Как построить график по уравнению по физике

Построение графиков в курсе физики на основе функциональной заивисимости

Разделы: Физика

Графический метод, основа которого — математика, используется в курсе физики на различных этапах ее изучения. Это естественно, так как график позволяет показать специфику происходящего, прогнозировать ожидаемый результат, наглядно пояснить ответ.

Он используется в физике для формирования и анализа изучаемых физических понятий путем раскрытия их связей с другими понятиями, для решения задач обобщения, систематизации знаний.

Графические задачи делятся на две большие группы:

• Задачи на построение графиков
• Задачи на получение информации из графиков

В свою очередь задачи на построение графиков делятся (по способу задания) на два вида:

• Табличный способ задания зависимости
• Функциональный способ задания зависимости
• Задачи на получение информации из графика делятся (по характеру информации) на три вида:
• Словесное описание процессов
• Аналитическое выражение функциональной зависимости, представленной графиком
• Определение по графику неизвестных величин

Чаще всего при построении графиков на зависимость одних величин от других учащиеся запоминают вид графика, не вдаваясь в подробности, почему он проходит именно так, а не иначе. Когда зависимостей накапливается достаточно много, начинаются ошибки в построении графиков. В своей работе при построении графиков на различные зависимости физических величин я использую функциональный подход. В школьном курсе физики для построения графиков используются всего семь функций. Почти все физические величины положительные, поэтому графики функций будем рассматривать только в первой четверти.

№	Название функции	График
Прямая пропорциональность y = k x
Линейная y = k x + b
Обратная пропорциональность y = k\x
Показательная y = k a x
Функция y =
Квадратичная функция y = ax 2 + b x + c, y = ax 2
Тригонометрическая функция y = k sin x

Графики этих функций учащиеся изучают в курсе математики. Они знают эти графики либо умеют их строить по точкам. Моя задача сводится к тому, чтобы научить учащихся в физической формуле увидеть зависимость, определить ее вид, а затем установить соответствующий график.

Покажу это на примере:

Пример № 1. Необходимо построить график зависимости силы тока от напряжения, которая выражена зависимостью I = . Учащиеся должны понимать, если необходимо построить зависимость силы тока от напряжения, то изменяться будет только напряжение и в зависимости от него сила тока, а остальные величины будут постоянными в частности сопротивление. Тогда нашу функцию (формулу) можно представить в виде . Если R -сопротивление постоянная величина, то и единица, деленная на сопротивление величина постоянная. Заменим эту величину на k, получим I = k U. Определяем вид функции, это прямая пропорциональность. Графиком будет прямая проходящая через начало координат.

Пример № 2. Необходимо построить график зависимости силы тока от сопротивления, которая выражена зависимостью I = . В донном примере изменяться будет сопротивление и в зависимости от него сила тока, а напряжение будет величиной постоянной. Сделаем следующие замены I = y; U = k; R = x; Получим функцию y = k\ x, графиком которой является ветвь гиперболы

Пример № 3. Постройте зависимость периода математического маятника от его длины. Запишем данную зависимость. . Изменяться будет только длина маятника и в зависимости от нее период. Все остальные величины постоянные, сделаем замену. 2 -число; = k; T = y; l = x; . Получим функцию y = 2 и строим ее график

План действий при построении графика физической зависимости:

Записываем аналитическое выражение данной зависимости (Формулу)

Устанавливаем, какие величины являются постоянными, и представляем их в виде коэффициента.

Если необходимо делаем замены: переменную величину обозначаем через x, зависящую через y.

• Определяем вид функции
• Определяем график

Графики прямолинейного движения

Рассмотрим поступательное движение. Когда тело движется поступательно, его координаты изменяются.

Прямолинейное движение – это когда тело движется по прямой. Прямую, вдоль которой движется тело, назовем осью Ox.

Будем отдельно рассматривать:

• движение без ускорения (равномерное), и
• движение с ускорением (неравномерное).

1). Равномерное движение — скорость тела остается одной и той же (т. е. не изменяется). При таком движении ускорения нет: \(\vec =0\).

2). Неравномерное движение — скорость меняется и появляется ускорение.

Пусть ускорение есть и, оно не изменяется: \(\vec =const\). Такое неравномерное движение называют равнопеременным. Чтобы уточнить, увеличивается ли скорость, или уменьшается, вместо слова «равнопеременное» говорят:

• Равноускоренное движение — скорость тела увеличивается.
• Равнозамедленное движение — скорость уменьшается.

Примечание: Когда изменяется скорость, всегда появляется ускорение!

Движение будем изображать графически, используя две перпендикулярные оси.

На графиках будем откладывать:

• по горизонтали — время в секундах.
• по вертикали — координаты тела, или проекции скорости и ускорения.

Для каждого вида движения получим три графика. Графики будем называть так:

1. x(t) – зависимость координаты от времени;
2. v(t) – зависимость проекции скорости от времени;
3. a(t) – зависимость проекции ускорения от времени.

Прочитайте вначале, что такое проекция вектора на ось, это поможет лучше усвоить материал.

Тело покоится, его координата не меняется, а скорость и ускорение отсутствуют

Пусть тело покоится на оси Ox – (рис 1а).
Точкой \(x_<0>\) обозначена координата этого тела. Когда тело неподвижно, его координата не меняется. На графике неизменную координату обозначают горизонтальной линией, расположенной параллельно оси времени (рис. 1б).
\[x=x_<0>\]

Скорость и ускорение неподвижного тела равны нулю:

Из-за этого, графики скорости (рис. 1в) и ускорения (рис. 1г) – это горизонтальные линии, лежащие на оси t времени.

Скорость не меняется — движение равномерное

Разберём равномерное движение в направлении оси (рис. 2а).

Начальная координата тела – это точка \(x_<0>\), а конечная координата — точка \(x\) на оси Ox. В точку «x» тело переместится к конечному времени «t».

Красной стрелкой обозначено направление, в котором тело движется.

Примечание: Тело движется туда, куда направлен вектор его скорости.

Координата возрастает со временем, так как тело движется туда же, куда указывает ось. Поэтому график координаты от времени — это возрастающая прямая x(t) – рис. б).

Уравнение, описывающее изменение координаты выглядят так:

\[ x = x_ <0>+ v \cdot t \]

Скорость на графике рис. в) изображена горизонтальной прямой линией, потому, что скорость остается одной и той же (не изменяется). Уравнение скорости записывается так:

Ускорение рис. г) изображается прямой, лежащей на оси времени, так как ускорения нет. Математики посмотрят на такой график и скажут: «Ускорение равно нулю и не изменяется». Эту фразу они запишут формулой:

Равномерное движение в направлении противоположном оси

Пусть теперь тело движется с одной и той же скоростью в направлении, противоположном оси (рис. 3а).

Так как тело теперь движется против направления оси, то координата тела будет уменьшаться. График (рис 3б) координаты x(t) выглядит, как убывающая прямая линия.

Так как скорость не изменяется, то график v(t) – это горизонтальная прямая.

Тело движется против оси, его вектор скорости направлен противоположно оси Ox. Поэтому проекция скорости будет отрицательной (рис 3в) и на графике v(t) скорость — это горизонтальная прямая, лежащая ниже оси времени.

А график ускорения (рис 3г) лежит на оси времени, так как ускорение нулевое.

Равноускоренное движение в направлении оси, скорость увеличивается

Следующий набор графиков – это случай, когда тело движется вдоль оси Ox с возрастающей скоростью (рис. 4). То есть, мы рассматриваем равноускоренное движение.

Координата «x» теперь изменяется не по линейному, а по квадратичному закону. На графике квадратичное изменение выглядит, как ветвь параболы (рис. 4б). Тело движется по оси и скорость его растет. Такое движение описывается правой ветвью параболы, направленной вверх.

Уравнение, которое описывает квадратичное изменение координаты, выглядит так:

Скорость, так же, растет (рис. 4в). Рост скорости описан наклонной прямой линией – то есть, линейной зависимостью:

\[ v = v_ <0>+ a \cdot t \]

Ускорение есть (рис. 4г) и оно не меняется:

Скорость и ускорение сонаправлены с осью Ox, поэтому их проекции на ось положительны, а их графики лежат выше оси времени.

Примечания:

1). Координата «x» будет изменяться:

• по линейному закону, когда скорость не меняется — остается одной и той же.
• по квадратичному закону, когда скорость будет изменяться (расти, или убывать).

2). Линейный закон – это уравнение первой степени, на графике – наклонная прямая линия.

3). Квадратичный закон – это уравнение второй степени, на графике — парабола.

4). Когда скорость увеличивается, для графика координаты x(t) выбираем правую ветвь параболы, а когда скорость уменьшается – то левую ветвь.

Равноускоренное движение против оси

Если тело будет увеличивать свою скорость, двигаясь в направлении, противоположном оси (рис. 5а), то ветвь параболы, описывающая изменение координаты тела, будет направлена вниз (рис. 5б).

Скорость направлена против оси и увеличивается в отрицательную область. Такое изменение скорости изображаем прямой, направленной вниз (рис. 5в).

Примечание: Чтобы скорость увеличивалась (по модулю), нужно, чтобы векторы скорости и ускорения были сонаправленными (ссылка).

Так как скорость увеличивается, то векторы скорости и ускорения сонаправлены. Но при этом, они направлены против оси, поэтому проекции векторов \(\vec\) и \(\vec\) на ось Ox будут отрицательными. Значит, графики скорости и ускорения будут лежать ниже горизонтальной оси времени.

Ускорение (рис. 5г) не изменяется, поэтому изображается горизонтальной прямой. Но эта прямая будет лежать ниже горизонтальной оси времени, так как ускорение имеет отрицательную проекцию на ось Ox.

Скорость уменьшается — движение равнозамедленное

Когда скорость тела уменьшается с постоянным ускорением, движение называют равнозамедленным. Координата в этом случае изменяется по квадратичному закону. График координаты – это ветвь параболы. Когда скорость уменьшается, координату описываем с помощью левой ветви параболы, с вершиной вверху (рис. 6б).

Примечание: Чтобы скорость уменьшалась по модулю, нужно, чтобы векторы скорости и ускорения были направлены в противоположные стороны (ссылка).

Скорость уменьшается, при этом, скорость направлена по оси. Поэтому, график скорости – это убывающая прямая линия, лежащая выше оси времени (рис. 6в).

А ускорение есть, оно не изменяется и направлено против оси. Поэтому, ускорение отрицательное, его график – это горизонтальная прямая, лежащая ниже оси времени (рис. 6г).

Равнозамедленное движение против оси

Если тело будет двигаться против оси, замедляясь, то график координаты — это левая ветвь параболы, вершиной вниз (рис. 7б).

Скорость вначале была большой, но так как тело замедляется, она падает до нуля. Но тело двигается против оси Ox, поэтому график скорости лежит ниже оси времени (рис. 7в).

Скорость отрицательная. А чтобы она уменьшалась, нужно, чтобы ускорение было направлено противоположно скорости. Поэтому ускорение будет положительным. Значит, график ускорения будет лежать выше оси времени. Так как ускорение не меняется, то его график изображен горизонтальной прямой линией (рис. 7г).

Примечание: Можно вычислить перемещение тела по графику скорости v(t), не пользуясь для этого графиком функции x(t) для координат тела.

Выводы

1). Все, что лежит:

• выше оси t – положительное;
• ниже оси t – отрицательное;
• на горизонтальной оси t – равно нулю.

2). Когда ускорение, или скорость направлены против оси, они будут отрицательными, т. е. будут лежать ниже горизонтальной оси t. Если график ускорения лежит на горизонтальной оси, то ускорение отсутствует (т. е. равно нулю, нулевое).

3). Если скорость не меняется, ускорения нет.

• График x(t) координаты – это прямая линия.
• График v(t) скорости – горизонтальная прямая.
• График a(t) ускорения лежит на оси t.

4). Если скорость растет, ускорение и скорость направлены в одну и ту же сторону.

• График x(t) координаты – это правая ветвь параболы.
• График v(t) скорости – наклонная прямая.
• График a(t) ускорения – горизонтальная прямая.

5). Если скорость уменьшается, ускорение и скорость направлены в противоположные стороны.

• График x(t) координаты – это левая ветвь параболы.
• График v(t) скорости – наклонная прямая.
• График a(t) ускорения – горизонтальная прямая.

Построение графиков движения с помощью Microsoft Office Excel по физике

Исследовательская работа по физике

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ

Автор: Бойко Дмитрий, 10 класс, МБОУ СОШ № 27 Муниципального образования Темрюкский район

Руководитель: , учитель физики МБОУ СОШ № 27 Муниципального образования Темрюкский район

Физический закон и его математическое выраже­ние неотъемлемая, фундаментальная часть изучения физики. Между буквами, обозначающими физические параметры, и математическими знаками существует функциональ­ная зависимость, в которой проявляют­ся причинно-следственные связи между величинами, объединёнными в формулу, и вложен глубокий физический смысл этих величин.

При подготовке к ЕГЭ по физике, первое задание по механике очень часто представлено в виде графиков. Нередка ситуация, когда ученик хорошо справля­ется с расчётными задачами, но оказывается беспо­мощным при решении графических задач, при ана­лизе сущности явления или закона, представленных формулой или графиком, из-за того, что качественные связи в законе не были им изучены или не поняты.

На помощь приходит графический метод обучения физи­ке. Исполь­зование графиков является одним из условий сознательного усвоения учебного материала, выра­ботки более чёткого понимания физических законов. Графическое представление физического процесса делает его более наглядным и тем самым облегчает понимание рассматриваемого явления, способст­вует развитию абстрактного мышления, интуиции, умения анализировать и сравнивать, находить более рациональный способ решения задач. Вопрос об ис­пользовании графиков становится всё более актуаль­ным, т. к. контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по физике содержат до 25% графических заданий. Кроме того, применение графического ме­тода способствует укреплению связей физики с ма­тематикой, наполняет абстрактные математические закономерности конкретным физическим содержа­нием.

Большинство из учеников в совершенстве владеет компьютером. И меня, ученика 10 класса, заинтересовали новые формы получения знаний , а наличие в кабинете физики компьютера и мультимедийного проектора, позволяет регулярно на уроках физики и во внеурочной деятельности использовать компьютерные и интернет – технологии. Я в своей работе изучил вопрос построения графика и получения графических изображений при помощи программы Microsoft Office Excel, и предложить некоторые графические задания по механике, которые можно использовать для проверки уровня знаний.

Я решил провести исследование, насколько результативными будут ответы учащихся, если на уроках применять методику построения простейших графиков и чтение графиков для равномерного (7 класс) движения и равноускоренного движения (10 класс).

Цель и объект исследования:

Создание и применение методики построения графиков движения при помощи программного обеспечения Microsoft Office Excel. Решение учащимися разработанных графиков.

Проблемой исследования является, применение новых информационно-коммуникационных технологий на уроках физики и повышение качества успеваемости учащихся, через знакомство с материалами и результатами исследования.

-изучить и проанализировать литературу по данной теме;

-научиться пользоваться программным обеспечением Microsoft Office Excel ;

-разработать задания для учащихся 7 и 10 классов, провести проверочные работы, сделать анализ полученных результатов;

— разработать памятки для построения графиков для учащихся 7 класса

-разработать рекомендации учителю физики.

-собрать и обобщить предложенный материал для педагогов школы;

— использование программы Microsoft Excel для построения графиков и их интерпретации.

— анализ тестовых и графических заданий для учащихся 7 и 10 класса

-анализ и сопоставление результатов контрольных работ и срезов у учащихся школы во время изучения данного раздела физики.

если при изучении темы по кинематике движения использовать построение графиков равномерного и равноускоренного движения при помощи программы Microsoft Office Excel , то можно ли повысить успеваемость школьников.

Описание исследовательской работы.

I. Практические навыки в построение графиков в Excel.

Как построить график в Microsoft Office Excel? Рассмотрим процесс построения графика функции в Microsoft Office Excel. Открыть программу можно следующим способом, на главной странице компьютера выбрать:

— все программы, найти Microsoft Offi c e затем строчку Microsoft Offi c e Excel 2007, запустить программу.

Откроется окно, содержащие поле для внесения данных. Как видим, Excel представляет собой электронные таблицы, позволяющие производить широкий перечень вычислений.

Для построения графиков равномерного движения, напомним следующие формулы.

Формула пути, пройденного телом при равномерном движении:

где: — скорость движения, S – пройденный путь, t – время движения.

И скорости равномерного движения:

Для учащихся 7 класса, которые с точки зрения изучения математики не проходили еще понятие функции и аргумента, можно предложить следующее объяснение: при заданном значении скорости, значение пути может изменяться только при изменении времени. Тогда в одном столбике забиваем значение t , а в другом зависимость S от t .

Для учащихся старших классов, сразу в ячейке В2 ставим аргумент, в ячейке С2 функцию. Забиваем в столбец B значения t так, чтобы нас устраивал выбранный временной отрезок движения. В ячейку C3 забьём формулу, которую собираемся строить, например, для скорости 2 м/с. Для примера рассмотрим функцию S = 2 ∙ t.

При внесении расчетной формулы в ячейку нужно знать следующее: ф ормулы в Excel всегда начинаются со знака «=».В ячейке, находящейся под формулой пути С3 пишем формулу =2*В3 , обозначающую, что происходит умножение значения υ = 2 м/с на оператор * обозначает умножение. Вводим значение времени, например от 0 до 5.

При нажатии на клавишу Е nter , в ячейке, где забили формулу для вычисления, сразу получен ответ 0. Однако забивать формулу в каждой строке очень неудобно. Создатели Microsoft Excel всё это предусмотрели. Для того, чтобы наша формула появилась в каждой ячейке необходимо «растянуть» её, т. е применить ко всему ряду заданного временного промежутка. Для этого нужно щёлкнуть на ячейке с формулой. В правом нижнем углу ячейки появится маленький квадратик, нужно навести курсор мышки на него (при этом курсор мышки поменяется), нажать праву кнопку и «растянуть» формулу вниз на столько ячеек, сколько вам нужно.

II. Построение графиков.

Чтобы построить полученный график нужно выделить наши полученные значения

В меню выбрать «Вставка», найти слово «Точечная»

На экране появится график равномерного движения .

Можно сделать из этого графика шаблон, который будет использоваться при следующих построениях, для этого в окне «Макет» находим и подписываем название основной горизонтальной и вертикальной оси, название диаграммы; значение скорости 2м/с.

Теперь мы имеем шаблон, в котором можно менять значения скорости, например υ = 5 м/с. Для этого нужно добавить ряд при построении графиков. Результат – два графика на одном поле.

Вывод: При увеличении значения скорости в графике зависимости пути от времени для равномерного движения меняется угол наклона, угол увеличивается.

Для учащихся 10 класса можно усложнить вид графиков. Например, график зависимости координаты от времени при равномерном движении, формула для координаты: х= х ₀ +υt+аt², где: х ₀ – начальная координата, х — конечная координата, t-время, а – ускорение. Построим без значения начальной скорости х ₀=0, υ = 2 м/с, ускорение а = 4м/с,

вводим временные промежутки так, чтобы соединив точки подряд, получили график параболы, т. к. квадратичная зависимость между величинами х= f ( t² ), затем строим график «Точечный», точечная с гладкими кривыми.

Получили график х=2 ∙t +2 ∙t²

При изменении значения начальной координаты х ₀ = — 20 м, все остальные параметры оставим такими же: х=-20+2 ∙t +2 ∙t² , снова построим, для двух графиков сразу.

Вывод: Отрицательное значение начальной координаты смещает график на это значение позиций по оси у вниз.

Аналогично можно сравнить по изменению параметров скорости и ускорения.

Вот таким достаточно простым способом можно строить графики в Microsoft Office Excel. Сохраняя полученные шаблоны можно строить графики, выбрав нужные параметры части электронной таблицы, делать выводы, как влияют изменении набора аргументов функции.

III. Приемы работы с графиками.

Можно учителю предложить следующие приёмы работы с гра­ фиками, которые образуют целостную систему:

Ø работа с предложенными графиками,

Ø решение задач графическим способом,

Ø графическое отображение результатов измерений при выполнении лабораторных работ

Работая с графиками м ожно:

— определять функциональную зависимость между предложенными физическими величинами;

— находить по значению известной величины зна­чение неизвестной;

— объяснять особенности протекания физического процесса, для которого построен график;

— выявлять сходство и различия при сравнении графиков;

— составлять таблицу значений соответствующих физических величин по их графической зависимости;

— идентифицировать вид движения, для которого постро­ен график.

Все задачи, решаемые графически, можно условно разделить на несколько типов по методу решения:

Ø графическое решение уравнений (ответ даётся точками пересечения кривых);

Ø графическая оценка (определение условий, при которых наблюдается наибольшее или наименьшее физическое действие);

Ø графическое интегрирование (ответ даётся вели­чиной площади фигуры, ограниченной кривой, орди­натами крайних точек и осью абсцисс);