Как понять однородное уравнение или нет

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение однородным

Делаем замену y → ty , x → tx .

Делим на t 2 .

.
Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.

Метод решения однородного дифференциального уравнения

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)
Делаем подстановку:
y = ux ,
где u — функция от x . Дифференцируем по x :
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение (i).
,
,
(ii) .
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f ( u ) – u ) .

При f ( u ) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:

Интегрируем:

Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:

Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда

Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:

Далее следует рассмотреть случай f ( u ) – u = 0 .
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).

Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g ( x, y ) , то дальнейшие преобразования справедливы при g ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g ( x, y ) = 0 .

Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка

Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ .
,
,
.
Сокращаем на t .

Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.

Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x .
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 .
,
Умножаем на ± dx и делим на .

При u 2 – 1 ≠ 0 имеем:

Интегрируем:

Интегралы табличные,
.

Применим формулу:
( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 .
Положим a = u , .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.

Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .

Умножаем на x и подставляем ux = y .
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.

Теперь рассмотрим случай, u 2 – 1 = 0 .
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-07-2012 Изменено: 24-02-2015

Однородные уравнения и неравенства

Однородные уравнения – это уравнения, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.

Однородные неравенства – это неравенства, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.

Пример. Решить уравнение \(\sin⁡x=\sqrt<3>\cos⁡x\).

Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cos⁡x, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Если \(\cos⁡x=0\), то \(\sin⁡x=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).

Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cos⁡x\)

Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на \(\cos⁡x\), была сделана проверка — является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .

Пример. Решить уравнение \(7\cdot 9^+5\cdot 6^-48\cdot 4^=0\).

Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми.
Представим \(48\cdot 4^\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^\).

Получился классический вид однородного уравнения.
Поделим уравнение на \(4^\) .
Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.

Обратите внимание: \((\frac<3><2>)^2\) \(=\) \(\frac<9><4>\) . С учетом этого сделаем замену.

Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.

Как определить однородное уравнение

Дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции одинакового измерения, то есть

Как определить, что дифференциальное уравнение — однородное? На практике проверку уравнения на однородность проводят следующим образом: вместо каждого x подставляют λx, вместо каждого y — λy. При этом y’, dx и dy не трогают. После этого упрощают уравнение. Если после упрощения удается сократить на λ (или n- ю степень λ) и получить исходное уравнение, то это и означает, что данное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка.

Другая форма записи: y’=f(x;y). Это уравнение является однородным, если функция f(x;y) является однородной функцией нулевого порядка. Это означает, что f(λx;λy)=f(x;y).

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:

Выносим лямбда в квадрате за скобки и сокращаем на него:

Пришли к исходному уравнению, а это значит, что данное уравнение — однородное.

2) (x-y)ydx-x²dy=0.

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy: (λx-λy)λydx-(λx)²dy=0. Теперь выносим общий множитель λ² за скобки: λ²((x-y)ydx-x²dy)=0. Делим обе части уравнения на λ²:

(x-y)ydx-x²dy=0. Пришли к исходному уравнению, значит, это уравнение — однородное. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 2й степени).

Наличие дроби y/x уже косвенно указывает на то, что уравнение может быть однородным. Проверим, так ли это:

После сокращения на λ получаем исходное уравнение:

а это значит, что данное уравнение является однородным.

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:

Делим обе части уравнения на лямбда в 4й степени:

Получили исходное уравнение, а значит, оно является однородным. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 4й степени).