Как отделить корни уравнения графически
1. Приближенное решение нелинейных уравнений
Пусть дано уравнение с одним неизвестным
, (1.1)
где f ( x ) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.
Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная , логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения х , которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.
В общем случае не существует формул, по которым определяются точные значения корней уравнения (1.1). Для отыскания корней используют приближенные методы, при этом корни находятся с некоторой заданной точностью ε . Это означает, что если x — точное значение корня уравнения, а x ’ — его приближенное значение с точностью ε , то | x — x ’ | ≤ ε . Если корень найден с точностью ε , то принято писать x = x ± ε .
Будем предполагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f ( x ), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
2. Уточнение корней до заданной точности.
Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того , чтобы графически отделить корни уравнения (1.1), строят график функции y = f ( x ). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox есть действительные корни уравнения (рис. 1). Практически бывает удобнее заменить уравнение (1.1) равносильным ему уравнением
, (1.2)
где Φ( x ) и Ψ( x ) — более простые функции, чем f ( x ). Абсциссы точек пересечения графиков функций y = Φ( x ) и y = Ψ( x ) дают корни уравнения (1.2), а значит и исходного уравнения (1.1) (рис.2).
Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме: если непрерывная на отрезке [ a , b ] функция y = f ( x ) принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f ( a )· f ( b ) f ( x ) = 0; если при этом производная f ’ ( x ) сохраняет знак внутри отрезка [ a , b ], то корень является единственным.
Уточнение корней заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Рассмотрим самый простой из них — метод половинного деления.
Пусть корень отделён и принадлежит отрезку [ a , b ]. Находим середину отрезка [ a , b ] по формуле
Если f ( c ) = 0, то с — искомый корень. Если f ( c ) ≠ 0, то в качестве нового отрезка изоляции корня [ a 1 , b 1 ] выбираем ту половину [ a , c ] или [ c , b ], на концах которой f ( x ) принимает значения разных знаков. Другими словами, если f ( a ) ∙ f ( c ) a , c ], если f ( a ) ∙ f ( c ) — отрезку [ c , b ]. Полученный отрезок снова делим пополам, находим c1 ,
вычисляем f ( c 1 ), выбираем отрезок [ a 2 , b 2 ] и т.д. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего, то есть за n шагов отрезок сократится в 2 n раз. Как только будет выполнено условие
то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью ε , можно взять
Пример . Пусть требуется решить уравнение
с точностью ε = 0,0001. Отделим корень графически. Для этого преобразуем уравнение к виду
и построим графики функций (рис. 4):
Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку [0; 1].
Подтвердим аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня. Для отрезка [0; 1] имеем:
. Следовательно, корень отделён правильно.
Уточнение корня выполним методом половинного деления.
Корень принадлежит отрезку
Корень принадлежит отрезку
Корень принадлежит отрезку
Графическое отделение корней
Графическое отделение корнейосновано на графическом способе решения уравнений – отыскании точек, в которых функция f(x)пересекает ось 0Х.
Пример 1.2.2-1. Отделить корни уравнения ln (x-1) 2 – 0.5 = 0.
На рис. 1.2.2-1 изображен график функции y = ln (x-1) 2 – 0.5, из которого следует, что уравнение имеет два действительных корня [-1;0] и [2;3].
В некоторых случаях удобно вначале преобразовать функцию f(x) к виду f(x)=g1(x)— g2(x), из которого, при условии f(x)=0, следует, что g1(x)=g2(x). При построении графиков y1=g1(x)и y2=g2(x)находят отрезки, содержащие точки пересечения этих графиков.
Пример 1.2.2-2. Отделить корни уравнения сos(x) – x + 1 = 0.
Приведем исходное уравнение к виду сos(x)= x – 1. Построив графики функций y1 = сos(x) и y2 = х – 1 (рис. 1.2.2), выделим отрезок, содержащий корень [1;2].
Аналитическое отделение корней
Аналитическое отделениекорней основано на следующей теореме.
Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на отрезке [a;b] содержится один корень уравнения f(x)=0.
Действительно, если условия теоремы выполнены, как это имеет место на отрезке [a;b] (рис. 1.2.2-3), то есть f(a)∙f(b) 0 для xÎ [a;b], то график функции пересекает ось 0Х только один раз и, следовательно, на отрезке [a;b] имеется один корень уравнения f(x) = 0.
Аналогично можно доказать единственность корня на отрезке [c;d], на[d;e]и т.д
Таким образом, для отделения корней нелинейного уравнения необходимо найти отрезки, в пределах которых функция монотонна и изменяет свой знак. Принимая во внимание, что непрерывная функция монотонна в интервалах между критическими точками, при аналитическом отделении корней уравнения можно рекомендовать следующий порядок действий:
1)установить область определения функции;
2)определить критические точки функции, решив уравнение f¢(x)=0;
3)составить таблицу знаков функции f(x) в критических точках и на границах области определения;
4)определить интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков.
Пример 1.2.2-3. Отделить корни уравнения x — ln(x+2) = 0.
Область допустимых значений функции f(x) = x — ln(x+2) лежит в интервале (-2; ∞), найденных из условия x+2>0. Приравняв производную f¢(x)=1-1/(x+2) к нулю, найдем критическую точку хk= -1. Эти данные сведены в табл. 1.2.2-1 и табл. 1.2.2-2 знаков функции f(x).
Таблица 1.2.2-1 Таблица 1.2.2-.2
x | x→-2 | -1 | x→∞ | x | -1.9 | -1.1 | -0.9 | 2.0 |
Sign(f(x)) | + | — | + | Sign(f(x)) | + | — | — | + |
Уравнение x — ln(x+2) = 0 имеет два корня (-2;-1]и [-1; ∞) . Проверка знака функции внутри каждого из полученных полуинтервалов (табл.1.2.2) позволяет отделить корни уравнения на достаточно узких отрезках [-1.9;-1.1]и [-0.9;2.0].
Уточнение корней
Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке [a;b], состоит в нахождении такого приближенного значения корня , для которого справедливо неравенство .Если уравнение имеет не один, а несколько корней, то этап уточнения проводится для каждого отделенного корня.
Реферат: Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней
Название: Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней Раздел: Рефераты по информатике Тип: реферат Добавлен 11:03:33 16 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 2994 Комментариев: 22 Оценило: 8 человек Средний балл: 4.5 Оценка: 5 Скачать |
Из рис.1 видно, что корень находится на отрезке [1,2]. В качестве приближенного значения этого корня можно взять значение х=1.5. Если взять шаг по оси Ох меньше, то и значение корня можно получить более точное. |
3. Аналитический метод (табличный или шаговый).
Для отделения корней полезно помнить следующие известные теоремы:
1) если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)f(b) 0, значит корня на отрезке [0;0.5] нет.
f(0.5)f(1) 0, значит корня на отрезке [0.5;0.75] нет.
http://megaobuchalka.ru/11/54487.html
http://www.bestreferat.ru/referat-284431.html