Как посчитать уравнение 3 степени

Кубическое уравнение

Кубическое уравнение имеет вид ax 3 +bx 2 +cx+d=0 , где переменная обязательно должна присутствовать в третьей степени. Если переменная x отсутствует для второй или первой степени, то эти коэффициенты приравниваются к нулю.

Для решения кубического уравнения существует теорема Виета-Кардана, которая предлагает ряд формул, через которые вычисляется количество и значения корней уравнения не только на множестве действительных чисел, но и включая комплексные числа. По теореме Виета-Кардана, нужно рассчитать следующие параметры.

Если параметр S>0 , то данное кубическое уравнение имеет три корня:

Если S , то тригонометрические функции заменяются гиперболическими и корни кубического уравнения вычисляются по гораздо более внушительным формулам.

Кубическое уравнение

Решение кубического уравнения по формуле Виета. Создан по запросу пользователя.

Сегодня выполняем запрос пользователя Решение кубического уравнения.
Канонический вид кубического уравнения:

Решать кубическое уравнение мы будем по формуле Виета.
Формула Виета — способ решения кубического уравнения вида

Соответственно, чтобы привести к этому виду оригинальное уравнение первым шагом все введенные коэффициенты делятся на коэффициент а:

Калькулятор ниже, а описание формулы Виета — под ним

Кубическое уравнение

Кстати сказать, на других сайтах почему-то для решения кубических уравнений используют формулу Кардано, однако я согласен с Википедией в том, что формула Виета более удобна для практического применения. Так что почему везде формула Кардано — непонятно, разве что лень людям Гиперболические функции и Обратные гиперболические функции реализовывать. Ну мне не лень было.

Итак, формула Виета (из Википедии)

Обратите внимание, что по представлению формулы Виета а — второй коэффициент, а коэффициент перед x3 всегда считается равным 1. Калькулятор позволяет ввести а как коэффициент перед х3, но сразу же на него и делит уравнение, чтобы получить 1

Кубическое уравнение

Кубическим уравнением является полиномиальное уравнение третьей степени. Общий вид ax 3 +bx 2 +cx+d=0 , где a ≠ 0.

Кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + сх + d = 0 . В уравнение должно присутствовать х 3 , в противном случае уравнение не будет кубическим, но некоторые или все из В , С и D могут быть равны нулю. Бесплатный онлайн калькулятор для расчета уравнения третьей степени, используется для нахождения корней кубического уравнения.

Например, Введите a=1, b=8, c=16
3 + bx 2 + cx + d = 0

Формула кубического уравнения:

Кубическое уравнение:

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,

где,

• a = коэффициент x 3
• b = коэффициент x 2
• c = коэффициент x
• d = constant.

Формула:

x₁ = -term1 + r₁₃ * cos(q 3 / 3)

x₂ = -term1 + r₁₃ * cos(q 3 + (2 * ∏) / 3)

x₃ = -term1 + r₁₃ * cos(q 3 + (4 * ∏) / 3)

term1 и r13 формула:

q = (3c — b 2 ) / 9

r = (-27d + b(9c — 2b 2 )) / 54

discriminant(Δ) = q 3 + r 2
r₁₃ = 2 * √ (q)

Если discriminant(Δ) > 0 term1 = (b/3.0)

еще

• s = r + √ discriminant(Δ)
• t = r — √ discriminant(Δ)
• term1 = √ (3.0) * ((-t + s) / 2)

Пример:

Вычислить корни (x1, x2, x3) уравнения третьей степени, x 3 — 4x 2 — 9x + 36 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = — 4, c = — 9 и d = 36.

Шаг 2:

Найдем значения q и r

q = ((3*-9) — (-4) 2 ) / 9 = -4.77778

r = (-27*36+(-4)*(9*(-9)-2*(-4) 2 ))/54 = -9.62963

Шаг 3:

Найдем значение дискриминанта, обозначается как знак дельта (Δ)

discriminant(Δ)= q 3 + r 2

discriminant( Δ ) = (-4.77778) 3 + (-9.62963) 2 = -16.3333

Значение дискриминанта меньше 0

Шаг 4:

Найдем term1 и r₁₃

Если Δ term1 = -1.33333

где, q = -q = 4.77778

r₁₃ = 2 * √ 4.77778 = 4.371626

Шаг 5:

Подставляем значения term1 и r₁₃ в формулу кубического уравнения

x₁ = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.77778 3 / 3) = 4

x₂ = -term1 + r₁₃ * cos(q 3 + (2 * ∏) / 3)

x₂ = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.77778 3 + (2 * ∏)/ 3) = -3

x₃ = -term1 + r₁₃ * cos(q 3 + (4 * ∏) / 3)

x₃ = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.77778 3 + (4 * ∏)/ 3) = -3

Шаг 6:

Мы получили корни уравнения, x1 = 4, x2 = -3 и x3 = -3.

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!