Как по графику первообразной определить количество решений уравнения

03. В9. На рисунке изображен график первообразной y=F(x) некоторой функции y=f(x), определенной на интервале (-16; -2).

Задача.

На рисунке изображен график первообразной y=F(x) некоторой функции y=f(x), определенной на интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-14;-8].

Решение:

По определению первообразной имеем F′(x) = f(x).

Нас просят найти количество точек, в которых f(x) = 0, то есть F′(x) = 0.

На рисунке изображен график функции у = F(x). Производная этой функции F′(x) равна нулю в точках максимума и минимума.

На отрезке [-14; -8] таких точек всего две — это х₁ = -13 — точка минимума и х₂ = -9 — точка максимума.

Поэтому F′(x) равно нулю в этих точках на отрезке [-14; -8].

Значит, количество решений уравнения f(x) = 0 или что тоже самое F′(x) = 0 будет иметь 2 решения.

Первообразная

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$

Правила вычисления первообразных:

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
2. Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
3. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то $<1>/$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.

Найти первообразную для функции $f(x)=2sin⁡x+<4>/—/<3>$.

Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого

Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$

Для $f_1=sin⁡x$ первообразная равна $F_1=-cos⁡x$

Для $f_2=<1>/$ первообразная равна $F_2=ln⁡|x|$

Для $f_2=cos⁡x$ первообразная равна $F_3=sin⁡x$

По первому правилу вычисления первообразных получаем:

Итак, общий вид первообразной для заданной функции

Задания по теме «Первообразная функции»

Открытый банк заданий по теме первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1164

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac<4+3><2>\cdot 3=10,5.

Ответ

Задание №1158

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Задание №1155

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac<5+3><2>\cdot 3=12.

Ответ

Задание №1149

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.

Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Задание №1146

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Ответ

Задание №907

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).

Ответ

Задание №307

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+18x^2+221x-\frac12 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница S=F(-1)-F(-5).

F(-1)= (-1)^3+18\cdot(-1)^2+221\cdot(-1)-\frac12= -204-\frac12.

F(-5)= (-5)^3+18\cdot(-5)^2+221\cdot(-5)-\frac12= -125+450-1105-\frac12= -780-\frac12.

F(-1)-F(-5)= -204-\frac12-\left (-780-\frac12\right)= 576.

Ответ

Задание №306

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение

F(9)-F(3)=S , где S — площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0 и x=3,\:x=9 . Рассмотрим рисунок ниже.

Данная фигура — трапеция с основаниями 6 и 1 и высотой 2 . Ее площадь равна \frac<6+1><2>\cdot2=7.

Ответ

Задание №104

Условие

На координатной плоскости изображен график функции y=f(x) . Одна из первообразных этой функции имеет вид: F(x)=-\frac13x^3-\frac52x^2-4x+2 . Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение

На рисунке видно, что заштрихованная фигура ограничена по оси абсцисс точками −4, −1 , а по оси ординат графиком функции: f(x) . Значит площадь фигуры мы можем найти с помощью разности значений первообразных в точках −4 и −1 , по формуле определенного интеграла:

Подставим значение первообразной из условия и получим площадь фигуры:

Ответ

Задание №103

Условие

Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2) . Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5] .

Решение

Формула первообразной имеет следующий вид:

По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0 , то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.

Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.

На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6 . Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.