Как перевернуть дробь в уравнении с суммой

Перевернутая дробь

Перевернутая дробь

6/9
Некоторые считают, что такой дробью является также 9\6. И это был бы правильный ответ, если бы эта дробь не была бы больше 1.

Сначала расколим подкову на 3 части:центральную и две “ножки”, по две дырки в каждой. (см. Разрез 1)Сложим части, как бы “перегибая” подкову по первой линии.Теперь можно колоть второй раз (по разрезу 2 (а и б)).

Мы получим 7 кусков, и в каждом будет по одной дырке!

Page 3

Порядок вывода комментариев: По умолчанию Сначала новые Сначала старые

Умножение и деление дробей

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения. Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Общий взгляд на преобразование дробей

Данный обобщенный материал известен из школьного курса математики. Тут рассматриваем дроби общего вида с числами, степенями, корнями, логарифмами, тригонометрическими функция ми или другими объектами. Будут рассмотрены основные преобразования дробей вне зависимости от их вида.

Что такое дробь?

Дробь – это выражение, которое записывается в виде A B или А / В , где A и B являются некоторыми произвольными числами.

Существует еще несколько определений.

Горизонтальная наклонная черта, которая разделяет A и B , называют чертой дроби или дробной чертой.

Выражение, которое находится над чертой дроби, называют числителем, а под – знаменателем.

От обыкновенных дробей к дробям общего вида

Знакомство с дробью происходит еще в 5 классе, когда проходят обыкновенные дроби. Из определения видно, что числителем и знаменателем являются натуральные числа.

К примеру 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , которые можно записать как 1 / 5 , 2 / 6 , 12 / 7 , 3 / 1 .

После изучения действий с обыкновенными дробями имеем дело с дробями, которые имеют в знаменателе не одно натуральное число, а выражения с натуральными числами.

Например, 1 + 3 5 , 9 — 5 16 , 2 · 7 9 · 12 .

Когда имеем дело с дробями, где есть буквы или буквенные выражения, то записывается таким образом:

a + b c , a — b c , a · c b · d .

Зафиксируем правила сложения, вычитания, умножения обыкновенных дробей a c + b c = a + b c , a c — b c = a — b c , a b · v d = a · c b · d

Для вычисления зачастую необходимо приходить к переводу смешанных чисел в обыкновенные дроби. Когда целую часть обозначим как a , тогда дробная имеет вид b / c , получаем дробь вида a · c + b c , откуда понятно появления таких дробей 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 и так далее.

Черта дроби расценивается как знак деления. Поэтому запись можно преобразовать по-другому:

1 : a — ( 2 · b + 1 ) = 1 a — 2 · b + 1 , 5 — 1 , 7 · 3 : 2 · 3 — 4 : 2 = 5 — 1 , 7 · 3 2 · 3 — 4 : 2 , где частное 4 : 2 можно заменить на дробь, тогда получим выражение вида

5 — 1 , 7 · 3 2 · 3 — 4 2

Вычисления с рациональными дробями занимают особое место в математике, так как в числителе и знаменателе могут быть не просто числовые значения, а многочлены.

Например, 1 x 2 + 1 , x · y — 2 · y 2 0 , 5 — 2 · x + y 3 .

Рациональные выражения рассматриваются как дроби общего вида.

Например, x · x + 1 4 x 2 · x 2 — 1 2 · x 3 + 3 , 1 + x 2 · y · ( x — 2 ) 1 x + 3 · x 1 + 2 — x 4 · x 5 + 6 · x .

Изучение корней, степеней с рациональными показателями, логарифмов, тригонометрических функций говорит о том, что их применение появляется в заданных дробях вида:

a n b n , 2 · x + x 2 3 x 1 3 — 12 · x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln ( x — 3 ) ln e 5 , cos 2 α — sin 2 α 1 — 1 cos 2 α .

Дроби могут быть комбинированными, то есть иметь вид x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3 , lg x + 2 lg x 2 — 2 · x + 1 .

Виды преобразований дробей

Для ряда тождественных преобразований рассматривают несколько видов:

• преобразование, характерное для работы с числителем и знаменателем;
• изменение знака перед дробным выражением;
• приведение к общему знаменателю и сокращение дроби;
• представление дроби в виде суммы многочленов.

Преобразование выражений в числителе и знаменателе

При тождественно равных выражениях имеем, что полученная дробь является тождественно равной исходной.

Если дана дробь вида A / B , то A и B являются некоторыми выражениями. Тогда при замене получим дробь вида A 1 / B 1 _. Необходимо доказать справедливость равенства A / A 1 = B / B 1 при любом значении переменных, удовлетворяющих ОДЗ.

Имеем, что A и A 1 и B и B 1 тождественно равны, тогда их значения тоже равны. Отсюда следует, что при любом их значении A / B и A 1 / B 1 данные дроби будут равны.

Такое преобразование упрощает работу с дробями, если необходимо преобразовывать отдельно числитель и отдельно знаменатель.

Для примера возьмем дробь вида 2 / 18 , которую преобразуем к 2 2 · 3 · 3 . Для этого знаменатель раскладываем на простые множители. Дробь x 2 + x · y x 2 + 2 · x · y + y 2 = x · x + y ( x + y ) 2 имеет числитель вида x 2 + x · y , означает, что необходимо произвести замену на x · ( x + y ) , которое будет получено при вынесении за скобки общего множителя x . Знаменатель заданной дроби x 2 + 2 · x · y + y 2 свернуть по формуле сокращенного умножения. Тогда получим, что его тождественно равным выражением является ( x + y ) 2 .

Если дана дробь вида sin 2 3 · φ — π + cos 2 3 · φ — π φ · φ 5 6 ,тогда для упрощения необходимо числитель заменить 1 по формуле, а знаменатель привести к виду φ 11 12 . Тогда получим, что 1 φ 11 12 равна заданной дроби.

Изменение знака перед дробью, в ее числителе, знаменателе

Преобразования дробей – это также и замена знаков перед дробью. Рассмотрим некоторые правила:

• при изменении знака числителя получаем дробь, которая равна заданной, причем буквенно это выглядит как _ — A — B = A B , где А и В являются некоторыми выражениями;
• при изменении знака перед дробью и перед числителем, получаем, что — — A B = A B ;
• при замене знака перед дробью и его знаменателя, получаем, что — A — B = A B .

Знак минуса в большинстве случаев рассматривается как коэффициент со знаком — 1 , а дробная черта является делением. Отсюда получаем, что — A — B = — 1 · A : — 1 · B . Сгруппировав множители, имеем, что

— 1 · A : — 1 · B = ( ( — 1 ) : ( — 1 ) · A : B = = 1 · A : B = A : B = A B

После доказательства первого утверждения, обосновываем оставшиеся. Получим:

— — A B = ( — 1 ) · ( ( ( — 1 ) · A ) : B ) = ( — 1 · — 1 ) · A : B = = 1 · ( A : B ) = A : B = A B — A — B = ( — 1 ) · ( A : — 1 · B ) = ( ( — 1 ) : ( — 1 ) ) · ( A : B ) = = 1 · ( A : B ) = A : B = A B

Когда необходимо выполнить преобразование дроби 3 / 7 к виду — 3 — 7 , — — 3 7 , — 3 — 7 , тогда аналогично выполняется с дробью вида — 1 + x — x 2 2 2 3 — ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x .

Преобразования выполняются следующим образом:

1 ) — 1 + x — x 2 2 2 3 — ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = — ( — 1 + x — x 2 ) — 2 2 3 — ln x 2 + 3 x + sin 2 x · 3 x = = 1 — x + x 2 — 2 2 3 + ln ( x 2 + 3 ) x — s i n 2 x · 3 x 2 ) — 1 + x — x 2 2 2 3 — ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = — — ( — 1 + x — x 2 ) 2 2 3 — ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = — 1 — x + x 2 2 2 3 — ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x 3 ) — 1 + x — x 2 2 2 3 — ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = — — 1 + x — x 2 — 2 2 3 — ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = — — 1 + x — x 2 — 2 2 3 + ln ( x 2 + 3 ) x — sin 2 x · 3 x

Приведение дроби к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей, мы коснулись основного свойства дробей, которое позволяет умножать, делить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это видно из равенства a · m b · m = a b и a : m b : m = a b , где a , b , m являются натуральными числами.

Это равенство действительно для любых значений a , b , m и всех a , кроме b ≠ 0 и m ≠ 0 . То есть мы получаем, что если числитель дроби А / В с A и C , которые являются некоторыми выражениями, умножить или разделить на выражение M , не равное 0 , тогда получим дробь, тождественно равную начальной. Получаем, что A · M B · M = A B и A : M B : M = A B .

Отсюда видно, что преобразования основываются на 2 преобразованиях: приведении к общему знаменателю, сокращении.

При приведении к общему знаменателю производится умножение на одно и то же число или выражение числитель и знаменатель. То есть мы переходим к решению тождественной равной преобразованной дроби.

Если взять дробь x + 1 0 , 5 · x 3 и умножить на 2 , тогда получим, что новый знаменатель получится 2 · 0 , 5 · x 3 = x 3 , а выражение примет вид 2 · x + 1 x 3 .

Для приведения дроби 1 — x 2 · x 2 3 · 1 + ln x к другому знаменателю вида 6 · x · 1 + ln x 3 нужно, чтобы числитель и знаменатель быль умножен на 3 · x 1 3 · ( 1 + ln x ) 2 . В итоге получаем дробь 3 · x 1 3 · 1 + ln x 2 · 1 — x 6 · x · ( 1 + ln x ) 3

Такое преобразование как избавление от иррациональности в знаменателе также применимо. Оно избавляет от наличия корня в знаменателе, что упрощает процесс решения.

Сокращение дробей

Основное свойство – это преобразование, то есть ее непосредственное сокращение. При сокращении мы получаем упрощенную дробь. Рассмотрим на примере:

Или дробь вида x 3 · x 3 · x 2 · ( 2 x 2 + 1 + 3 ) x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 · 3 + 1 3 · x , где сокращение производится при помощи x 3 , x 3 , 2 x 2 + 1 + 3 или на выражение вида x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 . Тогда получим дробь x 2 3 + 1 3 · x

Сокращение дроби является простым, когда общие множители сразу явно видны. Практически это встречается не часто, поэтому предварительно необходимо проводить некоторые преобразования выражений такого вида. Бывают случаи, когда необходимо находить общий множитель.

Если имеется дробь вида x 2 2 3 · ( 1 — cos 2 x ) 2 · sin x 2 · cos x 2 2 · x 1 3 , тогда необходимо применять тригонометрические формулы и свойства степеней для того, чтобы можно было преобразовать дробь к виду x 1 3 · x 2 1 3 · sin 2 x sin 2 x · x 1 3 . Это даст возможность сократить ее на x 1 3 · sin 2 x .

Представление дроби в виде суммы

Когда числитель имеет алгебраическую сумму выражений типа A 1 , A 2 , … , A n , а знаменатель обозначается B , тогда эта дробь может быть представлена как A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B .

Для этого зафиксируем это A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

Данное преобразование в корне отличается от сложения дробей с одинаковыми показателями. Рассмотрим пример.

Дана дробь вида sin x — 3 · x + 1 + 1 x 2 , которую мы представим как алгебраическая сумма дробей. Для этого представим как sin x x 2 — 3 · x + 1 x 2 + 1 x 2 или sin x — 3 · x + 1 x 2 + 1 x 2 или sin x x 2 + — 3 · x + 1 + 1 x 2 .

Любая дробь, имеющая вид А / В представляется в виде суммы дробей любым способом. Выражение A в числителе может быть уменьшено или увеличено на любое число или выражение А 0 , которое даст возможность прейти к A + A 0 B — A 0 B .

Разложение дроби на простейшие является частным случаем для преобразования дроби в сумму. Чаще всего его применяют при сложных вычислениях для интегрирования.