Как определить какая кривая задается уравнением

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Кривые линии в начертательой геометрия

Содержание:

Кривая линия — это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики. определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек.

Любую кривую линию можно рассматривать с помощью двух подходов:

а) геометрический подход – линия является упорядоченной совокупностью точек (рис. 3.1 а);

б) кинематический подход (от греческого κινεµα – движение) – линия является траекторией точки (рис. 3.1 б).

Способы задания кривых линий

Бесконечную совокупность кривых можно разделить на такие виды:

а) по математической форме записи:

1) алгебраические – кривые, которые задаются алгебраическими уравнениями в данной системе координат. Например,

2) неалгебраические – кривые, которые задаются системой параметрических уравнений (см. п. 3.1.1.2 –3.1.1.6, 3.1.2). Например: (t – переменный параметр);

б) по размещению в пространстве

1) плоские– кривые, все точки которых принадлежат плоскости;

2) пространственные – кривые, точки которых не принадлежат одной плоскости (см. п. 3.1.2).

Алгебраические кривые, в зависимости от степени уравнения, которым они описаны, подразделяются на кривые второго порядка и кривые высших порядков (см. п. 3.1.1.1.2). Алгебраические кривые удобно задавать геометрическим способом.

К плоским алгебраическим кривым второго порядка относятся линии, которые описываются таким алгебраическим уравнением:

Форма кривой зависит от соотношений коэффициентов a, b, c, d этого уравнения.

Все плоские кривые второго порядка являются контурами конических сечений – плоских сечений прямого кругового конуса (см. п. 4.2.1, табл. 4.1, рис. 4.13). Конические сечения (рис. 3.2) были известны в часы Древней Греции. Наиболее полным произведением , посвящённым этим кривым, является произведение Аполлония Пергского «Конические сечения».

Конические сечения

Существуют три основных вида конических сечений: эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, существуют их отдельные и вырожденные формы: окружность, как отдельный случай эллипса; две прямые, как крайний случай гиперболы; прямая, как крайний случай параболы; точка, как крайний случай окружности.

Эллипс (от греческого έλλειψις – недостаток) – геометрическое место точек М плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 (фокусов) является постоянной(рис. 3.3 а). Эллипс является контуром сечения конуса плоскостью, не параллельной его оси и образующей линии ,а также, не перпендикулярной его оси (рис. 3.2).

Плоские алгебраические кривые второго порядка

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые пересекаются в его центре О. В случае, когда большая и меньшая полуоси а, b Эллипса одинаковы ,эллипс вырождается в окружность. Эллипсом является прямоугольная, косоугольная, аксонометрическая проекции окружности, которая принадлежит плоскости общего положения (см. рис. 4.14; пп. 6.2 – 6.3, рис. 6.5 а – в, рис. 6.9 а – в).

Аполлоний Пергский (‘Aπολλώνιος ό Περγαϊος) – математик Древней Греции, один из трёх (наряду с Эвклидом и Архимедом) великих геометров античности. В произведении «Конические сечения» ввёл понятия «эллипс», «гипербола», «парабола». Один из исследователей неравномерного движения планет.

Гипербола (от греческого ύπερβολή – избыток) – геометрическое место точек М плоскости, разность расстояний от которых до двух заданных фокусов F1, F2 постоянно (рис. 3.3 б). Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии х, у, которые пересекаются в точке, равноудаленной от его фокусов F1, F2. Гипербола имеет две ветви, сбоку каждой из которых есть фокус. Гипербола является контуром сечения конуса плоскостью параллельной его оси.

Парабола (от греческого παραβολή – дополнение) – геометрическое место точек М, равноудаленных от его фокуса F и прямой d – директрисы (рис. 3.3 в). Парабола имеет одну ось симметрии, которая проходит через фокус F перпендикулярно директрисе d. Парабола является контуром сечения конуса плоскостью, параллельной его образующей линии (см. п. 4.2.1, рис. 4.15).

С кинематической точки зрения плоские кривые второго порядка являются возможными траекториями космических тел. Например, по первому закону Кеплера все планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, одним из фокусов которых является Солнце.

Плоские алгебраические кривые строят как лекальные кривые – линии, построенные с помощью специального чертёжного инструмента – лекала.

Для построения эллипса строятся две концентрические окружности с радиусами, которые равны полуосям a, b эллипса. Деление окружностей на равное количество N частей (как правило, N = 12) позволяет определить вспомогательные точки Искомые точки 1, 2, …, N эллипса являются точками пересечения вспомогательных горизонтальных и вертикальных линий, проведенных из соответствующих вспомогательных точек (рис. 3.4 а).

Построение эллипса (а) и гиперболы (б)

Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) – немецкий математик, астроном, оптик. Один из основоположников современной астрономии. Открыл законы движения планет, базируясь на многочисленных наблюдениях датского ученого астронома Тихо Браге.

Для построения гиперболы выбираются две точки О, А (рис. 3.4 б). Из точки А проводятся два взаимно перпендикулярных луча l, m под углом 45° к горизонту. Из точки О строятся лучи k1, k2, … и определяются точки их пересечения с лучами l, m. Из полученных точек проводятся линии, параллельные l, m, до пересечения. Точки пересечения 1, 2, … принадлежать гиперболе. Они симметрично отображаются относительно горизонтальной оси. Искомая гипербола проходит через точки …, 2, 1, А, 1, 2, …

Для построения параболы (рис. 3.5) посередине между заданным фокусом F и директрисой d строится точка О пересечения параболы. Строится множество концентрических окружностей (с центром в фокусе F, радиусами …) и множество параллельных директрисе d прямых, удаленных от неё на расстояния … Точки 1, 2, … параболы являются точками пересечения построенных параллельных прямых с соответствующими концентрическими окружностями. Парабола строится по точкам …, 2, 1, О, 1, 2, …

Существуют и другие способы построения эллипса, гиперболы и параболы. Способами компьютерной техники плоские кривые строятся с помощью процедур интерполяции, в том числе с помощью кривой Бернштейна-Безье, числовых интерполяций и т.д.

Построение параболы

Кривые высших порядков

К плоским алгебраическим кривым высших порядков принадлежат линии, которые описываются алгебраическими уравнениями третьего и высшего порядков. Существует бесконечное количество таких кривых. Однако, для их изучения достаточно рассмотреть только основные виды.

Кубическая парабола – плоская кривая третьего порядка, которая описывается уравнением (рис. 3.6 а).

Парабола Нейла – плоская кривая третьего порядка, которая описывается уравнением (рис. 3.6 б). Она является траекторией точки, которая за равные промежутки времени опускается на одинаковые вертикальные отрезки. Эту кривую исследовал Вильям Нейл (1637 – 1670) – английский математик, астроном, член Королевского общества. Он решил задачу по определению длины дуги этой кривой.

Кубическая парабола (а) и парабола Нейла (б)

Лист Декарта – плоская кривая третьего порядка, для которой сумма объёмов кубов, построенных на координатах х, у, равна объёму прямоугольного параллелепипеда со сторонами х, у, а (рис. 3.7) . Эта кривая названа в честь Рене Декарта, который отправил письмо Пьеру Ферма со сформулированной задачей на объёмы обозначенных тел.

Локон Аньези – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.8). Строится окружность диаметром ОС. Из точки О проводятся отрезки , …, концы которых находятся на линии а, перпендикулярной диаметру ОС. Находятся точки В1, В2, … пересечения отрезков … с окружностью. Точки 1, 2, … кривой являются точками пересечения горизонтальных и вертикальных линий, проведенных из точек А1, А2, …, В1, В2, …

Лист Декарта Локон Аньези

Циссоида Диокла (от греческого χισσος – плющ) – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.9). Из точки О окружности диаметром ОС проводятся отрезки ОА1, ОА2, …, концы которых находятся на линии а, перпендикулярной ОС. Находятся точки В1, В2, … пересечения этих отрезков с окружностью. Из точек А1, А2, … откладываются отрезки …, длины которых равны длинам отрезков ОВ1, ОВ2, … По точкам …, 2, 1, О, 1, 2, … строится искомая линия.

Впервые циссоида была исследована Диоклом (246 до н. э –180 до н. э.) – математиком Древней Греции часов Аполлония Пергского. В его произведении «О зажигательных зеркалах» с помощью этой кривой решены задачи по удвоению объёма куба и по построению пропорциональных отрезков.

Циссоида Диокла

Строфоида (от греческого στροφή – оборот) – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.10). Из точки С оси у проводятся лучи СА1, СА2, … Точки А1, А2, … принадлежат оси х. На построенных лучах по обе стороны от точек А1, А2, …откладываются отрезки … и , … с длинами, равными длинам , … Искомая линия проходит через точки

Исследованиями строфоиды занимался Ж. Роберваль в 1645 г. Первым названием строфоиды была птероида (от греческого πτερος – крыло). Линия получила нынешнее название в 1849 г.

Строфоида

Рене Декарт (René Descartes) – французский философ, физик, математик, физиолог. Создал аналитическую геометрию и ввёл современную алгебраическую символику. Автор философского метода радикального сомнения. Основатель механицизма в физике. Основал рефлексологию.

Мария Гаэтана Аньези (Maria Gaetana Agnesi) – итальянский математик, профессор Болонского университета. Автор трудов по дифференциальному исчислению и аналитической геометрии. Автор работы «Основы анализа для итальянского юношества ».

Овал Кассини – геометрическое место точек М плоскости, произведение а расстояний от которых до двух заданных фокусов F1, F2 является постоянным (рис. 3.11).

Для лемнискаты Бернулли произведение а в четыре раза меньше квадрата расстояния F1F2 между фокусами.

Овалы Кассини

Жиль Роберваль (Персонье) (Gilles Personne de Roberval) – выдающийся французский математик, физик, астроном, член Парижской академии наук. Занимался проблемами бесконечно малых величин. Изобрёл оригинальные способы определения объёмов тел. Автор кинематического способа построения касательной к кривой линии. Внёс значительный вклад в теорию тригонометрических функций.

Джованни Доменико Кассини (Giovanni Domenico Cassini) – итальянский и французский астроном, инженер. Автор теории атмосферной рефракции. Открыл четыре спутника Сатурна, Автор большой карты Луны. Определил расстояние от Земли до Марса. Ошибочно считал, что орбитами планет являются построенные им овалы.

Кривая Персея – плоская кривая четвертого порядка, которая является линией пересечения открытого тора (см. п. 4.2.1, табл. 4.1, рис. 4.13) плоскостью Σ, параллельной его оси (рис. 3.12). Эта линия названа в честь древнегреческого геометра Персея (ІІ ст. до н. э.), который провёл исследования разных способов задания кривых линий.

Плоские алгебраические кривые четвёртого порядка

Частным случаем кривой Персея является лемниската Бута, названная в честь английского математика Джеймса Бута. Эта линия образуется, когда секущая плоскость Σ является касательной к внутренней образующей линии тора (см. п. 4.2.1, рис. 4.16).

Конхоида Никомеда (от греческого κωνχος – раковина, εϊδος – вид) – линия, которая образуется изменением (увеличением или уменьшением ) на постоянную величину а расстояний от начала отсчёта О до каждой точки М прямой l (рис. 3.13).

Конхоида Никомеда Улитка Паскаля

Конхоида Никомеда является плоской кривой четвертого порядка и названа в честь древнегреческого математика, который жил в ІІІ ст. до н. э. и занимался проблемой квадратуры окружности и трисекции угла.

Якоб Бернулли (Jacob Bernoulli) – швейцарский математик, профессор Базельского университета. Внёс значительный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождения вариационного исчисления. Значительных достижений добился в теории чисел и рядов, теории вероятностей. Автор термина «интеграл». Заложил основы изучения лемнискат.

Улитка Паскаля – линия, которая образуется изменением (увеличением или уменьшением) на постоянную величину а расстояние от начала отсчёта О до каждой точки М окружности.

Эта линия посвящена Этьену Паскалю (1623 – 1662) – королевскому чиновнику, отцу выдающегося ученого Блэза Паскаля.

На рис. 3.14 построена улитка Паскаля для случая, когда начало отсчёта О удалено от окружности на величину радиуса. Значение а равно радиусу окружности.

Овал Декарта – геометрическое место точек плоскости, расстояния MF1, MF2 от каждой точки М которой до двух фокусов F1, F2 связаны линейным соотношением = с (рис. 3.15), где a, b, c –постоянные параметры.

Овал Декарта не является овалом по определению (см. п. 3.1.1.7, рис. 3.38 а), а является кривой четвертого порядка. При определённых значениях а, b, с он вырождается в эллипс или окружность, гиперболу, параболу, улитку Паскаля.

Тригонометрические кривые

К тригонометрическим кривым относятся плоские кривые линии, которые описываются тригонометрическими уравнениями у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, или уравнениями на их основе. Поскольку все тригонометрические функции можно выразить через функцию, например, синуса, рассмотрим только синусоиду.

Синусоида – траектория точки М, которая равномерно движется по окружности радиусом а, которое скользит без качения по плоской поверхности.

Для построения синусоиды (рис. 3.16) строится окружность радиусом а. Последняя делится на равное количество N частей (как правило, N = 12). Из крайней правой точки 1 окружности строится горизонтальный отрезок длина которого равна длине окружности 2πа. Отрезок делится на N равных частей. Из точек 1, 2, …, N окружности и отрезка проводятся вертикальные и горизонтальные линии до их взаимного пересечения. Точки 1, 2, … пересечения этих линий является точками искомой синусоиды.

Синусоида

Первые исследования синусоиды начались в Древней Индии. Сначала эта кривая называлась «арха-джива», что означает «полу тетива». Позже слово трансформировалось в «джайб» – «впадина». Европейский термин «sinus» был основан австрийским математиком Георгом фон Пойербахом (1423 – 1461), который составил таблицу значений этой функции. Значительный вклад в развитие тригонометрических функций внёс выдающийся французский математик Ж. Роберваль. Он впервые в 1634 г. построил синусоиду.

Циклоидальные кривые

К классу циклоидальных кривых принадлежат траектории точки окружности, которая движется по неподвижной поверхности без скольжения.

Циклоида (от греческого κυκλοειδής – круглый) – траектория точки окружности, которая катится по прямой без скольжения.

Для построения циклоиды (рис. 3.17) окружность заданного радиуса а делится на N равных частей (например, N = 12). Эта окружность равномерно дублируется N раз (с шагом 2πа/N) в направлении луча, который выходит из центра О окружности. Из точек … окружности проводятся горизонтальные лучи до пересечения с построенными окружностями. В результате по полученным точкам 1, 2, … строится циклоида.

Циклоида

Первым названием циклоиды была «рулета». Термин «циклоида» ввёл Галилео Галилей, современники которого изучали эту кривую. Доказательные исследования циклоиды принадлежат Я. Бернулли.

Перевернутая циклоида называется брахистохроной – кривой скорейшего спуска материальной точки.

Х. Гюйгенс открыл свойство точки сохранять период собственных колебаний во время движения по перевернутой циклоиде. Это свойство было использовано им при создании точных часов.

Галилео Галилей (Galileo Galilei) – итальянский физик, механик, астроном, философ, математик, который сделал значительный вклад в науку своего времени. Он впервые использовал телескоп для исследования небесных тел и совершил многочисленные астрономические открытия. Галилей является основателем экспериментальной физики. Своими экспериментами он «уничтожил» метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики.

Христиан Гюйгенс (Chrisiaan Huygens) – нидерландский физик, механик, математик, астроном, изобретатель, президент Парижской академии наук. Изобрёл маятниковый механизм, а также точные карманные часы. Открыл кольца Сатурна и один из его спутников. Открыл теорию эвольвент и эволют. Заложил основы теории вероятностей. Его «Книга мирозрения» является первой переведенной на Руси книгой, где изложена гелиоцентрическая теория Коперника.

Эпициклоида (от греческого έπί – над, κυκλος – окружность) – траектория точки окружности радиусом r, которая катится по внешней стороне окружности радиусом R без скольжения. Существует бесконечное количество эпициклоид, форма которых зависит от соотношения а = R/r радиусов окружностей. При а = 1 эпициклоида называется кардиоидой (от греческого καρδιοειδές – сердцеобразный). На рис. 3.18 а построена кардиоида. Окружность заданного радиуса катится по центральной окружности такого же радиуса. Качение условно моделируется двенадцатью положениями окружности. С помощью вспомогательных точек и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 12 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 12 строится кардиоида.

Эпициклоиды

Первые упоминания про кардиоиду встречаются в труде французского ученого Луи Карре (1705 р.). Название этой линии в 1741 г. дал итальянский ученый Джованни Кастиллоне. Кардиоида, кроме того, что принадлежит классу циклоидальных кривых, также является отдельным случаем улитки Паскаля (см. п. 3.1.1.1.2, рис. 3.14).

В случае, когда а = 2, эпициклоида называется нефроидой (от греческого νεφρόειδής – почкообразный). На рис. 3.18 б построена нефроида. Окружность заданного радиуса катиться по центральной окружности вдвое большего радиуса. Качение условно моделируется двенадцатью положениями меньшей окружности. С помощью вспомогательных точек и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 12 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 12 строится нефроида.

Гипоциклоида (от греческого γιπό – под, κυκλος – окружность) – траектория точки окружности радиусом r, которая катится по внутренней стороне окружности радиусом R без скольжения.

Среди бесконечного числа гипоциклоид, форма которых зависит от соотношения радиусов окружностей а = R/r, необходимо выделить такие. При а = 3 гипоциклоида называется кривой Штейнера, или дельтоидой (от греческого δελτοειδής – дельтообразный). На рис. 3.19 а построена дельтоида. Окружность заданного радиуса катится по внутренней стороне окружности втрое большего радиуса. Качение условно моделируется восемнадцатью положениями меньшей окружности. С помощью точек и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 18 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 18 строится кривая Штейнера (дельтоида).

Гипоциклоиды

В случае, когда а = 4, гипоциклоида называется астроидой (от греческого αστέριειδής – звёздообразный). На рис. 3.19 б построена астроида. Окружность заданного радиуса катится по внутренней стороне окружности вчетверо большего радиуса. Качение условно моделируется двадцатью четырьмя положениями меньшей окружности. С помощью вспомогательных точек и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 24 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 24 строится астроида.

Линии класса циклоид являются одними из наиболее распространённых кривых в машиностроении, поскольку являются траекториями точек деталей механизмов и машин. Например, точки автомобильных колёс движутся по циклоидальным и трохоидальным траекториям; точки сцепления зубчатых колёс планетарных и дифференциальных передач движутся по эпи- и гипоциклическим траекториям.

Трохоида (от греческого τροχοειδής – колесообразный) – траектория непериферической точки окружности, которая катится по прямой без скольжения.

Для построения трохоиды (рис. 3.20) окружность заданного радиуса r делится на N равных частей (например, N = 12). Эта окружность вместе с окружностью радиусом R равномерно (с шагом 2πа/N) дублируется N раз в направлении луча, который выходит из центра О. Из точек … окружности радиусом r проводятся лучи до пересечения с построенными окружностями. В результате по полученным точкам 1, 2, … строится трохоида

На практике трохоида используется в электровакуумных приборах для перемещения электронов. Трохоидальное сцепление используется в шестеренных гидромашинах.

Якоб Штейнер (Jacob Steiner) – швейцарский математик, член Берлинской академии наук. Основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей.

Трохоида

Эпитрохоида (от греческого έπί – над, τροχος – колесо) – траектория непериферической точки круга радиусом r, который катится по внешней стороне окружности радиусом R без скольжения.

На рис. 3.21 а показан простейший вид эпитрохоиды. Для её построения круг заданного радиуса катится по центральной окружности того же радиуса. Качение условно моделируется восемью положениями круга. Кругу принадлежит точка, которая находится на половине радиуса от его центра. С помощью вспомогательных точек …, 8 и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 8 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 8 строится эпитрохоида.

Эпи- и гипотрохоида

Построенная на рис. 3.21 а эпитрохоида является улиткой Паскаля (см. п. 3.1.1.1.2, рис. 3.14). Гипотрохоида – (от греческого γιπό – под, τροχος – колесо) – траектория непериферической точки круга радиусом r, который катится по внутренней стороне окружности радиусом R без проскальзывания.

На рис. 3.21 б показан простейший вид гипотрохоиды. Для её построения круг заданного радиуса катится по внутренней поверхности окружности вдвое большего радиуса. Качение условно моделируется восемью положениями круга. Кругу принадлежит точка, которая находится на половине радиуса от его центра. С помощью вспомогательных точек , …, и дуг окружностей, выходящих из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 8 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 8 строится гипотрохоида.

Построенная на рис. 3.21 б гипотрохоида является эллипсом (см. п. 3.1.1.1.1, рис. 3.4 а).

Спиральные кривые

Любая спиральная кривая (от латинского spira – изгиб) является траекторией точки, движущейся по прямой, которая вращается вокруг неподвижного центра. Среди большого количества спиральных кривых необходимо выделить такие.

Спираль Архимеда – траектория точки, равномерно движущейся по прямой, равномерно вращающейся вокруг неподвижной точки.

Для построения спирали Архимеда (рис. 3.22) окружность заданного диаметра делится на N равных частей … (как правило, N = 12). Из центра О окружности строятся N отрезков О-1, О-2, …, один из которых О-12 делится на N равных частей точками , … С помощью дуг окружностей находятся точки 1, 2, … Спираль Архимеда строится по точкам О, 1, 2, …

Спираль Архимеда

Архимед из Сиракуз (Άρχιµήδης) – древнегреческий математик, физик, механик и инженер-изобретатель. Совершил множество открытий в геометрии. Заложил основы механики и гидростатики.

Изогональная спираль (от греческого ίσος – равный, γωνία – угол) – траектория точки М, неравномерно движущейся по прямой линии l, которая равномерно вращается вокруг неподвижной точки О, причём угол χ между касательной (см. п. 3.3) и радиусом-вектором r (вектором, начало которого совпадает с началом отсчёта О, конец – с данной точкой М) не изменяется (рис. 3.23).

Логарифмическая спираль

Изогональная спираль является логарифмической, поскольку угол φ между радиусом-вектором r точки М и горизонтальной осью х пропорционален натуральному логарифму от модуля r: φ = ln(r). Исследованиями логарифмической спирали занимался швейцарский математик Я. Бернулли.

Логарифмическая кривая является линией, которой могут быть описаны строение Вселенной, природные явления, живые существа и т.д. Например, на рис. 3.24 а показана галактика Водоворот; на рис. 3.24 б – зона низкого давления над Исландией; на рис. 3.24 в – раковина моллюска.

Проявления логарифмических спиралей

Клотоида (от греческого κλωθοειδής – ниткообразный) – линия, радиус кривизны которой (см. п. 3.4.2) пропорционален длине дуги (рис. 3.25).

Спираль Корню

Другое название клотоиды – спираль Корню – посвящено французскому физику, который использовал эту кривую в исследованиях дифракции света.

Клотоида используется как переходная дуга в дорожном строительстве. Форма дороги в форме клотоиды позволяет преодолевать повороты без существенного снижения скорости и с равномерным вращением руля.

Для приблизительного построения клотоиды (рис. 3.26) из точек О, 1 проводятся две окружности заданного радиуса . Проводится окружность радиусом 2а, касательная к отрезку О1 (в точке 1) с центром в точке Из точки 1 строится окружность радиусом а до пересечения с окружностью радиусом 2а. Проводится окружность радиусом 3а, касательная к отрезку 1 – 2 (в точке 2) с центром в точке . Из точки 2 строится окружность радиусом а пересечения с окружностью радиусом 3а … Приближённой клотоидой является линия, проходящая через точки 1, 2, …

Построение клотоиды

Мари Альфред Корню (Marie Alfred Cornu) – французский физик, президент Парижской академии наук. Измерял среднюю плотность Земли.. Усовершенствовал метод определения скорости света . Научные труды касаются оптики, кристаллофизики, спектроскопии.

Спираль Ферма – траектория точки М, неравномерно движущейся по прямой l, вращающейся вокруг неподвижного центра O, причём угол φ между радиусом-вектором r и горизонтальной осью пропорционален квадрату длины r: φ = (рис. 3.27 а).

Спирали Ферма в природе встречаются как линии в узорах цветов , например, подсолнуха. (рис. 2.28 а).

Спираль Ферма -это разновидность параболической спирали, для которой угол φ между радиусом-вектором r и горизонтальной осью равен , где а – заданное расстояние (рис. 3.27 б).

Спираль Ферма (а) и параболическая спираль (б)

Пьер де Ферма (Pierre de Fermat) – французский математик, юрист, полиглот. Один из основателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Автор Большой теоремы Ферма. Советник Тулузского парламента.

Параболическая спираль часто встречается в природе (рис. 3.28 а) и технике (рис. 3.28 б), например, определяет профиль твердосплавных свёрл по бетону, кирпичу и керамике.

– Проявления и применение спиральных кривых

Кроме выше обозначенных, существует также большое количество других видов спиралей:

б) спираль Галилея: (рис. 3.29 б);

в) жезл: (рис. 3.29 в) и т.д..

Спиральные кривые

Трансцендентные кривые

Плоской трансцендентной кривой (от латинского transcendo – переступать) является линия, которую невозможно описать уравнением, которое прямо связывает координаты х, у каждой точки М. Как правило, трансцендентные кривые задаются системой параметрических уравнений(см. с. 21).

Среди большого разнообразия трансцендентных кривых выделяют такие.

Квадратриса Динострата (от латинского quadro – площадь) – траектория точки М пересечения двух прямых h, r, первая из которых равномерно опускается по вертикали, вторая – равномерно вращается вокруг неподвижной точки О (рис. 3.30 а).

Квадратриса Динострата

Для построения квадратрисы (рис. 3.30 б) четверть окружности а делится на N равных частей (например, N = 6) точками … Из центра О окружности проводятся отрезки , … Радиус делится на N равных частей точками , … Точки 1, 2, … пересечения отрезков … с горизонтальными лучами, проведенными из точек , …, являются точками квадратрисы.

Трактриса (от латинского trahere – волочить) – плоская кривая, любая точка М которой удалена от оси х в направлении касательной (см. п. 3.3) на одинаковое расстояние а (рис. 3.31 а).

Трактриса

Первые упоминания о квадратрисе принадлежат Паппу Александрийскому и Ямвлоху и датируются концом ІІІ ст. Кривая открыта софистом Гиппием из Элиды в V ст. до н. э. и использована им для решения задачи про трисекцию угла – деление угла на три равные части. Динострат в конце ІV ст. до н. э. с помощью квадратрисы решал задачу про квадратуру круга – построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

Трактриса изобретена в 1670 г. К. Перро. Свойства трактрисы исследовали Исаак Ньютон, Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм фон Лейбниц.

П. Бугер решил задачу Леонардо да Винчи на определение формы верёвки, которой тащат предмет по горизонтальной поверхности, и установил, что эта линия является трактрисой.

Трактриса также является кривой погони – решением такой задачи. Пусть точка А движется равномерно прямолинейно. Необходимо найти линию, по которой должна двигаться точка М так, чтобы прямая АМ была к ней касательной (рис. 3.31 а).

Для приближённого построения трактрисы (рис. 3.31 б) на оси у откладывается отрезок заданной длины а. Вдоль оси х последовательно откладываются одинаковые отрезки …, длина которых значительно меньше величины а. Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 1 её пересечения с осью у. Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 2 её пересечения с отрезком Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 3 её пересечения с отрезком … Трактриса приближённо строится по точкам О, 1, 2, …

Цепная линия – линия, форму которой приобретает цепь с закреплёнными концами (рис. 3.32 а).

Применение и проявления цепной линии

Клод Перро (Claude Perrault) – французский инженер, механик, архитектор, врач и математик. Брат известного сказочника Шарля Перро. Один из первых членов Французской академии наук. Автор Парижской обсерватории, Триумфальной арки, колоннады восточной части Лувра.

Пьер Бугер (Pierre Bouguér) – французский физик и астроном, основатель фотометрии. Известны его труды по теории кораблестроения, геодезии.

Имя Бугера внесено в список семидесяти двух величайших учёных Франции.

Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу – траектории точки, которая одновременно осуществляет два гармоничных колебания с разными частотами во взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 3.33).

Фигуры Лиссажу

Впервые эти кривые были изучены Ж. Лиссажу. Фигуры Лиссажу строятся на мониторе электронного осциллографа (от латинского oscillo – колебаться – и греческого γραφω – писать) – устройства для исследования часовых и амплитудных параметров электрических сигналов, которые подаются на его входы (рис. 3.34).

Проявления фигур Лиссажу

Жуль Антуан Лиссажу (Jules Antoine Lissajous) – французский математик, член-корреспондент Парижской академии наук. Его научный посвящён вибрационной акустике решеток.

Одним из простейших видов фигур Лиссажу является лемниската Жероно – траектория точки, которая одновременно осуществляет два гармоничных колебания во взаимно перпендикулярных направлениях с частотами, которые отличаются вдвое(рис. 3.35 а). Эта линия названа в честь Камиля-Кристофа Жероно (1799 – 1891) – французского математика, профессора Парижской политехнической школы. Его научная деятельность посвящена проблемам геометрии и Диофантова анализа. Он является автором учебников по аналитической геометрии и тригонометрии и сооснователем научного журнала “Nouvelles Annales de Mathématiques”.

Построение фигур Лиссажу

Для построения лемнискаты Жероно (рис. 3.35 а) строятся две окружности (необязательно одинаковых диаметров) с разными центрами. Одна окружность делится на N одинаковых частей (например, на восемь) точками … , другая– на 2N частей точками … С помощью вертикальных и горизонтальных линий, проведенных из построенных одноименных точек, последовательно определяются точки 1, 2, … пересечения. По найденным точкам строится плоская кривая – лемниската Жероно.

На рис. 3.35 б построена фигура Лиссажу для точки, которая одновременно осуществляет два колебания , частоты которых отличаются в полтора раза. Строятся две окружности (не обязательно одинаковых диаметров) с разными центрами. Одна окружность делится на N одинаковых частей (например, на восемь) точками … , другая – на 1,5N частей точками … С помощью вертикальных и горизонтальных линий, проведенных из построенных одноименных точек, определяются точки 1, 2, … пересечения. По найденным точкам строится фигура Лиссажу.

Сопряжения

Сопряжением называется плавный переход от одной линии l к другой m, выполненный с помощью дуги окружности (рис. 3.36).

Любое сопряжение характеризуется такими параметрами:

а) центр сопряжения– центр О окружности, с помощью дуги которого строится сопряжение;

б) точки сопряжения– точки А, В начала и конца дуги, которой выполняется сопряжение;

в) радиус сопряжения – радиус R дуги, которой выполняется сопряжение.

Сопряжение

Свойства элементов сопряжения:

а) центр О сопряжения равноудален от точек А, В сопряжения, причём расстояния ОА, ОВ равны радиусу R сопряжения;

б) прямые перпендикулярные отрезкам ОА, ОВ, являются касательными (см. п. 3.3) к линиям l, m, которые сопрягаются ;

в) прямые ОА, ОВ проходят через центры кривизны (см. п. 3.4.2) линий l, m соответственно.

Существуют десять классических типов сопряжений:

а) сопряжение двух окружностей (рис. 3.37 а – є);

б) сопряжение двух прямых линий (рис. 3.37 ж);

в) сопряжение окружности и прямой (рис. 3.37 з – к).

Виды сопряжений

Для построения сопряжения двух окружностей (рис. 3.37 а – є) необходимо из центров этих окружностей провести дуги окружностей радиусами до их пересечения. Полученная точка является центром сопряжения. Значения радиусов в зависимости от типа сопряжения приведены в табл. 3.1. Из центра О сопряжения строится дуга окружности радиусом R и находятся точки А, В сопряжения.

Для построения сопряжения двух прямых (рис. 3.37 ж) проводятся линии, им параллельные и расположенные на расстоянии R. Точкой пересечения прямых является центр сопряжения, из которого проводится дуга окружности радиусом R, и определяются точки А, В сопряжения.

Для построения сопряжения окружности и прямой (рис. 3.37 з – к) из центра окружности проводится окружность радиусом (табл. 3.1). Строится линия, параллельная заданной прямой, на расстоянии R. Из центра сопряжения, который является точкой пересечения построенных окружности и прямой, строится дуга окружности радиусом R и определяются точки А, В сопряжения.

К отдельному классу сопряжений относятся коробовые кривые – совокупности дуг окружностей (с кривизной одного направления),которые в точках перехода имеют общие касательные (рис. 3.38).

Коробовые кривые

К коробовым кривым относятся такие линии:

а) овал (от французского ovalе – яйцо) – замкнутая линия, полученная одинаковыми по радиусам сопряжениями двух одинаковых эксцентрических окружностей (рис. 3.38 а);

б) овоид (от латинского ovum – яйцо, греческого εϊδος – вид) – замкнутая линия, полученная одинаковыми по радиусам сопряжениями двух разных эксцентрических окружностей (рис. 3.38 б);

в) завиток – кривая, которая выполняется с помощью сопряжения двух окружностей разных диаметров, одна из которых полностью находится в середине другой (рис. 3.38 в).

Для построения овала (рис. 3.38 а) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами R – r до их пересечения. Полученные точки являются центрами сопряжений. Из центров строятся дуги окружностей радиусом R и находятся точки сопряжений.

Для построения овоида (рис. 3.38 б) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами до их пересечения. Полученные точки являются центрами сопряжений. Из центров строятся дуги окружностей радиусом R и находятся точки сопряжений.

Для построения завитка (рис. 3.38 в) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами до их пересечения. Полученная точка О является центром сопряжения. Из центра О строится дуга окружности радиусом R и находятся точки А, В сопряжения.

Коробовые кривые распространены в природе. Форму овала и овоида имеют магматические породы, известковые зерна, заготовительные изделия насекомых (рис. 3.39 а – б); в форме завитка встречаются соцветия растений, раковины улиток (рис. 3.39 в) и т.д..

Проявления коробовых кривых

Коробовыми кривыми условно можно заменить плоские кривые линии. Например,, эллипс упрощённо строится в форме овала (рис. 3.40 а), спираль Архимеда – в форме завитка (рис. 3.40 б) и т.д

.

Сравнение коробовых кривых с плоскими кривыми линиями

С развитием современных способов компьютерного моделирования сопряжение может быть выполнено не только с помощью дуги окружности, а и другой кривой, например, эллипсом (рис. 3.41).

Сопряжение произвольной плоской кривой

Винтовые линии

Винтовая линия– траектория конца М отрезка ОМ, который удлиняется или укорачивается и движется вдоль перпендикулярной ему оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42).

Горизонтальная проекция винтовой линии (рис. 3.42 а) в общем случае является спиральной кривой, фронтальная – тригонометрической кривой.

Винтовые линии

Простейшими случаями винтовых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Цилиндрическая винтовая линия – траектория конца М отрезка ОМ, который равномерно движется вдоль его перпендикулярной оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42 б).

Горизонтальная проекция цилиндрической винтовой линии является окружностью, фронтальная – синусоидой.

Коническая винтовая линия – траектория конца М отрезка ОМ, который равномерно удлиняется или укорачивается и равномерно движется вдоль перпендикулярной ему оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42 в).

Горизонтальная проекция конической винтовой линии — это спираль Архимеда, фронтальная – тригонометрическая кривая.

Винтовые линии распространены в природе. Например, форму винтовых линий имеют молекула ДНК (рис. 3.43 а), ус растения (рис. 3.43 б).

Проявления и применение винтовых линий

Винтовые линии нашли своё применение в технике. В форме винтовых линий изготовляют сверлильный инструмент (рис. 3.43 в), пружины (рис. 3.43 г), шнеки мясорубок (рис. 3.43 д). Винт Архимеда, изобретённый ок. 250 р. до н. э., используется и сейчас как рабочий орган машины для осушения затопленных низин сельскохозяйственных угодий (рис. 3.43 е). Винтовые линии можно также строить по их развёрткам (см. п. 5.3). Например, цилиндрическая винтовая линия имеет развёртку в форме прямой линии (рис. 3.44).

Построение равномерной винтовой линии по развёртке

На рис. 3.45 по заданной горизонтальной проекции неравномерной цилиндрической винтовой линии и её развёртке в форме произвольной кривой построена фронтальная проекция винтовой линии.

Построение неравномерной винтовой линии по её развёртке

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.