Отбор корней в тригонометрическом уравнение
В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.
а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]
Решим пункт а.
Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)
sqrt(2)cos^2x — cosx = 0
cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0
x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z
sqrt(2)cosx — 1 = 0
x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
Решим пункт б.
1) Отбор корней с помощью неравенств
Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.
-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi
Сразу делим все на Pi
-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2
-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2
-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2
Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2
Аналогично делаем еще два неравенства
-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8
Целых n в этом промежутке нет
-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8
Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.
Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4
2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности
Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.
Обойдем раз против часовой стрелки
Обойдем 2 раза против часовой стрелки
Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)
Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]
Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.
Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.
Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.
Сравнение двух методов.
Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.
Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств
п.1. Количество корней кубического уравнения
Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. \begin
Если две точки экстремума найдены, но \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.
Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:
1) \(x^3+3x^2-4=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 (c=0) \) \(f(x)=x^3+3x^2-4 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-4,\ f(x_2)=0 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\Rightarrow\) два корня | 2) \(x^3+3x^2-1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 \) \(f(x)=x^3+3x^2-1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-1,\ f(x_2)=3 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\Rightarrow\) три корня |
3) \(x^3+3x^2+1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0\) \(f(x)=x^3+3x^2+1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=1,\ f(x_2)=5 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\gt 0\Rightarrow\) один корень | 4) \(x^3+x^2+x+3=0\) \(b^2-3ac=1-3\lt 0 \) Один корень |
п.2. Количество корней произвольного уравнения
Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.
Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac<1>
1) ОДЗ: \(x\ne\left\<0;1;3\right\>\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные \(x=0, x=1, x=3\) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: \begin
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: \(k=0\), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-\frac<1>
Функция убывает.
5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.
6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)
7) График
Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.
Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k\lt 0\) — три корня
При \(k=0\) — два корня
При \(k\gt 0\) — три корня
Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.
Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt
Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt
ОДЗ: \( \begin
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt<8>=2\sqrt<2>,\ f(5)=\sqrt<4>+0=2\)
Первая производная: \begin
\(x\) | 1 | (1; 7/3) | 7/3 | (7/3; 5) | 5 |
\(f'(x)\) | ∅ | + | 0 | — | ∅ |
\(f(x)\) | \(2\sqrt<2>\) | \(\nearrow \) | max \(2\sqrt<3>\) | \(\searrow \) | 2 |
Можем строить график:
\(y=a\) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:
$$ a\lt 2 $$ | нет решений |
$$ 2\leq a\lt 2\sqrt <2>$$ | 1 решение |
$$ 2\sqrt<2>\leq a\lt 2\sqrt <3>$$ | 2 решения |
$$ a=2\sqrt <3>$$ | 1 решение |
$$ a\gt 2\sqrt <3>$$ | нет решений |
По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt<3>\).
п.3. Решение неравенств с построением графиков
Пример 4. Решите неравенство \(\frac<2+\log_3 x>
Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)
Получаем совокупность: \begin
Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: \begin
Первая производная: $$ f'(x)=\left(1-\frac<3><2x-1>\right)’=\frac<3><(2x-1)^2>\gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-\frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/primenenie-proizvodnoj-dlya-resheniya-nelinejnyh-uravnenij-i-neravenstv/