается метрическим тензором.
Эйнштейн принял, что есть максимальная скорость передачи взаимодействия и она равна скорости света. Применяя принцип относительности получим, что эта скорость должна быть одинаковой во всех системах отсчета иначе их можно было бы физически различать по значению максимальной скорости передачи взаимодействии. Ясно, что факт одинаковости максимальной скорости в разных системах отсчета противоречит классическому правилу сложения скоростей. Это уже другая механика. Естественно принять максимальную скорость для установления одновременности. Она, конечно, оказывается относительной. Об это ещё ранее говорил Пуанкаре. Можно было сказать, что одновремённость нужно устанавливать как-то по-другому и она окажется абсолютной. Но как? И, в конце-концов, только опыт покажет правоту(удобство) принятых определений. Опыт подтверждает относительность одновременности
У Ньютона для любых событий 1 и 2 и любых двух систем отсчета(штрихованная и нет):
— абсолютен пространственный интервал
— абсолютен временной интервал.

Наличие сколь угодно больших скоростей позволяет сделать сколь угодно точную синхронизацию часов для любых системах отсчета. И в силу абсолютности одновременности синхронизация будет абсолютной.

У Эйнштейна абсолютен интервал:

— абсолютен пространственно-временной интервал.

Время и пространство не разделены, а выступают как единый 4-мерный мир с псевдоевклидовой метрикой. Первым об этом ещё до Эйнштейна заговорил Пуанкаре, а после Эйнштейна — Минковский.

Объяснение фотоэффекта

Эйнштейн вернулся к Ньютоновскому воззрению на свет как поток частиц. Применив для них формулу Планка ε=hν он объяснил законы фотоэффекта, за что и получил Нобелевскую премию.

Вынужденное излучение

Эйнштейн ввел понятие индуцированного излучения. Возбужденное состояние может испустить фотон и перейти в нижнее состояние не только спонтанно, но и под воздействием света — вынужденно. Отсюда остается шаг до идеи квантового генератора. Нужно испущенный фотон направить на вынужденное излучение. Эйнштейн не сделал этого шага. Более того, явно высказанная Фабрикантом(советский физик) идея генерации далеко не сразу не получила развитие.

Теория броуновского движения

Эйнштейн первым применил идею атомарности материи к теории броуновского движения.
Им была создана молекулярно-кинетическая теория для количественного описания броуновского движения. В частности, он вывел формулу для коэффициента диффузии сферических броуновских частиц.

где D — коэффициент диффузии, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура, — постоянная Авогадро, a — радиус частиц, ξ — динамическая вязкость.

Общая теория относительности(ОТО)

У Ньютона гравитационное поле характеризовалась гравитационным скалярным потенциалом. Неясно было с какой скоростью распространяются возмущения поля – отклонения от статической картины. В статическую картину скорость не входит. Поэтому многие делают вывод о том, что Ньютон полагал ее бесконечной.

Эйнштейна не удовлетворил скалярно-релятивистский вариант ньютоновской теории. В него не удавалась втиснуть принцип эквивалентности. Не прошел и векторный(как в электродинамике) вариант теории гравитационного поля.

Эйнштейн в поисках общей относительности и, опираясь на принцип эквивалентности, предложил тензорную теорию гравитационного поля. В ней:

• локально выполняется СТО
• выполняется принцип общей относительности(тензорная ковариантность явлений в любых системах координат, в том числе и в тех, что называются в классике неинерциальными),
• гравитационное поле связывается с метрическим тензором искривленного пространства-времени.

Ньютон оперировал с физическими величинами непосредственно данными в опыте(сила, масса, расстояние, длительность, скорость, ускорение). Сравните это с длинным путем понимания уравнений ОТО:

Метрика пространства времени:

Имея метрический тензор, определяем символы Кристоффеля:

Имея символы Кристоффеля, определяем тензор Римана:

Имея тензор Римана, определяем тензор Риччи:

Имея тензор Риччи, определяем скалярную кривизну:

Тогда действие для гравитационного поля(Гильберт):

Из принципа минимального действия получаются(Гильберт) уравнения гравитационного поля:

Где – тензор энергии-импульса материи(всё, кроме гравитации).
Это уравнение по заданному распределению материи позволяет в принципе получить метрику . А она определяет геометрию пространства времени.

Эйнштейн получил уравнения другим путём.

Движение материальной частицы в заданном гравитационном поле задаётся уравнением:

Это, несомненно, радикально меняет Ньютоновскую модель гравитации, которая является, как и положено при появлении более общей теории, предельным случаем ОТО.

Статистика Бозе-Эйнштейна

В статистической механике статистика Бо́зе — Эйнште́йна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. Предложена в 1924 году Бозе для описания фотонов. В 1924—1925 годах Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином.

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый конденсат Бозе — Эйнштейна.

Эффект Эйнштейна-Гааза

Эйнштейн и Гааз объяснили появление механического момента количества движения при намагничивании ферромагнетика. Момент направлен вдоль оси намагничивания.

Сравнение Ньютон-Эйнштейн

Даже без математической составляющей ясно первое место. Однако если отбрасывать математику, то большинство теперешних физиков-теоретиков нужно считать математиками, на что они, несомненно, обидятся. Тем более, что нобелевских премий по математике нет. Все-таки математика теорфизики это не та математика, которой занимаются чистые математики. Последним нет никакого дела до приложений. А теорфизика делается именно для приложений.

Эйнштейн о Ньютоне

Вот что написал Эйнштейн в предисловии к “ОПТИКЕ» Ньютона.

Счастливый Ньютон, счастливое детство науки! Тот, кто располагает временем и покоем, сможет, прочитав эту книгу, пережить те замечательные события, которые великий Ньютон испытал в дни своей молодости.

Природа для него была открытой книгой, которую он читал без усилий. Концепции, которыми он пользовался для упорядочения данных опыта, кажутся вытекающими непринужденно из самого опыта, из замечательных экспериментов, заботливо описываемых им со множеством деталей и расставленных по порядку, подобно игрушкам. В одном лице он сочетал экспериментатора, теоретика, мастера и — в не меньшей степени — художника слова. Он предстал перед нами сильным, уверенным и одиноким; его радость созидания и ювелирная точность проявляются в каждом слове и в каждом рисунке.

Отражение, преломление, образование изображений в линзах, устройство глаза, спектральное разложение и смешение различных сортов света, изобретение телескопа-рефлектора, первоосновы теории цветов, элементарная теория радуги вереницей проходят перед нами. В конце изложены его наблюдения над цветами тонких пленок как исходная точка для последующего теоретического прогресса, ждавшего более ста лет прихода Томаса Юнга.

Эпоха Ньютона давно уже прошла проверку временем, борьба сомнений и мучения его поколения исчезли из нашего поля зрения; работы немногих великих мыслителей и художников остались, чтобы радовать и облагораживать нас и тех, кто придет за нами. Открытия Ньютона вошли в сокровищницу признанных достижений познания. Это новое издание его труда по оптике, тем не менее, должно быть принято с теплой благодарностью, потому что только сама эта книга дает нам возможность взглянуть на деятельность этого единственного в своем роде человека.

Выводы

Ньютон почти во всем впереди. Но главное:

• Он создал теоретическую физику. Её стандарты ещё не менялись
• Он создал систему мира. Её принципы также не менялись со времён Ньютона
• Он создал адекватный математический аппарат для своей механики
• Он предложил универсальный метод решения дифференциальных уравнений механики

Итак, вот физик №1.

Физики №2

Не удержаться от дальнейшей таксономии. И, в частности, спросить: А кто же физик(и) №2 и т.д.?
Если мы не дали Эйнштейну первого места, то уж второе он заслужил. Если в создании специальной теории относительности(СТО) нельзя не упомянуть о Лоренце, Пуанкаре и Минковском, то физическую сторону общей теории относительности(ОТО) Эйнштейн создал один. Математику ОТО, тензорный анализ в Римановых пространствах, Эйнштейну подсказал его друг Гроссман. Уравнения тяготения почти одновременно с Эйнштейном вывел Гильберт. Он ввёл действие для гравитационного поля и, применив к этому действию вариационный принцип, получил уравнения гравитационного поля. Эйнштейн шел более индуктивным и физическим путём. Ясно, что сам Эйнштейн, тензорный анализ не создал бы. А Ньютон создал адекватный его механике аппарат – дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения.

Однако ещё есть квантовая механика(КМ). Её создатели — Гейзенберг, Шрёдингер, Дирак. Квантовая механика гораздо радикальнее чем СТО отходит от классики. Сами физики до сих пор говорят, что физическую сторону квантовой механики мало кто понимает. А вот рецептурная сторона применяется вовсю. Однако КМ отшлифовалась в более коллективном горниле, чем ОТО: Бор, Гейзенберг, Шредингер, Борн, Дирак, Паули, Йордан. Если бы Шрёдингер и Гейзенберг отполировали свои теории сами, то быть бы им рядом с Ньютоном. Гейзенберг, введя квантовые таблицы, ничего не знал о матрицах, которые оказались аппаратом адекватным Гейзенберговому подходу. На это впервые обратили внимание Борн и Йордан. Шрёдингер обошёлся классическим аппаратом – уравнениями в частных производных.

• Эйнштейн
• Гейзенберг
• Шрёдингер
• Бор
• Дирак
• Паули

А если вспомнить слова об исторической перспективе, то сюда нужно добавить Галилея. А Максвелл? – конечно, включаем.

А куда отнести авторов стандартной модели — Вайнберга, Глэшоу и Салама?

Эпилог

Кратко психологическое состояние учёных умов после появления Ньютона поэт Поуп выразил так:

Был этот свет глубокой тьмой окутан,
«Да будет свет!» — И вот явился Ньютон.
А психологическое состояние учёных умов после появления Эйнштейна безымянный поэт выразил так(продолжая первое стихотворение):
Но сатана недолго ждал реванша,
Пришел Эйнштейн – и всё стало как раньше.

Учение Ньютона – божественная простота, учение Эйнштейна – дьявольская сложность (полушутка).

Законы механики Ньютона

В отсутствие внешних силовых воздействий тело будет продолжать равномерно двигаться по прямой.

Ускорение движущегося тела пропорционально сумме приложенных к нему сил и обратно пропорционально его массе.

Всякому действию сопоставлено равное по силе и обратное по направлению противодействие.

Законы Ньютона — в зависимости от того, под каким углом на них посмотреть, — представляют собой либо конец начала, либо начало конца классической механики. В любом случае это поворотный момент в истории физической науки — блестящая компиляция всех накопленных к тому историческому моменту знаний о движении физических тел в рамках физической теории, которую теперь принято именовать классической механикой. Можно сказать, что с законов движения Ньютона пошел отсчет истории современной физики и вообще естественных наук.

Однако Исаак Ньютон взял названные в его честь законы не из воздуха. Они, фактически, стали кульминацией долгого исторического процесса формулирования принципов классической механики. Мыслители и математики — упомянем лишь Галилея (см. Уравнения равноускоренного движения) — веками пытались вывести формулы для описания законов движения материальных тел — и постоянно спотыкались о то, что лично я сам для себя называю непроговоренными условностями, а именно — обе основополагающие идеи о том, на каких принципах зиждется материальный мир, которые настолько устойчиво вошли в сознание людей, что кажутся неоспоримыми. Например, древним философам даже в голову не приходило, что небесные тела могут двигаться по орбитам, отличающимся от круговых; в лучшем случае возникала идея, что планеты и звезды обращаются вокруг Земли по концентрическим (то есть вложенным друг в друга) сферическим орбитам. Почему? Да потому, что еще со времен античных мыслителей Древней Греции никому не приходило в голову, что планеты могут отклоняться от совершенства, воплощением которой и является строгая геометрическая окружность. Нужно было обладать гением Иоганна Кеплера, чтобы честно взглянуть на эту проблему под другим углом, проанализировать данные реальных наблюдений и вывести из них, что в действительности планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим траекториям (см. Законы Кеплера).

Первый закон Ньютона

Учитывая столь серьезный, исторически сложившийся провал, первый закон Ньютона сформулирован безоговорочно революционным образом. Он утверждает, что если какую-либо материальную частицу или тело попросту не трогать, оно будет продолжать прямолинейно двигаться с неизменной скоростью само по себе. Если тело равномерно двигалось по прямой, оно так и будет двигаться по прямой с неизменной скоростью. Если тело покоилось, оно так и будет покоиться, пока к нему не приложат внешних сил. Чтобы просто сдвинуть физическое тело с места, к нему нужно обязательно приложить стороннюю силу. Возьмем самолет: он ни за что не стронется с места, пока не будут запущены двигатели. Казалось бы, наблюдение самоочевидное, однако, стоит нам отвлечься от прямолинейного движения, как оно перестает казаться таковым. При инерционном движении тела по замкнутой циклической траектории его анализ с позиции первого закона Ньютона только и позволяет точно определить его характеристики.

Представьте себе что-то типа легкоатлетического молота — ядро на конце струны, раскручиваемое вами вокруг вашей головы. Ядро в этом случае движется не по прямой, а по окружности — значит, согласно первому закону Ньютона, его что-то удерживает; это «что-то» — и есть центростремительная сила, которую вы прилагаете к ядру, раскручивая его. Реально вы и сами можете ее ощутить — рукоять легкоатлетического молота ощутимо давит вам на ладони. Если же вы разожмете руку и выпустите молот, он — в отсутствие внешних сил — незамедлительно отправится в путь по прямой. Точнее будет сказать, что так молот поведет себя в идеальных условиях (например, в открытом космосе), поскольку под воздействием силы гравитационного притяжения Земли он будет лететь строго по прямой лишь в тот момент, когда вы его отпустили, а в дальнейшем траектория полета будет всё больше отклоняться в направлении земной поверхности. Если же вы попробуете действительно выпустить молот, выяснится, что отпущенный с круговой орбиты молот отправится в путь строго по прямой, являющейся касательной (перпендикулярной к радиусу окружности, по которой его раскручивали) с линейной скоростью, равной скорости его обращения по «орбите».

Теперь заменим ядро легкоатлетического молота планетой, молотобойца — Солнцем, а струну — силой гравитационного притяжения: вот вам и ньютоновская модель Солнечной системы.

Такой анализ происходящего при обращении одного тела вокруг другого по круговой орбите на первый взгляд кажется чем-то само собой разумеющимся, но не стоит забывать, что он вобрал в себя целый ряд умозаключений лучших представителей научной мысли предшествующего поколения (достаточно вспомнить Галилео Галилея). Проблема тут в том, что при движении по стационарной круговой орбите небесное (и любое иное) тело выглядит весьма безмятежно и представляется пребывающим в состоянии устойчивого динамического и кинематического равновесия. Однако, если разобраться, сохраняется только модуль (абсолютная величина) линейной скорости такого тела, в то время как ее направление постоянно меняется под воздействием силы гравитационного притяжения. Это и значит, что небесное тело движется равноускоренно. Кстати, сам Ньютон называл ускорение «изменением движения».

Первый закон Ньютона играет и еще одну важную роль с точки зрения нашего естествоиспытательского отношения к природе материального мира. Он подсказывает нам, что любое изменение в характере движения тела свидетельствует о присутствии внешних сил, воздействующих на него. Условно говоря, если мы наблюдаем, как железные опилки, например, подпрыгивают и налипают на магнит, или, доставая из сушилки стиральной машины белье, выясняем, что вещи слиплись и присохли одна к другой, мы можем чувствовать себя спокойно и уверенно: эти эффекты стали следствием действия природных сил (в приведенных примерах это силы магнитного и электростатического притяжения соответственно).

Второй закон Ньютона

Если первый закон Ньютона помогает нам определить, находится ли тело под воздействием внешних сил, то второй закон описывает, что происходит с физическим телом под их воздействием. Чем больше сумма приложенных к телу внешних сил, гласит этот закон, тем большее ускорение приобретает тело. Это раз. Одновременно, чем массивнее тело, к которому приложена равная сумма внешних сил, тем меньшее ускорение оно приобретает. Это два. Интуитивно эти два факта представляются самоочевидными, а в математическом виде они записываются так:

где F — сила, m — масса, а — ускорение. Это, наверное, самое полезное и самое широко используемое в прикладных целях из всех физических уравнений. Достаточно знать величину и направление всех сил, действующих в механической системе, и массу материальных тел, из которых она состоит, и можно с исчерпывающей точностью рассчитать ее поведение во времени.

Именно второй закон Ньютона придает всей классической механике ее особую прелесть — начинает казаться, будто весь физический мир устроен, как наиточнейший хронометр, и ничто в нем не ускользнет от взгляда пытливого наблюдателя. Назовите мне пространственные координаты и скорости всех материальных точек во Вселенной, словно говорит нам Ньютон, укажите мне направление и интенсивность всех действующих в ней сил, и я предскажу вам любое ее будущее состояние. И такой взгляд на природу вещей во Вселенной бытовал вплоть до появления квантовой механики.

Третий закон Ньютона

За этот закон, скорее всего, Ньютон и снискал себе почет и уважение со стороны не только естествоиспытателей, но и ученых-гуманитариев и попросту широких масс. Его любят цитировать (по делу и без дела), проводя самые широкие параллели с тем, что мы вынуждены наблюдать в нашей обыденной жизни, и притягивают чуть ли не за уши для обоснования самых спорных положений в ходе дискуссий по любым вопросам, начиная с межличностных и заканчивая международными отношениями и глобальной политикой. Ньютон, однако, вкладывал в свой названный впоследствии третьим закон совершенно конкретный физический смысл и едва ли замышлял его в ином качестве, нежели как точное средство описания природы силовых взаимодействий. Закон этот гласит, что если тело А воздействует с некоей силой на тело В, то тело В также воздействует на тело А с равной по величине и противоположной по направлению силой. Иными словами, стоя на полу, вы воздействуете на пол с силой, пропорциональной массе вашего тела. Согласно третьему закону Ньютона пол в это же время воздействует на вас с абсолютно такой же по величине силой, но направленной не вниз, а строго вверх. Этот закон экспериментально проверить нетрудно: вы постоянно чувствуете, как земля давит на ваши подошвы.

Тут важно понимать и помнить, что речь у Ньютона идет о двух силах совершенно разной природы, причем каждая сила воздействует на «свой» объект. Когда яблоко падает с дерева, это Земля воздействует на яблоко силой своего гравитационного притяжения (вследствие чего яблоко равноускоренно устремляется к поверхности Земли), но при этом и яблоко притягивает к себе Землю с равной силой. А то, что нам кажется, что это именно яблоко падает на Землю, а не наоборот, это уже следствие второго закона Ньютона. Масса яблока по сравнению с массой Земли низка до несопоставимости, поэтому именно его ускорение заметно для глаз наблюдателя. Масса же Земли, по сравнению с массой яблока, огромна, поэтому ее ускорение практически незаметно. (В случае падения яблока центр Земли смещается вверх на расстояние менее радиуса атомного ядра.)

По совокупности же три закона Ньютона дали физикам инструменты, необходимые для начала комплексного наблюдения всех явлений, происходящих в нашей Вселенной. И, невзирая на все колоссальные подвижки в науке, произошедшие со времен Ньютона, чтобы спроектировать новый автомобиль или отправить космический корабль на Юпитер, вы воспользуетесь все теми же тремя законами Ньютона.