Как определить количество корней уравнения по графику

Как найти k и b по графику линейной функции?

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти \(k\) и \(b\) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти \(k\) и \(b\), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

Линейная функция пересекает ось \(y\) в точке \(b\).
Примеры:

Но не советую определять так \(b\), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

Если функция возрастает, то знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то \(k=0\).

Чтоб конкретнее определить \(k\) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить \(k\) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

\(b=3\) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит \(k 0\). \(k=+\frac=\frac<4><4>=1,b=1\). \(f(x)=x+1\).

Теперь перейдем к функции \(g(x)\). Найдем координаты точек \(D\) и \(E\): \(D(-2;4)\), \(E(-4;1)\). Можно составить систему:

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать \(b\):

\(g(x)=1,5x+7\). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем \(f(x)\) и \(g(x)\).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Раздел «Квадратичная функция», ее свойства и график проходят в средней школе в 8 — 9 классах. Но не все учителя объясняют доступно. А вышедшим из ученического возраста может понадобиться обновить познания.

Поэтому рассмотрим простые примеры построения графиков квадратичной функции.

Определение и формула квадратичной функции

Квадратичной называют функцию канонического вида:

a, b – коэффициенты;

с – свободный член.

Формально конструкция именуется «квадратный трехчлен». Сразу заметно, что область определения не ограничена, а четность не выявлена.

Примеры построения парабол

Займемся упрощенными случаями и подметим закономерности.

График функции при а = 1, b = c = 0

Наиболее тривиальная, но наглядная и информативная разновидность с формулой:

Функция четная, возрастающая. Построим по точкам.

Получившаяся кривая называется «парабола». Характерна для уравнений с «квадратом».

Нижнюю точку с координатами (0; 0) называют «вершиной». Единственное место, где одной функции соответствует один аргумент. В данном случае – это минимум функции.

Уходящие вверх части кривой – «ветви». На всех участках кроме вершины к одному (y) относятся сразу (±x).

Вывод: ветви данной параболы имеют ось симметрии — вертикальную прямую ординат Y.

График функции, когда b = c = 0, а > 1 и а 0. В таком случае действительные корни не существуют. Парабола не пересекает ось Х.

D положителен, D > 0. Существуют оба корня. Кривая пересекает X в двух известных местах.

D = 0. Корень один – -b/2a. Пересечение единственно. А такое возможно в одном случае: найденное означает абсциссу вершины.

Вершина

Горизонтальная координата вычисляется по формуле:

Касательная в вершине параболы совпадает с осью X или параллельна ей. Значит тангенс её относительного наклона равен 0. А это производная функции:

Нашли x0, а y0 находится подстановкой в уравнение найденного.

Ось симметрии

Параллельная оси ординат прямая x = x0.

Приблизительный вид

По уравнению можно прикинуть общую картину:

положительное значение коэффициента a говорит о направленности ветвей вверх и наоборот;

по дискриминанту определим расположение относительно X;

находим пересечения (если есть).

Пример построения графика

a = 1, положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх;

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

1. Находим вершину:

2. Определяем точки пересечения с осью X:

3. Посчитав еще 2 — 3 точки правее и левее оси симметрии x = -1, получим достоверный график.

Свойства параболы

Основные свойства следующие:

Область определения – все действительные числа.

Вершина является минимумом при положительном коэффициенте x2, максимумом – при отрицательном.

Координаты вершины зависят только от коэффициентов.

Ось симметрии проходит через вершину и параллельна оси ординат.

Заключение

В интернете существует масса онлайн-калькуляторов для облегчения работы с кривой. Приведенные же приемы и перечисленные свойства позволяют лучше понять сущность квадратичного выражения.

Параболические отражатели позволяют получать параллельный пучок света от точечного источника. Антенна такого типа позволяет концентрировать и усиливать радиосигнал. Не абстрактная линия на бумаге.

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. \begin f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+bx+c \end Если в уравнении \(f'(x)=0\) дискриминант \(D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)\gt 0\), кубическая парабола имеет две точки экстремума: \(x_<1,2>=\frac<-2b\pm\sqrt><6a>\). Если при этом значения функции в точках экстремума \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.

Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:

1) \(x^3+3x^2-4=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 (c=0) \) \(f(x)=x^3+3x^2-4 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-4,\ f(x_2)=0 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\Rightarrow\) два корня	2) \(x^3+3x^2-1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 \) \(f(x)=x^3+3x^2-1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-1,\ f(x_2)=3 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\Rightarrow\) три корня
3) \(x^3+3x^2+1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0\) \(f(x)=x^3+3x^2+1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=1,\ f(x_2)=5 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\gt 0\Rightarrow\) один корень	4) \(x^3+x^2+x+3=0\) \(b^2-3ac=1-3\lt 0 \) Один корень

п.2. Количество корней произвольного уравнения

Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.

Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>+\frac<1>\)
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>+\frac<1>=k\)

Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac<1>+\frac<1> $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: \(x\ne\left\<0;1;3\right\>\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=-\infty-1-\frac13=-\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=+\infty-1-\frac13=+\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=1-\infty-\frac12=-\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=1+\infty-\frac12=+\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=\frac13+\frac12-\infty=-\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=\frac13+\frac12+\infty=+\infty \end 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные \(x=0, x=1, x=3\) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: \begin \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=-0-0-0=-0\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=+0+0+0=+0\\ \end Горизонтальная асимптота \(y=0\)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: \(k=0\), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-\frac<1>-\frac<1><(x-1)^2>-\frac<1><(x-3)^2>\lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.

5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.

6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)

7) График

Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.

Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k\lt 0\) — три корня
При \(k=0\) — два корня
При \(k\gt 0\) — три корня

Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt+\sqrt<10-2x>=a $$ имеет по крайней мере одно решение.

Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt+\sqrt<10-2x>\)
ОДЗ: \( \begin x-1\geq 0\\ 10-2x\geq 0 \end \Rightarrow \begin x\geq 1\\ x\leq 5 \end \Rightarrow 1\leq x\leq 5 \)
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt<8>=2\sqrt<2>,\ f(5)=\sqrt<4>+0=2\)
Первая производная: \begin f'(x)=\frac<1><2\sqrt>+\frac<-2><2\sqrt<10-2x>>=\frac<1><2\sqrt>-\frac<1><\sqrt<10-2x>>\\ f'(x)=0\ \text<при>\ 2\sqrt=\sqrt<10-2x>\Rightarrow 4(x-1)=10-2x\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=\frac73\\ f\left(\frac73\right)=\sqrt<\frac73-1>+\sqrt<10-2\cdot \frac73>=\sqrt<\frac43>+\sqrt<\frac<16><3>>=\frac<6><\sqrt<3>>=2\sqrt <3>\end Промежутки монотонности:

Можем строить график:

\(y=a\) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:

По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt<3>\).

п.3. Решение неравенств с построением графиков

Пример 4. Решите неравенство \(\frac<2+\log_3 x>\gt \frac<6><2x-1>\)

Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)

Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin x\gt 1\\ 2+\log_3 x\gt\frac<6(x-1)> <2x-1>\end \\ \begin 0\lt x\lt 1\\ 2+\log_3 x\lt\frac<6(x-1)> <2x-1>\end \end \right. \\ 2+\log_3 x\gt \frac<6(x-1)><2x-1>\Rightarrow \log_3 x\gt \frac<6(x-1)-2(2x-1)><2x-1>\Rightarrow \log_3 x\gt \frac<2x-4><2x-1>\\ \left[ \begin \begin x\gt 1\\ \log_3 x\gt\frac<2x-4> <2x-1>\end \\ \begin 0\lt x\lt 1\\ \log_3 x\lt\frac<2x-4> <2x-1>\end \end \right. \end Исследуем функцию \(f(x)=\frac<2x-4><2x-1>=\frac<2x-1-3><2x-1>=1-\frac<3><2x-1>\)
Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: \begin \lim_\left(1-\frac<3><2x-1>\right)=1-\frac<3><-0>=+\infty\\ \lim_\left(1-\frac<3><2x-1>\right)=1-\frac<3><+0>=-\infty \end Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: \(y=1\) \begin \lim_\left(1-\frac<3><2x-1>\right)=1-\frac<3><-\infty>=1+0\\ \lim_\left(1-\frac<3><2x-1>\right)=1-\frac<3><+\infty>=1-0 \end На минус бесконечности кривая стремится к \(y=1\) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=\left(1-\frac<3><2x-1>\right)’=\frac<3><(2x-1)^2>\gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-\frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)