Как построить график тригонометрического уравнения

Графики сложных тригонометрических функций

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 20 города Йошкар-Олы»

город Йошкар-Ола, улица Анциферова, дом 29,

Графики сложных тригонометрических

ученица 10А класса

1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3. Методы построения графиков сложных тригонометрических функций.

3.1. Построение графиков с помощью компьютерных программ.

3.2. Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры.

Функция выражает зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний химия, физика, биология, социология и др. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи между этими объектами в реальном мире. Впервые функция вошла в математику под именем “переменная величина”, в труде французского математика и философа Рене Декарта в 1637 году. Сам термин “функция” впервые встречается в рукописи немецкого математика и философа Г. Лейбница. Леонард Эйлер ввёл принятые сейчас обозначения для функций. Сложный, очень длительный путь развития понятия функции. С ним связаны имена , Л. Дирихле, Г. Кантора. Сейчас многие науки берут на вооружение математический аппарат. Такие функциональные зависимости, например, возраст деревьев, развитие папоротника изучает наука биология. Функции помогают описывать процессы механического движения тел небесных и земных. С помощью них учёные рассчитывают траектории движения космических кораблей и решают множество технических проблем. Наряду с другими функциями тригонометрические занимают важное место. Тригонометрия возникла из практических нужд человека. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер. Почему летом жарко? Многие считают, что летом жарче, так как Земля находится ближе всего к солнцу, но это не так. Орбита Земля – это почти круг, в центре которого находится солнце, и расстояние от Земли меняется незначительно из месяца в месяц. Всё дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты. Зимой солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом солнце приближается к зениту, лучи его падают почти отвесно. Поток солнечной энергии одинаков во все времена. Он зависит от угла падения лучей. Меняется угол падения и меняется доля солнечной энергии. Зависимость солнечной энергии от угла падения лучей и выражает график y = sinx.

В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры за 10 класс. Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной работы.

Основной целью написания данной работы является представление общих методов построения графиков сложных тригонометрических функций.

• Проанализировать материал учебника “Алгебра и начала математического анализа 10-11”

• Рассмотреть способы и примеры построения графиков сложных геометрических функций

• Предложить одноклассникам творческую работу – составить функцию и построить её график

1. Определение синуса и косинуса

Синус, одна из тригонометрических функций, обозначение sin. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе. Инд. математики синус обозначали словом «джива» (букв. — тетива лука). Арабы переделали этот термин в «джиба», который в дальнейшем превратился в «джайо» — обиходное слово арабского языка, означающее изгиб, пазуха, складка одежды, что соответствует латинскому слову sinus.

Косинус (новолат. cosinus, сокращение от complementi sinus — синус дополнения), одна из тригонометрических функций; обозначение cos. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе.

Тангенс (от лат. tangens — касающийся), одна из тригонометрических функций; обозначение tg. Т. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к катету, прилежащему к этому углу.

Котангенс (новолат. cotangens, сокращение от complementi tangens — тангенс дополнения), одна из тригонометрических функций, обозначение ctg. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к противолежащему катету.

Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе) Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе) Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему) Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему) Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету) Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету)

3.Способы построения графиков сложных тригонометрических функций

3.1. Построение графиков с помощью компьютерных программ.

Построение графика функции в Excel.

Даны функция y = f(x) и отрезок [a, b]. Шаг h=0,1. Построить график этой функции на заданном отрезке, используя табличный процессор.
Пусть f(x) = x • cos(x); a = —10; b = 10.
Для решения задачи воспользуемся ЭТ MS Excel.
Решение состоит из двух шагов:
1) протабулировать заданную функцию на заданном отрезке, т. е. вычислить ее значения с заданным шагом.
Занесем начало и конец отрезка в отдельные ячейки, чтобы при необходимости можно было изменить начало и конец отрезка. В один из столбцов поместим значения аргумента, в другой — значения функции. Ниже приведено начало таблицы в режиме отображения формул.

2) Получив необходимые значения, переходим собственно к построению графика. Для этого воспользуемся мастером диаграмм. Из всех диаграмм наиболее подходящей представляется точечная.
Ниже приведены серия рисунков, иллюстрирующих процесс (шаги) построения графика, и фрагмент таблицы, содержащей конечный результат.

3.2. Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции.

При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана.

1. Найти область определения и область значений функции.

2. Выяснить, является ли функция четной (нечетной).

3. Выяснить, является ли функция периодической.

4. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.

5. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.

6. Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут существовать экстремумы.

7. Найти промежутки монотонности функции.

8. Определить экстремумы функции.

9. Вычислить вторую производную f(x)

10. Определить точки перегиба.

11. Найти промежутки выпуклости функции.

12. Найти асимптоты графика.

13. Найти значения функции в нескольких контрольных точках.

14. Построить эскиз графика функции.

1. y=

y===

a) Если sin x˃0, то y=2 cos x │sin x│

Решение тригонометрических уравнений графически

Уравнения, с которыми приходится сталкиваться при решении практических задач, как правило, значительно отличаются от тех, которые мы рассматривали. Для таких уравнений иногда вообще нельзя указать никакого способа, который позволял бы найти корни абсолютно точно. В таком случае приходится ограничиваться нахождением лишь приближенных значений корней. Современная математика располагает эффективными методами приближенного решения уравнений. Рассмотрим графический способ решения.

Пусть, например, нужно решить уравнение

На одном и том же рисунке начертим два графика: график функции y = sin х и график функции у = 1 — х

Эти графики пересекаются в одной точке М. Абсцисса этой точки и дает нам единственный корень нашего уравнения:

Для уточнения полученного результата полезно использовать тригонометрические таблицы или компьютерные программы. При х = 0,5

следовательно, sin х 1 — х. Но тогда, как легко понять из того же рисунка, искомый корень x₀ должен быть меньше, чем 0,6. Теперь уже мы знаем, что x₀ находится в интервале [0,5; 0,6]. Поэтому с точностью до 0,1

С помощью таблиц можно найти приближенное значение x₀ и с точностью до 0,01. Разделим интервал [0,5; 0,6] пополам. В средней точке (x = 0,55) этого интервала

Графики функций у = tg x /₂ и у = 2 — х пересекаются в бесконечном числе точек. Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней. Найдем, например, наименьший положительный корень х₀. Этот корень является абсциссой точки пересечения графиков. Примерно он равен 1,2.

Чтобы найти этот корень точнее, воспользуемся таблицами тангенсов В. М. Брадиса (или рассчитаем соответствующие значения в программе «Kалькулятор» или «Excel»). Выпишем значения функций у = tg x /₂ и у = 2 — х в окрестности точки х = 1,2.

Как видно из этой таблицы, при переходе от значения х = 1,2 к значению х = 1,3 разность tg x /₂ — (2 — х) меняет свой знак на противоположный (с — на +). Значит, в нуль эта разность обращается где-то между значениями 1,2 и 1,3. Следовательно, с точностью до 0,1 х₀ ≈ 1,2 (с недостатком) или х₀ ≈ 1,3 (с избытком). Используя таблицу тангенсов, можно найти и приближенное значение этого корня
с точностью до 0,01. Для этого рассмотрим значение х = 1,25, являющееся средним значением чисел 1,2 и 1,3. При х = 1,25

Алгебра

План урока:

Синус и косинус угла на единичной окружности

Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:

С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что

ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4

Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:

АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3

Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:

tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)

Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты х_А и у_А:

Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:

Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле

Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда

АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα

С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате у_А. Получается, что у_А = АВ = sinα, или

Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:

Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате х_А, мы получим следующее:

х_А = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα

то есть координата х_А равна cos α:

Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.

Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:

Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 1 I и II четверть