Как определить ускорение тела по уравнению

Ускорение при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой линии с постоянным ускорением ( a =const).
Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости тела за 1 с. Обозначается как a .
Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате (м/с 2 ).
Акселерометр — прибор для измерения ускорения.

Формула ускорения

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v ₀ — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

v_x — проекция скорости тела в данный момент времени, v_0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

Если вектор ускорения направлен в сторону оси ОХ, то его проекция положительна.
Если вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению оси ОХ, его проекция отрицательная.

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают ( а ↑↑ v ).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу ( а ↑↓ v ).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (a_x=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

Если график лежит выше оси времени , движение равноускоренное (направление вектора ускорения совпадает с направлением оси ОХ). На рисунке выше тело 1 движется равноускорено.
Если график лежит ниже оси времени , движение равнозамедленное (вектор ускорения направлен противоположно оси ОХ). На рисунке выше тело 2 движется равнозамедлено.

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t₁ = 1 и t₂ = 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

В момент времени t₁ = 1с ускорение a = 2 м/с 2 . В момент времени t₂ = 3 ускорение a = 0 м/с 2 .

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
Определить величины, которые характеризуют такое движение.
Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать формулу, связывающую известные из условия задачи величины.
Выразить из формулы искомую величину.
Вычислить искомую величину, подставив в формулу исходные данные.

Решение

Запишем исходные данные:

Начальная скорость v₀ = 5 м/с.
Конечная скорость v = 15 м/с.
Пройденный путь s = 40 м.

Формула, которая связывает ускорение тела с пройденным путем:

Так как скорость растет, ускорение положительное, поэтому перед ним в формуле поставим знак «+».

Выразим из формулы ускорение:

Подставим известные данные и вычислим ускорение автомобиля:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Внимательно прочитайте текст задани я и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени.

Какой из указанных ниже графиков совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела a_x в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

Охарактеризовать движение тела на участке графика, обозначенном в условии задачи.
Вычислить ускорение движение тела на этом участке.
Выбрать график, который соответствует графику зависимости от времени проекции ускорения тела.

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

t₁ = 6 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 0 м/с.
t₂ = 10 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = –10 м/с.

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Записать формулу ускорения.
Записать формулу для вычисления модуля ускорения.
Выбрать любые 2 точки графика.
Определить для этих точек значения времени и проекции скорости (получить исходные данные).
Подставить данные формулу и вычислить ускорение.

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

t₁ = 1 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 15 м/с.
t₂ = 2 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = 5 м/с.

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Формулы вычисления ускорения через скорость. Пример задачи

Любое перемещение тел изучает специальный раздел физики — кинематика. В нем не рассматриваются причины, которые привели к началу движения тела, а изучаются лишь законы изменения положения тела в пространстве с течением времени. В данной статье ответим на вопрос, как найти ускорение через скорость.

Скорость и ускорение — основные кинематические характеристики

Вам будет интересно: Идиолект — это. Общие сведения, место и роль

Каждый школьник сможет дать ответ на вопрос, что такое скорость. Под ней понимают физическую величину, которая определяет быстроту прохождения телом расстояний, что математически выражается через производную пути l по времени t:

В системе СИ скорость принято измерять в метрах в секунду (м/с).

Если взять теперь производную по времени t от скорости v, то мы получим ускорение a:

a = dv/dt = d2l/dt2.

Заметим, что ускорение может быть также рассчитано, как вторая производная по времени от пути. Величина a показывает быстроту, с которой изменяется величина v. Как правило, ускорение определяют в метрах в секунду в квадрате (м/с2).

Величины a и v являются векторными. Скорость направлена по касательной к траектории, а ускорение совпадает с вектором изменения скорости.

Равноускоренное (равнозамедленное) движение по прямой

Когда тело движется вдоль прямой линии с постоянным ускорением, то есть a=const, то существует всего три формулы определения ускорения через скорость и время:

Первое выражение позволяет определить ускорение, если тело начало ускоренное движение из состояния покоя. Оно отличается от математического определения ускорения тем, что в данном случае определяется средняя величина a за время движения t. Второе выражение также справедливо для ускоренного движения, только в этом случае до возникновения ускорения тело уже имело скорость v0. Наконец, третья формула применяется тогда, когда тело замедляет свое движение (тормозит) с постоянным ускорением.

Отметим, что все три равенства предполагают линейную зависимость между величинами a и v.

Пример решения задачи

Автомобиль двигался по трассе со скоростью 80 км/ч. Затем он начал тормозить и остановился ровно через 1 минуту. Необходимо определить его среднее ускорение торможения.

Прежде чем пользоваться записанной в предыдущем пункте формулой ускорения через скорость, переведем известные из условия задачи величины в единицы СИ:

v0 = 80 км/ч = 22,22 м/с;

Поскольку автомобиль в итоге остановился, то v = 0. Подставим все известные значения в соответствующую формулу, получим:

a = (v0-v)/t = 22,22/60 = 0,37 м/с2.

Рассчитанная величина не является слишком большой по сравнению с ускорением, которое наша планета сообщает всем телам (9,81 м/с2).

Ускорение тела

Ускорением тела называют векторную величину показывающую быстроту изменения скорости движения тела. Обозначают ускорение как $\overline$.

Среднее ускорение тела

Допустим, что в моменты времени $t$ и $t+\Delta t$ скорости равны $\overline(t)$ и $\overline(t+\Delta t)$. Получается, что за время $\Delta t$ скорость изменяется на величину:

\[\Delta \overline=\overline\left(t+\Delta t\right)-\overline\left(t\right)\left(1\right),\]

тогда среднее ускорение тела равно:

Мгновенное ускорение тела

Устремим промежуток времени $\Delta t$ к нулю, тогда из уравнения (2) получим:

Формула (3) является определением мгновенного ускорения. Принимая во внимание, что в декартовой системе координат:

\[\overline=x\left(t\right)\overline+y\left(t\right)\overline+z\left(t\right)\overline\left(4\right),\ а\ \overline=\frac>

(5)\]
Из выражения (6) следует, что проекции ускорения на оси координат (X,Y,Z) равны:
При этом модуль ускорения найдем в соответствии с выражением:
Для выяснения вопроса о направлении ускорения движения тела Вектор скорости представим как:
где $v$ — модуль скорости тела; $\overline<\tau >$ — единичный вектор касательный к траектории движения материальной точки. Подставим выражение (8) в определение мгновенной скорости, получим:
Единичный касательный вектор $\overline<\tau >$ определяется точкой траектории, которая в свою очередь характеризуется расстоянием ($s$) от начальной точки. Значит вектор $\overline<\tau >$ — это функция от $s$:
Параметр $s$ — функция от времени. Получаем:
где вектор $\overline<\tau >$ по модулю не изменяется. Это означает, что вектор $\frac>$ перпендикулярен $\overline<\tau >$. Вектор $\overline<\tau ><\rm \ >$ является касательным к траектории, $\frac>$ перпендикулярен к этой касательной, то есть, направлен по нормали, которая называется главной. Единичный вектор в направлении главной нормали обозначим $\overline$.
Величина $\left|\frac>\right|=\frac<1>$, где $R$ — радиус кривизны траектории.
И так мы получили:
Принимая во внимание, что $\frac

=v$, из (9) можно записать следующее:
Выражение (13) показывает, что полное ускорение тела состоит из двух компонент, которые взаимно перпендикулярны. Тангенциального ускорения ($<\overline>_<\tau >$), направленного по касательной к траектории движения и равного:
Модуль полного ускорения равен:
Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате:
Прямолинейное движение тела
Если траекторией движения материальной точки является прямая, то вектор ускорения направлен вдоль той же прямой, что и вектор скорости. Изменяется только величина скорости.
Переменное движение называют ускоренным, если скорость материальной точки постоянно увеличивается по модулю. При этом $a>0$, векторы ускорения и скорости сонаправлены.
Если скорость по модулю убывает, то движение называют замедленным ($a Пример 1
Задание: Движения двух материальных точек заданы следующими кинематическими уравнениями: $x_1=A+Bt-Ct^2$ и $x_2=D+Et+Ft^2,$ чему равны ускорения этих двух точек в момент времени, когда равны их скорости, если $A$, B,C,D,E.F — постоянные большие нуля.
Решение: Найдем ускорение первой материальной точки:
У второй материальной точки ускорение будет равно:
Мы получили, что точки движутся с постоянными ускорениями, которые не зависят от времени, поэтому момент времени, в который скорости равны, искать не обязательно.
Ответ: $a_1=-2С\frac<м><с^2>$, $a_2=2F\frac<м><с^2>$
Задание: Движение материальной точки задано уравнением: $\overline\left(t\right)=A\left(\overline<\cos \left(\omega t\right)+\overline<\sin \left(\omega t\right)\ >\ >\right),$ где $A$ и $\omega $ — постоянные величины. Начертите траекторию движения точки, изобразите на ней вектор ускорения этой точки. Каков модуль центростремительного ускорения ($a_n$) точки в этом случае?
Решение: Рассмотрим уравнение движения нашей точки:
В координатной записи уравнению (2.1) соответствует система уравнений:
Возведем в квадрат каждое уравнение системы (2.2) и сложим их:
Мы получили уравнение окружности радиуса $A$ (рис.1).
Величину центростремительного ускорения, учитывая, что радиус траектории равен А, найдем как:
Проекции скорости на оси координат равны:
Величина скорости равна:
Подставим результат (2.6) в (2.4), нормальное ускорение равно:
Легко показать, что движение точки в нашем случае является равномерным движением по окружности и полное ускорение точки равно центростремительному ускорению. Для этого можно взять производную от проекций скоростей (2.5) по времени и используя выражение:

источники:
http://1ku.ru/obrazovanie/57255-formuly-vychislenija-uskorenija-cherez-skorost-primer-zadachi/
http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_96_uskorenie_tela.php