Как определить систему счисления уравнение

Системы счисления в математике

Содержание:

Системы счисления в математике

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр). Системы счисления бывают: непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа).

Непозиционные системы счисления

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждая цифра сохраняет своё постоянное значение независимо от того места, которое она занимает в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления, которая дошла до наших дней и иногда используется, является римская система счисления. В этой системе для записи чисел используется такие цифры: I, V, X, C, D, M и т.д., они обозначают числа один, пять, десять, пятьдесят, сто, тысяча и т.д. Запись любых других чисел производится на основе определённых правил: несколько одинаковых цифр, стоящих рядом, отображают число, равное сумме чисел, которые соответствуют этим цифрам, например III — три, XX — двадцать, пара цифр в которой младшая цифра (которая обозначает меньшее число) стоит слева от старшей (которая обозначает большее число), отображает разность соответствующих чисел, например IV — четыре, XL — сорок, пара цифр, в которой младшая цифра стоит справа от старшей, отображает сумму соответствующих чисел, например XI — одиннадцать, VI — шесть, и т.п.

Позиционные системы счисления

Позиционными называются такие системы счисления, в которых значение каждой цифры определяется не только самой цифрой, но и тем местом (позицией), которое она занимает в записи числа.

Основой позиционной системы счисления называется число , которое показывает, сколько необходимо единиц любого разряда для получения единицы старшего разряда. Систему счисления с основой будем обозначать через . Очевидно, что основой системы счисления определяется количество цифр, которые используются для записи чисел в данной системе счисления. Основой десятичной системы счисления является число десять, для записи любых чисел используется только десять разных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В позиционной системе счисления с основой используются разных целых чисел , которые называются базой системы счисления. Различаются позиционные системы счисления с неотъемлемой и симметричной базой. В позиционных системах счисления с неотъемлемой базой цифры означают последовательные целые числа начиная с нуля; в позиционных системах счисления с симметричной базой цифры обозначают последовательные целые числа, симметрично расположенные относительно нуля и ноль. Как правило, цифры 0, 1 в позиционных системах счисления обозначают число ноль и единицу.

Числа в позиционной системе счисления с основой записывают как последовательность цифр системы , разделённых запятой на целую и дробную части. Если буквы обозначают цифры системы, то последовательность цифр означает число .

Арифметические действия над числами в любой позиции системы счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе. Однако, при выполнении действий над числами системы, необходимо пользоваться таблицами сложения и умножения этой системы.

Чтобы различать в какой системе счисления записано то или другое число, договоримся обозначать через число х, записанное в системе счисления .

Рассмотрим наиболее внедрённые в ЭВМ системы счисления.

Двоичная система счисления

Эта система счисления использует две цифры 0, 1, которые обозначают числа ноль и единицу соответственно. Основой этой системы является число два.

Ниже дано изображения некоторых чисел в двоичной системе счисления:

При добавлении двух чисел, записанных в двоичной системе счисления, следует пользоваться таблицей сложения:

Таблица умножения в двоичной системе счисления также очень простая:

Примеры

Восьмеричная система счисления

Эта система счисления использует цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 для обозначения последовательных чисел от нуля до семи включительно. Основой этой системы является число 8. Запись произвольного числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с указанными выше коэффициентами.

Запишем некоторые числа в восьмеричной системе счисления:

Восьмеричные таблицы сложения и умножения имеют вид:

Примеры

Шестнадцатеричная система счисления

Эта система счисления использует шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, которые обозначают последовательно целые числа, начиная с нуля заканчивая числом «пятнадцать». Основой этой системы счисления является число шестнадцать.

Запишем некоторые числа в шестнадцатеричной системе счисления:

Примеры

Переведение чисел из одной системы в другую

При решении задач на ЭВМ начальные данные, как правило, задаются в десятичной системе счисления, в той же системе необходимо получить результат. Однако почти все машины работают не в десятичной системе, а в какой-нибудь другой, например в двоичной. Поэтому возникает необходимость переведения чисел из одной системы в другую. При рассмотрении правил перевода чисел из одной системы счисления в другую ограничимся только системами счисления с неотъемлемой базой. Поскольку переведение отрицательных чисел сводится к переводу абсолютных величин и приписыванием им знака минус, то достаточно рассмотреть перевод положительных чисел.

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы .

Такой перевод будем обозначать символами .

Для того, чтобы число , записанное в системе .

перевести в систему , пользуясь арифметикой системы , необходимо:

а) записать число в виде:

б) заменить основу 10 и все цифры системы их изображениями в системе ;

в) сделать вычисления, пользуясь арифметикой системы .

Примеры:

Проведя вычисления, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления, получаем число 22,75₁₀.

б) Перевести число 27,5₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную

то, заменив основу 10 и цифры 2, 7, 5 их изображением в двоичной системе счисления, получаем:

Сделав вычисления, пользуясь арифметикой двоичной системы счисления, получим число .

Следовательно,

в) Перевести число 634,52₈ из восьмеричной системы счисления в десятичную (8 → 10(10)).

Подав это число в виде

и заменив основу 10 — числом 8 (цифры 6, 3, 4, 5, 2 имеют тот же вид в десятичной системе счисления) получаем:

Сделав вычисления, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления, получаем число 412,93750₁₀.

Следовательно, 634,52_{8 =} 412,93750_10.

г) Перевести число 98,6₁₀ из десятичной системы счисления в восьмеричную (10 →8(8)).

Представив это число в виде

и заменив основу числа 10 и цифры 9, 8, 6 их видом в восьмеричной системе счисления, получим:

Сделав вычисления, руководствуясь арифметикой восьмеричной системы счисления получим число 142,4₈. Следовательно, 98,6₁₀ = 142,4₈.

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы .

Такой перевод будем обозначать символами . Поскольку для перевода любого числа достаточно уметь переводить его дробную и целую части, то можно рассмотреть эти оба случая отдельно.

Перевод целых чисел

Пусть целое число , записанное в системе , необходимо перевести в систему . Поскольку — целое число, то его вид в системе будет таким:

где цифры системы , которые необходимо определить, а 10 — основа системы .

Заменим цифры и основу 10 системы их видом в системе . Пусть является изображением цифры изображением основы системы в системе .

Разделив обе части полученного равенства на , получим остаток и частное

Если теперь частное разделить на , то получим остаток и частное

Повторяя этот процесс раз, мы последовательно найдём все числа , причём последнее частное Деление выполняем, пользуясь арифметикой системы .

Таким образом, при последовательном делении числа и частных, которые получаем при делении, на основу системы, записанную в системе, то есть на , получим в виде остатков от деления цифры, необходимое для изображения числа в системе , записанные в системе . Последовательное деление производится до тех пор, пока не одержим частное, меньше чем . Это последнее частное даст нам цифру числа , записанную в системе. При делении пользуются арифметикой системы .

Примеры

а) Перевести число 65₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную (10 → 2(10)).

и десятичные цифры 0, 1 имеют тоже самое изображение в двоичной системе счисления, то 65₁₀ = 1000001₂

б) Перевести число 325₁₀ из десятичной системы счисления в восьмеричную (10 → 8(10)).

и десятичные цифры 5, 0 имеют тоже самое изображение в восьмеричной системе счисления, то 325₁₀ = 505₈.

в) Перевести число 3060₁₀ из десятичной системы в шестнадцатеричную (10→16(10)).

а десятичные цифры 15, 11 изображаются в шестнадцатеричной системе счисления как F и B, 3060₁₀ = BF4₁₆.

г) Перевести число 111011₂ из двоичной системы счисления в десятичную (2→10(2)).

Пользуясь арифметикой двоичной системы счисления, получим:

Двоичные числа 101 и 1001 в десятичной системе счисления имеют изображение 5 и 9 соответственно, 111011₂ = 59₁₀.

Переведение правильных дробей

Пусть D — правильная дробь, записанная в системе P. Допустим, что необходимо перевести дробь в систему . Пусть изображение D в системе найдём и она имеет изображение

Умножим две части полученного равенства на . Получим число, целая часть которого и дробная часть

Умножим на , получим число, целая часть которого и дробная

Повторяя умножение необходимое нам количество раз, мы найдём одну за одной цифры, необходимые нам для изображения числа D в системе . При умножении пользуемся арифметикой системы P.

Таким образом, при последовательном умножении числа D и дробных частей произведения, которые получаются при умножении на основу , записанную в системе P, то есть на , получим в виде целых частей произведений цифры, необходимые для изображения числа D в системе . Умножение выполняем, пользуясь арифметикой системы P.

Примеры:

а) Перевести число 0,5625₁₀ из десятичной системы исчисления в восьмеричную (10→8(10)).

и десятичная цифра 4 имеет то же самое изображение в восьмеричной системе счисления, то 0,5625₁₀ = 0,44₈.

б) Перевести число 0,375₁₀ из десятичной системы исчисления в двоичную (10→2(10)).

и десятичные цифры 0, 1 имеют то же самое изображение в двоичной системе счисления, то 0,375₁₀ = 0,0012.

в) Перевести число 0,5B4₁₆ из шестнадцатеричной системы исчисления в десятичную (16→10(16)).

и шестнадцатеричные цифры 5, 5, 5, 6, 0, 1, 2 имеют то же самое изображение в десятичной системе счисления, то 0,5B4₁₆ = 0,3569015625₁₀.

Замечание: Удобнее всего, при переводе чисел из системы счисления P в систему , пользоваться арифметикой системы P, если

Перевод чисел системы в систему и наоборот, если .

Пусть , где целые положительные числа. В этом случае общие правила перевода значительно упрощаются.

Для того, чтобы перевести число системы в систему при , достаточно каждую цифру этого числа заменить соответствующим -разрядным числом в системе .

Для того, чтобы перевести число системы в систему при , достаточно, двигаясь от запятой влево и вправо, разбить все цифры числа на группы по цифр в каждой (крайние группы дополняются нулями, если это необходимо) и каждую группу заменить соответствующей цифрой системы .

Примеры:

Трёхразрядное двоичное число, которое соответствует определённой восьмеричной цифре, называется триадой. Соответствие между восьмеричными цифрами и триадами такое:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Как определить систему счисления уравнение

Задание 1. Какому числу в десятичной системе счисления соответствует число 24₁₆?

24₁₆ = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Задание 2. Известно, что X = 12₄ + 4₅ + 101₂. Чему равно число X в десятичной системе счисления?

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
12₄ = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4₅ = 4 * 5 0 = 4
101₂ = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Находим число: X = 6 + 4 + 5 = 15

Задание 3. Вычислите значение суммы 10₂ + 45₈ + 10₁₆ в десятичной системе счисления.

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
10₂ = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45₈ = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10₁₆ = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Сумма равна: 2 + 37 + 16 = 55

Перевод в двоичную систему счисления

Задание 1. Чему равно число 37 в двоичной системе счисления?

Можно выполнить преобразование делением на 2 и комбинацией остатков в обратном порядке.

Другой способ – это разложить число на сумму степеней двойки, начиная со старшей, вычисляемый результат которой меньше данного числа. При преобразовании пропущенные степени числа следует заменять нулями:

37₁₀ = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 73?

Разложим число 73 на сумму степеней двойки, начиная со старшей и умножая пропущенные степени в дальнейшем на нули, а существующие на единицу:

73₁₀ = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Ответ. В двоичной записи десятичного числа 73 присутствует четыре значащих нуля.

Задание 3. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2₁₆, y = 37₈. Результат представьте в двоичной системе счисления.

Вспомним, что каждая цифра шестнадцатеричного числа формируется четырьмя двоичными разрядами, каждая цифра восьмеричного числа – тремя:

Сложим полученные числа:

Ответ. Сумма чисел D2₁₆ и y = 37₈, представленная в двоичной системе счисления равна 11110001.

Задание 4. Дано: a = D7₁₆, b = 331₈. Какое из чисел c, записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований

Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.

1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %

2. Декодируем заданную последовательность:
$%&&@$ = 01 11 10 10 00 01

3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1

Задание 2. В саду 100_x фруктовых деревьев, из которых 33_x – яблони, 22_x – груши, 16_x – сливы, 17_x — вишни. Чему равно основание системы счисления (x).

1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Условие задачи таково:
33_x + 22_x + 16_x + 17_x = 100_x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 — 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.

Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Нам надо получить 12. Пробуем 2: 2 2 + 2 = 6. Пробуем 3: 3 2 + 3 = 12.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.

Задание 4. В какой системе счисления десятичное число 173 будет представлено как 445?

Решение.
Обозначим неизвестное основание за Х. Запишем следующее уравнение:
173₁₀ = 4*Х 2 + 4*Х 1 + 5*Х 0
С учетом того, что любое положительное число в нулевой степени равно 1 перепишем уравнение (основание 10 не будем указывать).
173 = 4*Х 2 + 4*Х + 5
Конечно, подобное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта, но есть более простое решение. Вычтем из правой и левой части по 4. Получим
169 = 4*Х 2 + 4*Х + 1 или 13 2 = (2*Х+1) 2
Отсюда получаем 2*Х +1 = 13 (отрицательный корень отбрасываем). Или Х = 6.
Ответ: 173₁₀ = 445₆

Задачи на нахождение нескольких оснований систем счисления

Есть группа задач, в которых требуется перечислить (в порядке возрастания или убывания) все основания систем счисления, в которых представление данного числа заканчивается на заданную цифру. Эта задача решается довольно просто. Сначала нужно из исходного числа вычесть заданную цифру. Получившееся число и будет первым основанием системы счисления. А все другие основания могут быть только делителями этого числа. (Данное утверждение доказывается на основе правила перевода чисел из одной системы счисления в другую – см. п.4). Помните только, что основание системы счисления не может быть меньше заданной цифры!

Пример
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.

Решение
24 – 3 =21 – это первое основание (13₂₁= 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 делится на 3 и на 7. Число 3 не подходит, т.к. в системе счисления с основанием 3 нет цифры 3.
Ответ: 7, 21

Задача №16. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

3. Решение уравнений

Пример 6

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.