Как определить графически сколько решений имеет уравнение

Графический метод решения системы линейных уравнений

Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений: $ <\left\< \begin 3x-y = 5 \\ 3x+2y = 8\end \right.>$

Построим график каждого из уравнений и найдём точку пересечения.

Точка пересечения (2;1)

Подставим координаты точки пересечения в уравнение:

$ <\left\< \begin3 \cdot 2-1 ≡ 5\\ 3\cdot2+2\cdot1 ≡ 8\end \right.> \Rightarrow$ (2;1) — решение системы

Таким образом, точка пересечения графиков уравнений является решением системы.

Графики двух уравнений системы могут пересекаться, быть параллельными и совпадать. Получаем разное количество решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов уравнений:

Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

• открыть совместно с учащимися новый способ решения систем уравнений;
• вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;
• уметь определять сколько решений имеет система уравнений;
• учить находить решения системы уравнений графическим способом;
• повторить построение графиков элементарных функций;
• создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:

• воспитание ответственного отношения к труду,
• аккуратности ведения записей.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Повторение. Подготовка к изучению нового материала. (Приложение 1)

1. Что такое функция? (слайд 3-11)
2. Что называется графиком функции?
3. Какие виды функций вы знаете?
4. Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
5. Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?
6. Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?
7. Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?
8. Каким уравнением задается уравнение окружности?
9. Что называют уравнением с двумя переменными; (слайд 12)
10. Выразите переменную у через переменную х:
    а) у – х² = 0
    б) х + у +2 = 0
    в) 2х – у + 3 = 0
    г) ху = -12
11. Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
    а) х² +у = 1;
    б) ху +3 = х;
    в) у(х +2) = 0.
12. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?
13. Какая из пар чисел является решением системы уравнений
    а) (6; 3)
    б) (- 3; — 6)
    в) (2; — 1)
    г) (3; 0)

III. Изучение нового материала. (слайд 16, 17)

Сегодня мы разберем один из способов решения систем уравнений. Изучение нового материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.

Вопросы по данному слайду:

• Что является графиком уравнения x² +y²=25?
• Что является графиком уравнения y = —x² +2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = — x² +2x +5.

• Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?
• Сколько точек пересечения у данных графиков?
• Сколько решений имеет данная система?
• Назвать эти решения?
• Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

IV. Первичное осмысление и применение изученного способа решения систем уравнений.

1. Решить графически систему уравнений (слайд 18)

Постановка наводящих вопросов:

• Что является графиком уравнения ху = 3?
• Что является графиком уравнения 3х – у =0?
• Сколько точек пересечения имеют данные графики?
• Сколько решений имеет данная система уравнений?
• Назвать решения данной системы уравнений?

2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 19)

Постановка наводящих вопросов:

• Запишите систему, определяемую данными уравнениями?
• Сколько точек пересечения имеют данные графики?
• Сколько решений имеет данная система уравнений?
• Назвать решения данной системы уравнений?

3. Выполнение задание из ГИА (слайд 20).

4. Решить графически систему уравнений (слайд 21)

а) б)

Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.

5. Тест. (Приложение 2)

Графический метод. Описание, примеры решения уравнений

Эта статья посвящена одному из направлений функционально-графического метода решения уравнений, а именно, графическому методу. Сначала дано описание графического метода: раскрыта его суть, сказано, на чем базируется метод, приведено его обоснование, обговорены особенности метода, связанные с точностью. Дальше идет практическая часть: записан алгоритм решения уравнений графическим методом и показаны решения характерных примеров.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Графический метод решения уравнений состоит в использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения с их помощью решения уравнения. Базируется он на следующем утверждении:

Решение уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Обоснованием этого утверждения займемся в следующем пункте. А сейчас выудим из него полезные сведения.

Основное из них таково: по количеству точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) можно судить о количестве корней уравнения f(x)=g(x) , а по абсциссам точек пересечения можно судить о корнях этого уравнения. Проиллюстрируем сказанное.

Взглянем на чертеж, на котором изображены графики функций и .

Очевидно, в видимой области графики изображенных функций не имеют точек пересечения. За пределами видимой области графики тоже не имеют точек пересечения. Это мы можем утверждать в силу известного нам поведения графиков степенных функций и линейных функций. Отсутствие точек пересечения позволяет нам сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

Другой пример. На следующем рисунке изображены графики функций и .

Сколько точек пересечения мы видим? Две. Известное поведение графиков показательных функций и линейных функций позволяет утверждать, что за пределами видимой области точек пересечения нет. Значит, графики функций и пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня. А каковы значения этих корней? Для ответа на этот вопрос определяем абсциссы точек пересечения графиков. По рисунку находим, что абсциссы точек пересечения есть −2 и 1 . Через проверку подстановкой убеждаемся, что это действительно корни уравнения :

Здесь стоит заметить, что к проверке подстановкой мы обратились не случайно. Дело в том, что найденные по графикам значения корней можно считать лишь приближенными до проведения проверки. Подробнее об этом мы поговорим в одном из следующих пунктов этой статьи, раскрывающем особенности графического метода.

Обоснование метода

Докажем, что множество решений уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Для этого достаточно показать, во-первых, что если x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) , то x₀ – это абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , и, во-вторых, если x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , то x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Приступаем к доказательству.

Пусть x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Тогда f(x₀)=g(x₀) – верное числовое равенство. Это равенство можно трактовать так: значения функции y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ совпадают. А из этого следует, что x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Это означает, что значения функций y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ равны, значит, f(x₀)=g(x₀) . А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) .

Так доказана вторая часть.

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

Другая особенность касается получаемых по графикам результатов. Полученные по графикам результаты можно считать лишь приближенными. Дело здесь в том, что сами по себе графики функций — вещь не совсем точная (но при этом очень наглядная и во многих отношениях удобная), особенно если говорить о графиках, построенных от руки. Это следует из принципов, которыми мы руководствуемся при построении графиков функций. Что мы делаем для построения графика функции в общем случае? Проводим исследование функции, чтобы получить ряд «опорных» точек, таких как граничные точки области определения, максимумы-минимумы, точки перегиба, и понять поведение функции на всех интервалах ее области определения. После этого определяем несколько контрольных точек. Дальше переносим все определенные в ходе исследования точки на координатную плоскость и, сейчас внимание, соединяем их плавной линией в соответствии с выясненным в ходе исследования поведением функции. Эта «плавная линия» и есть график функции. О какой точности можно здесь говорить? Понятно, что она определяется точностью нашего построения.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x 2 +6·x−5 .

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1 , 2 и 2,7 . Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

Алгоритм решения уравнений графическим методом

Анализ приведенной выше информации позволяет записать алгоритм решения уравнений графическим методом. Чтобы решить уравнение графически, надо:

• Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
• По чертежу определить все точки пересечения графиков:
  • если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
  • если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.
• По чертежу определить абсциссы всех точек пересечения графиков – это приближенные значения всех корней исходного уравнения.
• Если есть основания полагать, что некоторые или все определенные на предыдущем шаге значения являются точными значениями корней решаемого уравнения, то осуществить их проверку, например, подстановкой.

Дадим краткий комментарий к последнему шага алгоритма. Иногда определенные по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения является точными корнями уравнения, сначала нужно осуществить проверку этих значений, например, проверку подстановкой.

Решение примеров

Графический метод решения уравнений начинает входить в арсенал изучающих математику в 7 классе сразу же после знакомства с координатной плоскостью и самой первой функцией – линейной функцией y=k·x+b . Именно тогда мы сталкиваемся с заданиями, наподобие следующего: с помощью графика линейной функции y=2·x−6 определить, при каком значении x будет y=0 [1, с. 50-51]. Для ответа на поставленный вопрос мы строим график указанной линейной функции y=2·x−6 .

По чертежу находим точку пересечения графика с осью Ox (ось Ox отвечает графику функции y=0 ), и определяем абсциссу точки пересечения: x=3 . По сути, мы решаем уравнение 2·x−6=0 графическим методом.

Чуть позже в 7 классе изучается функция y=x 2 . После этого опять заходит разговор о графическом методе решения уравнений, но уже более детальный, где метод уже называется своим именем и дается его алгоритм [1, с. 149-151; 2, с. 109]. Там с его помощью решаются уравнения, одной части которых отвечает функция y=x 2 , а другой – линейная функция y=k·x+b . Например, уравнение x 2 =x+1 . Для его решения строятся в одной системе координат соответствующие графики функций y=x 2 и y=x+1 :

Графики, очевидно, пересекаются в двух точках. Можно определить приближенные значения их абсцисс: .

В 8 классе изучаются новые виды функций: y=k/x , квадратичная функция y=a·x 2 +b·x+c , . И, естественно, рассматривается графический метод решения соответствующих уравнений. Особенно тщательно разбирается графическое решение квадратных уравнений. В учебнике Мордковича А. Г. приведены аж пять способов графического решения уравнения x 2 −2·x−3=0 [2, с. 127-131].

И так далее: изучаются функции , степенные функции, тригонометрические, показательные, логарифмические, …, — рассматривается решение соответствующих уравнений графическим методом. Так к концу школьного курса математики мы начинаем воспринимать графический метод решения уравнений как общий метод, позволяющий решать уравнения не только определенных видов, но и уравнения, в которых уживаются самые разнообразные функции: показательные с корнями, тригонометрические с логарифмическими и т.д. Покажем решение такого уравнения.

Решите уравнение

В заключение вспомним, что в этой статье при разговоре об особенностях графического метода решения уравнений мы обращались к иррациональному уравнению . В качестве «благодарности» этому уравнению за помощь в обретении знаний приведем ссылку на его решение графическим методом.