Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности
п.1. Понятие уравнения с двумя переменными
Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm
Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.
Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm<\frac1x>\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).
п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения
Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции
Симметричное отображение относительно оси OY
Симметричное отображение относительно оси OX
Центральная симметрия относительно начала координат
Параллельный перенос графика на a единиц вправо
Параллельный перенос графика на a единиц влево
Параллельный перенос графика на b единиц вниз
Параллельный перенос графика на b единиц вверх
Сжатие графика к оси OY в a раз
Сжатие графика к оси OX в b раз
F(x; by) = 0
0 Например:
Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$
п.4. Примеры
Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm
б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm
в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm
г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm
Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm
Строим график для \( \mathrm
б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.
в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.
г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).
д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.
Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.
Как построить график уравнения с двумя неизвестными
В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения `2x+5=0`, `3x+(8x-1)+9=0` являются линейными уравнениями с переменной `x`. Уравнение, содержащее переменные `x` и `y`, называется уравнением с двумя переменными. Например, уравнения `2x-3=5`, `x^2+xy-y^2=7` являются уравнениями с двумя переменными.
Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` — некоторые числа.
Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`. Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.
Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.
Если `x=0`, то `y=2`; если `y=0`, то `x=2/3`; если `x=1`, то `y=-1`.
Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` — любое число, является решением уравнения.
Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` — любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)` (см. рис. 1).
Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.
На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.
Рассмотрим теперь уравнение `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.
Рассмотрим уравнение `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.
Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.
Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.
Пусть теперь `x =0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При `x =0`, `y =0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|` получается зеркальным отражением относительно оси `Ox` графика функции `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.
Решение систем уравнений
Содержание:
Графический метод решения систем уравнений
Вспоминаем то, что знаем
Что такое график уравнения с двумя неизвестными?
Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?
Решите графическим методом систему линейных уравнений:
Открываем новые знания
Решите графическим методом систему уравнений:
Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту
В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.
Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Начнём с графического метода
Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.
Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.
Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Примеры с решением
Пример 1:
Решим систему уравнений:
Построим графики уравнений 
Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).
Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).
Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.
Ответ: (2; 5) и (-1; 2).
Пример 2:
Выясним количество решений системы уравнений:
Построим графики уравнений 
Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.
Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.
Ответ: Два решения.
Решение систем уравнений методом подстановки
Вспоминаем то, что знаем
Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.
Решите систему линейных уравнений методом подстановки:
Открываем новые знания
Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?
Решите систему уравнений методом подстановки:
Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?
Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?
Ранее вы решали системы уравнений первой степени.
Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.
Пример 3:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим х из уравнения 
Подставим найденное выражение в первое уравнение:
Решим полученное уравнение:
Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.
Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.
Пример 4:
Решим систему уравнений:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим у из линейного уравнения:
Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:
После преобразований получим:
Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).
Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».
Пример 5:
Подставим во второе уравнение 
тогда его можно переписать в виде:
Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:
Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:
Корни этого уравнения: 
.
Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.
Пример 6:
Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:
.
Корни этого уравнения: 
Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:
1) 
2) 
, получим уравнение 
корней нет.
Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.
Пример 7:
Решим систему уравнений:
Обозначим 
Второе уравнение системы примет вид:
Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:
Осталось решить методом подстановки линейные системы:
Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями
Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:
1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;
2) решают полученную систему;
3) отвечают на вопрос задачи.
Пример 8:
Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — 
см.
Воспользуемся теоремой Пифагора: 
Решим систему. Выразим из первого уравнения у:
Подставим во второе уравнение:
Корни уравнения: 
Найдём 
С учётом условия 
получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.
Пример 9:
Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.
Пусть х — первое число, у — второе число.
Тогда: 
— произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.
Вычтем из второго уравнения первое. Получим:
Дальше будем решать методом подстановки:
Подставим в первое уравнение выражение для у:
Корни уравнения: 
(не подходит по смыслу задачи).
Найдём у из уравнения:
Получим ответ: 16 и 7.
Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение 
симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид 
, то есть не меняется. А вот уравнение 
не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид 
, то есть меняется.
Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.
Например, если в системе уравнений
переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:
Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.
Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:
Сначала научитесь выражать через неизвестные 
выражения:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
http://zftsh.online/articles/5720
http://natalibrilenova.ru/reshenie-sistem-uravnenij/