Как объяснить решение линейных уравнений

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Как решать линейные уравнения?

Линейные уравнения — довольно безобидная и понятная тема школьной математики. Но, как это ни странно, количество ошибок на ровном месте при решении линейных уравнений лишь немногим меньше, чем в других темах — квадратных уравнениях, логарифмах, тригонометрии и прочих. Причины большинства ошибок — банальные тождественные преобразования уравнений. В первую очередь, это путаница в знаках при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, а также ошибки при работе с дробями и дробными коэффициентами. Да-да! Дроби в линейных уравнениях тоже встречаются! Сплошь и рядом. Чуть ниже такие злые уравнения мы с вами тоже обязательно разберём.)

Ну что, не будем тянуть кота за хвост и начнём разбираться, пожалуй? Тогда читаем и вникаем.)

Что такое линейное уравнение? Примеры.

Обычно линейное уравнение имеет следующий вид:

где a и b — любые числа. Какие угодно: целые, дробные, отрицательные, иррациональные — всякие могут быть!

7х + 1 = 0 (здесь a = 7, b = 1)

x — 3 = 0 (здесь a = 1, b = -3)

x/2 — 1,1 = 0 (здесь a = 1/2, b = -1,1)

В общем, вы поняли, я надеюсь.) Всё просто, как в сказке. До поры до времени… А если присмотреться к общей записи ax+b=0 более пристально, да немного призадуматься? Ведь a и b — любые числа! А если у нас, скажем, a = 0 и b = 0 (любые же числа можно брать!), то что у нас тогда получится?

Но и это ещё не все приколы! А если, допустим, a = 0, b = -10? Тогда уже совсем какая-то ахинея получается:

Что весьма и весьма напрягает и подрывает завоёвываемое потом и кровью доверие к математике… Особенно на контрольных и экзаменах. А ведь из этих непонятных и странных равенств ещё и икс найти нужно! Которого нету вообще! И вот тут даже хорошо подготовленные ученики, порой, могут впасть, что называется, в ступор… Но не переживайте! В данном уроке все такие сюрпризы мы тоже рассмотрим. И икс из таких равенств тоже обязательно отыщем.) Причём этот самый икс ищется очень и очень просто. Да-да! Удивительно, но факт.)

Ну хорошо, это понятно. Но как же можно узнать по внешнему виду задания, что перед нами именно линейное уравнение, а не какое-либо ещё? К сожалению, только по внешнему виду распознать тип уравнения возможно далеко не всегда. Дело всё в том, что линейными называются не только уравнения вида ax+b=0, но и любые другие уравнения, которые тождественными преобразованиями, так или иначе, сводятся к такому виду. А как тут узнаешь, сводится оно или нет? Пока пример почти не решишь — почти никак. Это огорчает. Но для некоторых типов уравнений можно при одном беглом взгляде сразу с уверенностью сказать, линейное оно или нет.

Для этого ещё разок обратимся к общей структуре любого линейного уравнения:

Обратите внимание: в линейном уравнении всегда присутствует только переменная икс в первой степени и какие-то числа! И всё! Больше ничего. При этом нету иксов в квадрате, в кубе, под корнем, под логарифмом и прочей экзотики. И (что особенно важно!) нет дробей с иксом в знаменателях! А вот дроби с числами в знаменателях или деление на число — запросто!

Это линейное уравнение. В уравнении присутствуют только иксы в первой степени да числа. И нету иксов в более высоких степенях — в квадрате, в кубе и так далее. Да, здесь есть дроби, но при этом в знаменателях дробей сидят только числа. А именно — двойка и тройка. Иными словами, в уравнении нету деления на икс.

А вот уравнение

уже нельзя назвать линейным, хотя здесь тоже присутствуют только числа и иксы в первой степени. Ибо, помимо всего прочего, здесь есть ещё и дроби с иксами в знаменателях. И после упрощений и преобразований такое уравнение может стать каким угодно: и линейным, и квадратным — всяким.

Как решать линейные уравнения? Примеры.

Так как же решать линейные уравнения? Читайте дальше и удивляйтесь.) Всё решение линейных уравнений базируется всего на двух основных вещах. Перечислим их.

1) Набор элементарных действий и правил математики.

Это использование скобок, раскрытие скобок, работа с дробями, работа с отрицательными числами, таблица умножения и так далее. Эти знания и умения необходимы не только для решения линейных уравнений, а для всей математики вообще. И, если с этим проблемы, вспоминайте младшие классы. Иначе несладко вам придётся…

Их всего два. Да-да! Более того, эти самые базовые тождественные преобразования лежат в основе решения не только линейных, а вообще любых уравнений математики! Одним словом, решение любого другого уравнения — квадратного, логарифмического, тригонометрического, иррационального и т.д. — как правило, начинается с этих самых базовых преобразований. А вот решение именно линейных уравнений, собственно, на них же (преобразованиях) и заканчивается. Готовым ответом.) Так что не поленитесь и прогуляетесь по ссылке.) Тем более, что там линейные уравнения тоже детально разбираются.

Что ж, я думаю, пора приступать к разбору примеров.

Для начала, в качестве разминки, рассмотрим какую-нибудь элементарщину. Безо всяких дробей и прочих наворотов. Например, такое уравнение:

Это классическое линейное уравнение. Все иксы максимум в первой степени и деления на икс нигде нету. Схема решения в таких уравнениях всегда едина и проста до ужаса: все члены с иксами надо собрать слева, а все члены без иксов (т.е. числа) собрать справа. Вот и приступаем к сбору.

Для этого запускаем в ход первое тождественное преобразование. Нам нужно перенести -5х влево, а -2 перенести вправо. Со сменой знака, ясное дело.) Вот и переносим:

Ну вот. Полдела сделано: иксы собрали в кучку, числа — тоже. Теперь слева приводим подобные, а справа — считаем. Получаем:

Чего теперь нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс остался! А шестёрка — мешает. Как от неё избавиться? Запускаем теперь второе тождественное преобразование — делим обе части уравнения на 6. И — вуаля! Ответ готов.)

Разумеется, пример совсем примитивный. Чтобы общую идею уловить. Что ж, решим что-нибудь посущественнее. Например, разберём вот такое уравнение:

Детально разберём.) Это тоже линейное уравнение, хотя, казалось бы, тут есть дроби. Но в дробях есть деление на двойку и есть деление на тройку, а вот деления на выражение с иксом — нету! Так что — решаем. Используя всё те же тождественные преобразования, да.)

Что вначале делать будем? С иксами — влево, без иксов — вправо? В принципе, можно и так. Лететь в Сочи через Владивосток.) А можно пойти по кратчайшему пути, сразу воспользовавшись универсальным и мощным способом. Если знать тождественные преобразования, разумеется.)

Для начала задаю ключевой вопрос: что вам сильнее всего бросается в глаза и больше всего не нравится в этом уравнении? 99 человек из 100 скажут: дроби! И будут правы.) Вот и избавимся сначала от них. Безопасно для самого уравнения.) Поэтому начнём сразу со второго тождественного преобразования — с домножения. На что надо помножить левую часть, чтобы знаменатель благополучно сократился? Правильно, на двойку. А правую часть? На тройку! Но… Математика — дама капризная. Она, понимаешь, требует умножать обе части только на одно и то же число! Каждую часть помножать на своё число — не катит… Что делать будем? Что-что… Искать компромисс. Чтобы и наши хотелки удовлетворить (избавиться от дробей) и математику не обидеть.) А помножим-ка обе части на шестёрку!) То есть, на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Тогда одним махом и двойка сократится, и тройка!)

Вот и домножаем. Всю левую часть и всю правую часть целиком! Посему используем скобочки. Вот так выглядит сама процедура:

Теперь раскрываем эти самые скобочки:

Теперь, представив 6 как 6/1, помножим шестёрку на каждую из дробей слева и справа. Это обычное умножение дробей, но, так уж и быть, распишу детально:

А вот здесь — внимание! Числитель (х-3) я взял в скобки! Это всё потому, что при умножении дробей числитель умножается весь, целиком и полностью! И с выражением х-3 надо работать как с одной цельной конструкцией. А вот если вы запишете числитель вот так:

то это будет ошибкой. Дальше можно уже не решать, да…

Но у нас всё правильно и надо дорешивать. Что дальше делать? Раскрывать скобки в числителе слева? Ни в коем случае! Мы с вами домножали обе части на 6, чтобы от дробей избавиться, а не для того чтобы париться с раскрытием скобок. На данном этапе нам надо сократить наши дроби. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем все знаменатели и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку:

А вот теперь и оставшиеся скобки можно раскрыть:

3х — 9 + 6х = 30 — 4х

Уравнение становится всё лучше и лучше! Вот теперь вновь вспоминаем про первое тождественное преобразование. С каменным лицом повторяем заклинание из младших классов: с иксами — влево, без иксов — вправо. И применяем это преобразование:

3х + 6х + 4х = 30 + 9

Приводим подобные слева и считаем справа:

Осталось поделить обе части на 13. То есть, вновь применить второе преобразование. Делим и получаем ответ:

Готово дело. Как вы видите, в данном уравнении нам пришлось один раз применить первое преобразование (перенос слагаемых) и дважды — второе: в начале решения мы использовали домножение (на 6) с целью избавиться от дробей, а в конце решения использовали деление (на 13), чтобы избавиться от коэффициента перед иксом. И решение любого (да-да, любого!) линейного уравнения состоит из комбинации этих самых преобразований в той или иной последовательности. С чего именно начинать — от конкретного уравнения зависит. Где-то выгоднее начинать с переноса, а где-то (как в этом примере) — с домножения (или деления).

Работаем от простого — к сложному. Рассмотрим теперь откровенную жесть. С кучей дробей и скобок. А я уж подскажу, как не надорваться.)

Например, вот такое уравнение:

Минуту смотрим на уравнение, ужасаемся, но всё-таки берём себя в руки! Основная проблема — с чего начинать? Можно сложить дроби в правой части. Можно выполнить вычитание дробей в скобках. Можно обе части на что-нибудь домножить. Или поделить… Так что же всё-таки можно? Ответ: всё можно! Ни одно из перечисленных действий математика не запрещает. И какую бы последовательность действий и преобразований вы бы ни выбрали, ответ получится всегда один — правильный. Если, конечно, на каком-то шаге не нарушить тождественность ваших преобразований и, тем самым, не наляпать ошибок…

А, чтобы не наляпать ошибок, в таких навороченных примерах, как этот, всегда полезнее всего оценить его внешний вид и в уме прикинуть: что можно такое сделать в примере, чтобы максимально упростить его за один шаг?

Вот и прикидываем. Слева стоят шестёрки в знаменателях. Лично мне они не нравятся, а убрать их очень легко. Домножу-ка я обе части уравнения на 6! Тогда шестёрки слева благополучно сократятся, дроби в скобках пока никуда не денутся. Ну и ничего страшного. С ними чуток позже расправимся.) А вот справа у нас сократятся знаменатели 2 и 3. Именно при этом действии (умножении на 6) у нас за один шаг достигаются максимальные упрощения!

После умножения всё наше злое уравнение станет вот таким:

Кто не понял, как именно получилось это уравнение, значит, вы плохо усвоили разбор предыдущего примера. А я старался, между прочим…

Что дальше можно сделать? Дальше удобнее всего раскрыть все скобки справа. Причём правильно раскрыть, соблюдая основы! В правой части перед обеими скобками стоит знак плюс, поэтому все знаки при раскрытии сохраняются.

Теперь самым логичным шагом было бы уединить дроби слева, а 5х отправить в правую часть. Заодно и подобные в правой части приведём. Получим:

Уже гораздо лучше. Теперь левая часть сама собой подготовилась к умножению. На что надо домножить левую часть, чтобы сразу и пятёрка сократилась, и четвёрка? На 20! Но ещё у нас присутствуют минусы в обеих частях уравнения. Поэтому удобнее всего будет умножать обе части уравнения не на 20, а на -20. Тогда одним махом и минусы исчезнут, и дроби.

Кому до сих пор непонятен этот шаг — значит, проблемы не в уравнениях. Проблемы — в основах! Вновь вспоминаем золотое правило раскрытия скобок:

Если число умножается на какое-то выражение в скобках, то это число надо последовательно умножить на каждое слагаемое этого самого выражения. При этом если число положительно, то знаки выражений после раскрытия сохраняются. Если отрицательно — меняются на противоположные:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Минусы у нас исчезли после домножения обеих частей на -20. И теперь скобки с дробями слева мы умножаем на вполне себе положительное число 20. Стало быть, при раскрытии этих скобок все знаки, что были внутри них, сохраняются. А вот откуда взялись скобки в числителях дробей, я уже подробно объяснял в предыдущем примере.

А вот теперь дроби и сократить можно:

Раскрываем оставшиеся скобки. Опять же, правильно раскрываем. Первые скобки умножаются на положительное число 4 и, стало быть, все знаки при их раскрытии сохраняются. А вот вторые скобки умножаются на отрицательное число -5 и, поэтому, все знаки меняются на противоположные:

12 — 20х — 15х + 10 = 20

Остались сущие пустяки. С иксами влево, без иксов — вправо:

-20х — 15х = 20 — 10 — 12

Вот почти и всё. Слева нужен чистый икс, а число -35 мешает. Вот и делим обе части на (-35). Напоминаю, что второе тождественное преобразование разрешает нам умножать и делить обе части на какое угодно число. В том числе и на отрицательное.) Лишь бы не на ноль! Смело делим и получаем ответ:

На сей раз икс получился дробным. Ничего страшного. Такой уж пример.)

Как мы видим, принцип решения линейных уравнений (даже самых накрученных) довольно простой: берём исходное уравнение и тождественными преобразованиями последовательно упрощаем его прямо до получения ответа. С соблюдением основ, разумеется! Главные проблемы здесь именно в несоблюдении основ (скажем, перед скобками стоит минус, а знаки при раскрытии поменять забыли), а также в банальной арифметике. Так что не пренебрегайте основами! Они — фундамент всей остальной математики!

Некоторые приколы при решении линейных уравнений. Или особые случаи.

Всё бы ничего. Однако… Попадаются среди линейных уравнений и такие забавные перлы, которые в процессе их решения могут и в сильный ступор вогнать. Даже отличника.)

Например, вот такое безобидное с виду уравнение:

7х + 3 = 4х + 5 + 3х — 2

Широко позёвывая и слегка скучая, собираем все иксы слева, а все числа справа:

Приводим подобные, считаем и получаем:

Вот-те раз! Выдал примерчик фокус! Само по себе это равенство возражений не вызывает: ноль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! Бесследно! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе решение не считается, да.) Что же делать?

Без паники! В таких нестандартных случаях спасают самые общие понятия и принципы математики. Что такое уравнение? Как решать уравнения? Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит, найти все значения переменной икс, которые при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство (тождество)!

Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, вернее некуда!) Остаётся догадаться, при каких именно иксах у нас получается это равенство. Какие же такие иксы можно подставлять в исходное уравнение, если при подстановке все они всё равно посокращаются в полный ноль? Неужели ещё не догадались?

Ну, конечно же! Иксы можно подставлять любые. Совершенно любые. Какие хотите, такие и подставляйте. Хоть 1, хоть -23, хоть 2,7 — какие угодно! Они всё равно сократятся и в результате останется чистая правда. Попробуйте, поподставляйте и убедитесь лично.)

Вот вам и ответ:

В научной записи это равенство пишется так:

Читается эта запись так: «Икс — любое действительное число.»

Или в другой форме, через промежутки:

Как вам больше нравится, так и оформляйте. Это верный и совершенно полноценный ответ!

А теперь я изменю в нашем исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

7х + 2 = 4х + 5 + 3х — 2

Опять переносим слагаемые, считаем и получаем:

7х — 4х — 3х = 5 — 2 — 2

И как вам этот прикол? Было обычное линейное уравнение, а стало непонятное равенство

Говоря научным языком, мы получили неверное равенство. А по-русски неправда это. Бред сивой кобылы. Ахинея.) Ибо ноль никак не равен единице!

А теперь опять соображаем, какие же иксы при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Какие? А никакие! Какой икс ни подставляй, всё равно всё посокращается и останется лажа.)

Вот и ответ: решений нет.

В математической записи такой ответ оформляется вот так:

Читается: «Икс принадлежит пустому множеству.»

Такие ответы в математике тоже встречаются довольно часто: далеко не всегда у какого-либо уравнения имеются корни в принципе. Какие-то уравнения могут и вовсе не иметь корней. Совсем.

Вот такие вот два сюрприза. Надеюсь, что теперь внезапная пропажа иксов в уравнении не поставит вас навечно в тупик. Дело вполне знакомое.)

И тут слышу закономерный вопрос: а в ОГЭ или ЕГЭ они будут? На ЕГЭ сами по себе в качестве задания — нет. Слишком уж простенькие. А вот в ОГЭ или в текстовых задачках — запросто! Так что теперь — тренируемся и решаем:

Ответы (в беспорядке): -2; -1; любое число; 2; нет решений; 7/13.

Всё получилось? Отлично! У вас неплохие шансы на экзамене.

Что-то не сходится? Гм… Печалька, конечно. Значит, где-то пока есть пробелы. Либо в основах, либо в тождественных преобразованиях. Либо же дело в банальной невнимательности. Перечитайте урок ещё раз. Ибо не та это тема, без которой можно вот так легко обойтись в математике…

Удачи! Она вам обязательно улыбнётся, поверьте!)

Решение линейных уравнений с одной переменной

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Что такое линейное уравнение

Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a · x = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа.

Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.

Примерами линейных уравнений будут:

3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );

− 3 , 1 · y = 0 (линейное уравнение с переменной y, где а = — 3 , 1 и b = 0 );

x = − 4 и − x = 5 , 37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и — 1 соответственно. Для первого уравнения b = — 4 ; для второго — b = 5 , 37 ) и т.п.

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.

А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a · x + b = 0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

3 · x − 7 = 0 ( a = 3 , b = − 7 ) ;

1 , 8 · y + 7 , 9 = 0 ( a = 1 , 8 , b = 7 , 9 ) .

Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a · x = b , например, 6 · x = 35 .

Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a · x + b = 0 , где x – переменная; a , b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a · x + b = 0 , определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком подходе уравнение 5 · x + 8 = 0 – линейное, а 5 · x = − 8 — уравнение, сводящееся к линейному.

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b . Запишем эти условия:

• при a ≠ 0 линейное уравнение имеет единственный корень x = — b a ;
• при a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение не имеет корней;
• при a = 0 и b = 0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

• перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
• умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Таким образом, преобразуем линейное уравнение a · x + b = 0 , перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a · x = − b .

Далее мы разделим обе части равенства на число а , при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда а = 0 , рассмотрим позже.

Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x = — b a . Т.е., когда a ≠ 0 , исходное уравнение a · x + b = 0 равносильно равенству x = — b a , в котором очевиден корень — b a .

Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня — b a как x 1 . Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x 2 . И конечно: x 2 ≠ x 1 , а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x 1 − x 2 ≠ 0 . С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a · x 1 + b = 0 и a · x 2 + b = 0 .
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

a · x 1 + b − ( a · x 2 + b ) = 0 − 0 , отсюда: a · ( x 1 − x 2 ) + ( b − b ) = 0 и далее a · ( x 1 − x 2 ) = 0 . Равенство a · ( x 1 − x 2 ) = 0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a ≠ 0 и x 1 − x 2 ≠ 0 . Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 имеет лишь один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a = 0 .

Когда a = 0 линейное уравнение a · x + b = 0 запишется как 0 · x + b = 0 . Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство 0 · x + b = 0 , получим b = 0 . Равенство справедливо при b = 0 ; в прочих случаях, когда b ≠ 0 , равенство становится неверным.

Таким образом, когда a = 0 и b = 0 , любое число может стать корнем линейного уравнения a · x + b = 0 , поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0 = 0 . Когда же a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b = 0 .

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

• по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
• при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
• при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
• при a , отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:

1. перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a · x = − b ;
2. обе части полученного равенства делим на число a , что даст нам искомый корень заданного уравнения: x = — b a .

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Напоследок уточним, что уравнения вида a · x = b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a ≠ 0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a .

Таким образом, чтобы найти решение уравнения a · x = b , используем такой алгоритм:

• при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
• при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
• при a , не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a , что дает возможность найти единственный корень, который равен b a .

Примеры решения линейных уравнений

Необходимо решить линейное уравнение 0 · x − 0 = 0 .

Решение

По записи заданного уравнения мы видим, что a = 0 и b = − 0 (или b = 0 , что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.

Ответ: x – любое число.