Как по уравнениям высот найти точку пересечения

Даны точки A(5; — 1), B(4; — 8), C(- 4; — 4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Найдём уравнение прямой BC по двум точкам:

= , или y = — x — 6.

Тогда её угловой коэффициент k₁ = — . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту AP, то k₁ . k₂ = — 1. Поэтому

k₂ = — = 2.

Уравнение прямой, содержащей высоту AP треугольника ABC, найдём по точке A(5; — 1) и угловому коэффициенту k₂ = 2:

Найдём уравнение прямой AC по двум точкам:

= , или y = x — .

Тогда её угловой коэффициент k₃ = . Если k₄ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту BQ, то k₄ . k₃ = — 1. Поэтому

k₄ = — = — 3.

Уравнение прямой, содержащей высоту BQ треугольника ABC, найдём по точке B(4; — 8) и угловому коэффициенту k₄ = — 3:

Координаты точки H пересечения высот треугольника ABC найдём, решив систему уравнений, задающих прямые AP и BQ:

Ответ

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Ортоцентр треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Пример

В приведенном ниже примере, O это ортоцентр..

Метод расчета ортоцентра треугольника

Пускай даны точки треугольника A(4,3), B(0,5) и C(3,-6).

Шаг 1

Найдем наклоны сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Наклон обозначим ‘m’.

• Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
• Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
• Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.

Шаг 2

Теперь, давайте вычислим наклон высоты AD, BE и CF который перпендикулярен сторонам BC, CA и AB соответственно. Наклон высоты = -1/наклон противоположной стороны треугольника.

• Наклон AD = -1/наклон BC = 3/11.
• Наклон BE = -1/наклон CA = -1/9.
• Наклон CF = -1/наклон AB = 2.

Шаг 3

После того, как мы нашли наклон перпендикуляров, мы должны найти уравнение линий AD, BE и CF. Давайте найдем уравнение линии AD с точкой (4,3) и наклоном 3/11.
Формула, для нахождения уравнения ортоцентра треугольника = y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

1) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 3x-11y = -21

Кроме того, мы должны найти уравнение линий BE и CF. Уравнение для линии BE с точкой (0,5) и наклоном -1/9 = y-5 = -1/9(x-0)

2) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим x + 9y = 45

Уравнение для линии CF с точкой (3,-6) и наклоном 2 = y+6 = 2(x-3)

3) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 2x — y = 12

Шаг 4

Найдем значение x и y решив 2 любых из 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y (8.05263, 4.10526) которые являются координатами Ортоцентра (o).