Как описать уравнением если есть координаты точек

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства, можно определить уравнением A x + B y + C z + D = 0 . В свою очередь, любое уравнение A x + B y + C z + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A , B , C , D – некоторые действительные числа, и числа A , B , C не равны одновременно нулю.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 . Допустим, задана некоторая плоскость и точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n → = ( A , B , C ) . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат O x y z задает уравнение A x + B y + C z + D = 0 .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M ( x , y , z ) .В таком случае векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n → , M 0 M → = A x — x 0 + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = A x + B y + C z — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 )

Примем D = — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: A x + B y + C z + D = 0 . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А , B , C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C z + D = 0 , т.е. верным будет равенство A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Получим уравнение вида

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 , и оно эквивалентно уравнению A x + B y + C z + D = 0 . Докажем, что уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 множество точек M ( x , y , z ) задает плоскость, у которой нормальный вектор n → = ( A , B , C ) . При этом плоскость проходит через точку M ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Иначе говоря, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение A x + B y + C z + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением A x + B y + C z + D = 0 , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 ( при конкретных значениях чисел A , B , C , D ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением A x + B y + C z + D = 0 в том случае, когда подставив координаты точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в уравнение A x + B y + C z + D = 0 , мы получим тождество.

Заданы точки M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) и N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) и плоскость, определяемая уравнением 2 x + 3 y — z — 2 = 0 . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

2 · 1 + 3 · ( — 1 ) — ( — 3 ) — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N 0 . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2 · 0 + 3 · 2 — ( — 8 ) — 2 = 0 ⇔ 12 = 0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2 x + 3 y — z + 5 = 0 . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x , y , z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n → исходной плоскости имеет координаты 2 , 3 , — 1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ · n → = λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Ответ: λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n → = ( A , B , C ) является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n → = ( A , B , C ) будет выглядеть так: A x + B y + C z + D = 0 . По условию задачи точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 , получим уравнение вида A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М ( x , y , z ) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

Задана точка М 0 ( — 1 , 2 , — 3 ) , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n → = ( 3 , 7 , — 5 ) . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x 0 = — 1 , y 0 = 2 , z 0 = — 3 , A = 3 , B = 7 , C = — 5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

3 ( x — ( — 1 ) ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z — ( — 3 ) ) = 0 ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

1. Допустим, М ( x , y , z ) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M 0 M → по координатам точек начала и конца:

M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) = ( x + 1 , y — 2 , z + 3 )

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n → , M 0 M → = 0 ⇔ 3 ( x + 1 ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z + 3 ) = 0 ⇔ ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Ответ: 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А , B , C , D отличны от нуля, общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

1. В случае, когда D = 0 , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = 0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О ( 0 , 0 , 0 ) , то придем к тождеству:

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

1. Если А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: B y + C z + D = 0 , или A x + C z + D = 0 , или A x + B y + D = 0 . Такие плоскости параллельны координатным осям О x , O y , O z соответственно. Когда D = 0 , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей B y + C z + D = 0 , A x + C z + D = 0 и A x + B y + D = 0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям O y z , O x z , O z y соответственно.

1. При А = 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 получим общие неполные уравнения плоскостей: C z + D = 0 ⇔ z + D C = 0 ⇔ z = — D C ⇔ z = λ , λ ∈ R или B y + D = 0 ⇔ y + D B = 0 ⇔ y = — D B ⇔ y = λ , λ ∈ R или A x + D = 0 ⇔ x + D A = 0 ⇔ x = — D A ⇔ x = λ , λ ∈ R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям O x y , O x z , O y z соответственно и проходят через точки 0 , 0 , — D C , 0 , — D B , 0 и — D A , 0 , 0 соответственно. При D = 0 уравнения самих координатных плоскостей O x y , O x z , O y z выглядят так: z = 0 , y = 0 , x = 0

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости O y z и проходящая через точку М 0 ( 7 , — 2 , 3 ) . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости A x + D = 0 , A ≠ 0 ⇔ x + D A = 0 . Поскольку точка M 0 ( 7 , — 2 , 3 ) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x + D A = 0 , иначе говоря, должно быть верным равенство 7 + D A = 0 . Преобразуем: D A = — 7 , тогда требуемое уравнение имеет вид: x — 7 = 0 .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости O y z . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости O y z : i → = ( 1 , 0 , 0 ) . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 7 ) + 0 · ( y + 2 ) + 0 · ( z — 3 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 7 = 0

Ответ: x — 7 = 0

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: — 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Геометрия

План урока:

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х 2 .

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

Уравнение окружности

Попытаемся составить уравнение окружности, про которую нам известен ее радиус (обозначим его буквой r) и координаты центра окруж-ти(х₀; у₀). Пусть некоторая точка М с координатами (х; у) лежит на окруж-ти. Тогда, по определению окруж-ти, расстояние между С и М равно радиусу r:

Но расстояние между точками М и С может быть вычислено по формуле

Если же точка М НЕ лежит на окруж-ти, то длина отрезка МС не будет равна r, и потому координаты М не будут удовлетворять уравнению (1). Получается, что (1) как раз и является уравнением окруж-ти.

Задание. Составьте уравнение окружности, имеющей радиус 5, если ее центр находится в точке (6; 7), и проверьте, лежат на ней точки H(2; 10)и Р(3; 8).

Решение. Сначала запишем уравнение окруж-ти в общем виде

Это и есть уравнение окруж-ти. При желании можно раскрыть скобки в правой части, но делать это необязательно. Теперь будем подставлять в полученное уравнение координаты точек Н и Р:

Проверка показала, что Н находится на окруж-ти, а Р – нет.

Задание. Начертите окружность, заданную уравнением

Именно эти значения и являются параметрами окруж-ти, которые нужны нам для ее построения. Ее центр находится в точке (х₀; у₀), то есть в (1; – 2), радиус равен r, то есть 2. В итоге выглядеть она будет так:

Особый случай представляет окруж-ть, центр которой находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). В этом случае параметры x₀ и y₀ окруж-ти равны нулю, и уравнение

Например, окруж-ть с радиусом 4, если ее центр совпадает с началом координат, описывается уравнением:

Если при подстановке координат точки в уравнение получилось неверное равенство, то возможны два случая: либо точка находится внутри окруж-ти, либо она находится вне нее. Заметим, что в уравнении окруж-ти

левая часть представляет собой квадрат расстояния между точкой (х; у) и центром окруж-ти (х₀; у₀). Если оно больше квадрата радиуса, то точка находится вне окруж-ти, а если меньше – то внутри нее.

Задание. Определите для точек M(3; 4), N(2; 3), F(4; 4), лежат ли они на окруж-ти

внутри нее или за пределами окруж-ти.

Решение.Снова подставляем координаты точек в уравнение окруж-ти:

Это ошибочное равенство, ведь в реальности левая часть больше:

Это значит, что F(4; 4) лежит вне окруж-ти. Убедиться в правильности сделанных выводов можно, построив заданную окруж-ть и отметив точки M, N и F:

Рассмотрим несколько более сложных задач по данной теме.

Задание.Запишите уравнение окружности с центром С(– 4; 2), и окруж-ть проходит через точку А(0; 5).

Решение. В данном случае радиус окруж-ти явно не указан, и его надо найти. Подставим в уравнение окруж-ти известные нам данные:

Задание. Даны точки К (– 2; 6) и М (2; 0). Запишите уравнение окруж-ти, в которой КМ будет являться диаметром.

Решение. Для составления уравнения нужно знать радиус окруж-ти и координаты ее центра. Обозначим центр буквой С. Ясно, что центр окруж-ти делит любой ее диаметр пополам, на два одинаковых радиуса, то есть является серединой диаметра. То есть С – середина КМ, а потому для поиска координат С используем формулы:

Итак, координаты центра теперь известны, это (0; 3). Чтобы найти радиус, поступим также, как и в предыдущей задаче – подставим координаты точек С и, например, К, в уравнение окруж-ти

Обратите внимание, что нам необязательно вычислять радиус, ведь для уравнении окруж-ти нужна его величина, возведенная в квадрат, и мы ее нашли. Теперь можем записать уравнение окончательно

Задание. Дано уравнение окружности

(x — 2) 2 + (y — 4) 2 = 9

Найдите точки этой окруж-ти, абсцисса которых равна 2.

Решение. Напомним, что абсцисса – это координат х точки. Она нам уже известна, х = 2. Остается только найти ординату, то есть координату у. Для этого подставим известное нам значение абсциссы в уравнение и решим его:

Обратите внимание, что у квадратного уравнения нашлось сразу 2 корня, они соответствуют двум точкам, (2; 1) и (2; 7).

Ответ: (2; 1) и (2; 7).

Задание. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки D(3; 8), L(6; 7) и K(7; 0).

Решение. Эта задача сложнее предыдущих и потребует громоздких вычислений. Нам надо найти радиус окруж-ти r и ее центр (х₀; у₀). Запишем для точки D(3; 8) уравнение окруж-ти:

Далее раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (это необходимо для упрощения дальнейших расчетов):

В итоге нам удалось составить три уравнения, которые содержат три переменные: r, х₀ и у₀.Вместе они образуют систему уравнений, которую можно попробовать решить:

Далее можно, например, вычесть из (2) уравнение (3):

Нам удалось найти одно из интересующих нас чисел, у₀. С помощью (5) легко найдем и х₀:

x₀ = 7y₀ — 18 = 7*3 — 18 = 21 — 18 = 3

Итак, центр окруж-ти находится в точке (3; 3). Осталось найти радиус окруж-ти. Для этого подставим в уравнение окруж-ти вычисленные нами координаты центра, а также координаты одной из точек из условия, например, K(7; 0):

Радиус окруж-ти равен 5. Теперь мы можем окончательно записать уравнение окруж-ти

Чтобы убедиться в правильности найденного решения, можно подставить в полученное уравнение координаты трех точек из условия и посмотреть, обращают ли они его в верное равенство. Вместо этого мы для наглядности просто построим в координатной плоскости получившуюся окруж-ть и отметим на ней точки из условия:

Ответ: (х – 3) 2 + (у – 3) 2 = 25

Уравнение прямой

Пусть на координатной плоскости построена произвольная прямая m. Для составления его уравнения отметим две точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) так, чтобы прямая m оказалась серединным перпендикуляром для отрезка АВ:

Тогда, согласно свойству серединного перпендикуляра,про любую точку М(х; у), лежащую на m, можно сказать, что она равноудалена от А и В, и наоборот, любая точка, НЕ лежащая на m, НЕ равноудалена от А и В. Это означает, что для точки M, если она лежит на m, должно выполняться равенство:

Квадратные корни равны, если одинаковы их подкоренные выражения, поэтому

Заметим, что так как точки А и В – различные, то хотя бы одна из разностей (2х₂ – 2х₁) и (2у₂ – 2у₁) будет не равна нулю, поэтому в (2) хотя бы один их коэффициентов а и b точно ненулевой. Это означает, что уравнение (2) является уравнением первой степени. Заметим, что (2) называют общим уравнением прямой, так как оно описывает любую прямую на плоскости. При более глубоком изучении геометрии вы познакомитесь с множеством других видов уравнений прямой (нормальным, каноническим, тангенциальным, параметрическим и т. п.).

В последнем примере коэффициент с равен нулю, поэтому его просто не записали.

Заметим важный аспект – одна и та же прямая может описываться различными уравнениями вида (2). Например, пусть уравнение прямой выглядит так:

Это уравнение равносильно предыдущему, хотя у них и различны коэффициенты а, b и c. Это значит, что однозначно определить эти коэффициенты при решении задач в большинстве случаев невозможно. Поэтому удобней рассмотреть два отдельных случая.

1) Если коэффициент b в уравнении прямой (2) не равен нулю, то его можно привести к виду:

Из курса алгебры мы помним, что ее графиком как раз является прямая. В большинстве случаев уравнение прямой удобно записывать именно в таком виде. Напомним, что число k называется угловым коэффициентом прямой.Поэтому (3) так и называют – уравнением прямой с угловым коэффициентом. В качестве примера подобных уравнений можно привести:

Каждое из них описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу.

Задание. Прямая задана уравнением

Постройте ее на координатной плоскости

Решение. Для построения прямой надо всего лишь найти две различные точки, лежащие на ней, и соединить их. Мы будем брать произвольные значения координаты х, подставлять их в уравнение и находить соответствующее им значение координаты у. Подставим х = 1:

Получили другую точку (– 1; – 1). Осталось отметить эти две точки на и соединить их:

Задание. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D(1; 10) и Е(– 1; – 4).

Решение. Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 – универсальный и более сложный.

В общем виде уравнение прямой выглядит так:

Нам надо найти коэффициенты а, b и c. Для этого просто подставляем координаты известных точек в уравнение. Начнем с координат D:

Нам удалось выразить коэффициента двумя различными выражениями (1) и (2). Так как в них одинаковы левые части, то можно приравнять и правые части:

Мы можем взять любое значение коэффициента с (кроме нуля), и при этом получатся различные, но равносильные друг другу уравнения. Удобно взять с = 3, тогда в уравнении исчезнут дроби:

Это и есть ответ задания.

Далее рассмотрим более простой способ, который, однако, может потребовать анализа различных вариантов.

Уравнение прямой может иметь либо вид

если прямая является графиком линейной функции, либо вид

если прямая параллельна оси Оу. Во втором случае у всех точек прямой абсцисса должна быть одинакова, однако у точек D(1; 10) и Е(– 1; – 4) она различна, поэтому ее точно можно описать уравнением

Надо найти коэффициенты k и d. Подставим в уравнение координаты D(1; 10):

Итак, уравнение можно записать так:

Задание. Запишите уравнение прямой, если ей принадлежат точки:

Подставим сюда уже известное нам значение d:

В (1) и (2) мы выразили d с помощью разных выражений, которые теперь можно приравнять:

То, что коэффициент k оказался нулевым, означает, что прямая параллельна оси Ох.

в) Попытаемся сделать те же действия, что и в двух предыдущих примерах, подставляя точки в уравнение у = kx + d:

На этот раз мы не смогли найти коэффициент k, а вместо этого получили ошибочное равенство. То есть уравнение просто не имеет решений. Что же это значит? Из этого факта следует, что в этом примере уравнение прямой НЕ может иметь вид

Значит, оно имеет другой вид:

Действительно, у обеих точек (2; 7) и (2; 8) одинаковы абсциссы. Это значит, что прямая, проходящая через них, вертикальная. Коэффициент С как раз равен значению этой абсциссы, так что уравнение выглядит так:

Ответ а) у = 1,5х + 3; б) у = 8; в) х = 2.

Задание. Найдите площадь треугольника MON, изображенного на рисунке, если известно, что M и N лежат на прямой, задаваемой уравнением:

Решение. ∆MON – прямоугольный, и для вычисления его площади нужно найти длины OM и ON. По рисунку видно, что М лежит на оси Ох, то есть у неё ордината нулевая:

Зная это, легко найдем и абсциссу М, ведь координаты М при их подстановке в уравнение прямой должны давать верное равенство:

Далее рассмотрим точку N. Она уже лежит на Оу, а потому у нее нулевой оказывается абсцисса:

Напомним, что площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле:

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

Получили в итоге пары точек (3; 8) и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; 8) и (6; 7).

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

Нам надо найти коэффициенты k и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны k и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти. В этой задаче k и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.