Как получить характеристическое уравнение из передаточной функции

Контрольная работа: Передаточные функции одноконтурной системы

Практическая работа № 1

1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.

а) ; б).

2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:

.

1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:

Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).

.

Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.

Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:

A(s) =.

Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого:

, и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y , x и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:

Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).

.

Если обозначить передаточные функции объекта как

и ,

то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.

Характеристическая функция имеет вид:

,

а характеристическое уравнение:

.

Корни этого уравнения равны:

и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:

Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

2. Дана передаточная функция вида:

Зная, что по определению, , получим:

, тогда:

.

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:

.

Практическая работа № 2

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

— передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

— характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

— передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

— коэффициенты усиления АСР,

Р — ПИ-регулятор с ПФ вида ;

дифференциальное уравнение объекта управления:

.

Определим передаточную функцию объекта:

W об( s ) .

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Характеристическое выражение замкнутой системы:

;

Передаточные функции замкнутой системы:

— по заданию;

— по ошибке;

— по возмущению.

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Практическая работа № 3

По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.

DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек

Типовые передаточные функции и характеристическое уравнение

Для описания системы вводят передаточные функции, связывающие определенные входы и выходы.

1. Передаточная функция разомкнутой системы определяется как произведение всех передаточных функций по основному контуру. Она единственная и не зависит от точки размыкания:

2. Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию определяется как отношение изображения выходной координаты (в данном случае – скорости вращения двигателя) к изображению задающего воздействия:

3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию определяется как отношение изображения выходной координаты к изображению возмущающего воздействия (в данном случае – момента нагрузки):

Стандартная схема системы

В целях унификации вводится стандартная структурная схема системы с единичной обратной связью, стандартными обозначениями входов и выходов и типовых передаточных функций.

Рисунок 7.2. стандартная схема системы

1. Передаточная функция разомкнутой системы:

и состоят из сомножителей не выше второго порядка.

– характеристическое уравнение разомкнутой системы, его корни определяют свойства разомкнутой системы.

2. Передаточная функция по задающему воздействию:

Приравниваем знаменатель к нулю, получаем характеристическое уравнение замкнутой системы.

– характеристическое уравнение замкнутой системы, его корни определяют свойства замкнутой системы.

3. Передаточная функция по возмущению:

4. Передаточная функция по ошибке:

Понятие устойчивости

Очень важно изучить поведение системы во времени. В некоторых случаях процессы оказываются расходящимися, что свидетельствует о неустойчивости системы.

Для нормальной эксплуатации система должна быть устойчивой, т.е. после действия возмущения она должна возвращаться в состояние равновесия.

В качестве примера рассмотрим поведение шарика на вогнутой поверхности (желоб), выпуклой поверхности и плоской поверхности.

Устойчивая система (вогнутая поверхность), процесс сходится:

Неустойчивая система (выпуклая поверхность), процесс расходится:

Нейтральная система (горизонтальная поверхность), координата (процесс) остается постоянной.

Эти примеры являются механической аналогией понятия устойчивости. Рассмотрим математическое определение понятия устойчивости.

Система описывается дифференциальным уравнением:

– решение дифференциального уравнения.

–однородное уравнение определяет свободную составляющую решения .

– корни характеристического уравнения.

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения, определяется видом внешней функции;

– постоянные коэффициенты, определяются из начальных условий и полного (общего) решения.

Строго устойчивость определяется в смысле Ляпунова. Для линейных систем с постоянными параметрами считается, что система устойчива, если предел свободной составляющей равен 0

.

Устойчивость — внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от действующих на нее сигналов, поэтому рассматривается только свободная составляющая.

Это есть определение асимптотической устойчивости.

Свяжем требование устойчивости с расположением корней характеристического уравнения:

,

— корни , i=1,2,…,n,

вещественные обозначим ,

комплексные – .

Рассмотрим свободные составляющие соответствующие различным корням.

1. Корень вещественный, положительный:

2. Корень вещественный, отрицательный:

+j

3. Корни комплексные, сопряженные, с положительной вещественной частью:

система неустойчива

4. Корни комплексные, сопряженные, с отрицательной вещественной частью:

система устойчива.

Условием устойчивости является расположение корней характеристического уравнения в левой полуплоскости.

Система на границе устойчивости, если корни на мнимой оси.

Устойчивость – необходимое условие функционирования системы, поэтому в курсе уделяется много внимания методам оценки устойчивости системы.

Синтез регуляторов

Под синтезом понимается отыскание параметров вводимых в систему регуляторов, позволяющих достичь требуемые характеристики технического задания, в том числе по ограничению времени переходного процесса и показателя колебательности.

Идея синтеза линейных систем управления во временной области корневым методом состоит в том, что для структурной схемы системы, представленной, например, на рисунке, составляется характеристический полином, а также по известным требованиям к системе рассчитывается желаемый характеристический полином, после чего коэффициенты полиномов приравниваются и по полученным уравнениям составляются уравнения для определяемых параметров регуляторов.

При заданных структурах корректирующих связей и неизвестных в них параметрах осуществляется описание всей системы в виде дифференциальных уравнений, характеризующих свободное поведение системы

Тогда характеристическое уравнение примет вид:

В выражении коэффициенты a являются функциями синтезируемых параметров. Желаемое характеристическое уравнение для рассматриваемой системы имеет вид:

Все корни λi характеристического уравнения считаются известными и задаются пользователем или автоматически рассчитываются программой. Следовательно, коэффициенты bi уравнения также известны, так как рассчитываются по известным корням уравнения. Тогда уравнения представляются в виде системы уравнений:

Приравнивая полученные уравнения, будут определены значения неизвестных параметров искомой системы:

Таким образом, все неизвестные коэффициенты корректирующих звеньев могут быть получены путём решения системы уравнений. После этого полученные значения подставляются в систему, и выполняется её моделирование. Если результаты моделирования удовлетворяют требованиям, то синтез выполнен успешно. В ином случае возможно внесение изменений в требуемые характеристики системы, состоящие, например, в увеличении времени переходного процесса.

Выбор регулятора
Основным правилом при выборе порядка передаточной функции регулятора является равенство порядка всей системы и количества неизвестных параметров вводимых регуляторов. Кроме того, вводимый регулятор должен иметь как можно меньший порядок. Передаточные функции регуляторов для 0, 1 и 2 порядков имеют вид:

Так, если неизменяемая часть системы имеет 3 порядок и необходимо ввести один регулятор, то его передаточная функция может быть только W22(p), т.к. тогда порядок системы будет равен 3+2 и число неизвестных параметров (B0, B1, B2, A0, A1) также равно 5.

При выборе корней желаемого характеристического уравнения действует следующее правило. Для того, чтобы система стала устойчивой, время переходного процесса которой будет приблизительно равно tпп при колебательности μ, необходимо выбрать доминантный корень в левой полуплоскости

Значение μ выбирается исходя из технических требований. При отсутствии дополнительной информации значение показателя принимается равным 1,6. Начальное значение действительной части α0 рассчитывается следующим образом

Все последующие значения действительной части увеличиваются в 1,5–3,0 раза относительно предыдущего значения, а значение мнимой части пересчитывается согласно значению действительной части.

Пример синтеза простого объекта

На рисунке представлена структурная схема объекта с последовательным корректирующим устройством, требуется обеспечить установление всех процессов за 1 секунду. Порядок системы без введения корректора равен 1. Так как выбирается простейший корректор, порядок которого не увеличит порядок системы, а число неизвестных параметров будет равно общему порядку системы с корректором, следовательно, корректирующее устройство для рассматриваемой системы будет равно W0(p)=K.

По структурной схеме составляется матричная математическая модель системы, которая имеет вид

По матричной математической модели записываются системы дифференциальных и алгебраических уравнений

Выражая выходы звеньев и подставляя их в дифференциальное уравнение, будет получено дифференциальное уравнение и матрица A

В результате выполнения синтеза будет получено значение параметра K, которое равно 0,3.

Пример синтеза сложного объекта

Система с тремя неизвестными регуляторами представлена на рисунке. Требуется определить структуру регуляторов и найти такие их параметры, чтобы переходные процессы завершились за 0,9 секунд.

Тогда выбранные согласно правилам регуляторы представлены в структурной схеме на рисунке

Путем исключения из последующего рассмотрения внешнее воздействие и сумматор, на которое оно действует, будет получена обобщенная структура системы. Полученная система имеет пятый порядок, а число синтезируемых параметров равно 5. Так как порядок системы и число неизвестных параметров равны, то возможно применение синтеза корректирующих устройств.

Матричная математическая модель исследуемой системы имеет вид:

По матричной математической модели составляются дифференциальные уравнения:

По матричной математической модели составляются алгебраические уравнения:

После этого выражаются все сигналы y:

Тогда система дифференциальных уравнений примет вид:

Полученная система дифференциальных уравнений представляется в матричном виде:

На основе матрицы производится синтез. В результате при использовании одного из методов синтеза получены значения: K1 = 17430.482, B1 = -96867.517, A1 = 36.402, B2 = 3726.059, A2 = 2.675.

Получение характеристического уравнения в символьном виде

Для исследуемой системы, представленной на рисунке, получить характеристическое уравнение в символьном виде возможно при помощи следующего подхода.

Дифференциальные уравнения в матричном виде после подстановки zT1 и zT2 для исследуемой системы имеют вид:

В результате нахождения определителя |A-L*E| получено 2 коэффициента характеристического полинома: zT 2+ zT 1 и zT 1* zT 2+ zT 1* K 1* zT 2* K 2. Тогда, выполняя обратную подстановку для zT 1 и zT 2, получен характеристический полином в символьном виде:

Кроме того, характеристический полином может быть получен классическим способом, приравнивая знаменатель передаточной функции замкнутой системы 1+K1K2/(1+pT1)(1+pT2) к нулю.

Получение передаточных функций по структурной схеме

Для исследуемой системы, представленной на рисунке, получить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке в символьном виде можно следующим образом.

Передаточная функция по ошибке (Y3/U) может быть вычислена путём расчёта двух матриц. Для их получения следует записать математическую модель системы без переменных состояния в подматрице алгебраических уравнений. Для динамических звеньев по главной диагонали для выходов записываются знаменатели с обратным знаком, а при входах – числители со своим знаком. Для суммирующих и усилительных звеньев по главной диагонали заносятся –1.

Тогда по условию задачи необходимо определить передаточную функцию следующего вида

Верхний определитель получен путём замены третьего столбца четвёртым, но с обратным знаком. Он отражает передаточную функцию на сумматоре Y3 при подаче воздействия U. Нижний определитель соответствует замкнутой системе. Последовательно решая определители, будет получена передаточная функция замкнутой системы по ошибке в символьном виде: