Как построить графики уравнений в физике

Построение графиков в курсе физики на основе функциональной заивисимости

Разделы: Физика

Графический метод, основа которого — математика, используется в курсе физики на различных этапах ее изучения. Это естественно, так как график позволяет показать специфику происходящего, прогнозировать ожидаемый результат, наглядно пояснить ответ.

Он используется в физике для формирования и анализа изучаемых физических понятий путем раскрытия их связей с другими понятиями, для решения задач обобщения, систематизации знаний.

Графические задачи делятся на две большие группы:

• Задачи на построение графиков
• Задачи на получение информации из графиков

В свою очередь задачи на построение графиков делятся (по способу задания) на два вида:

• Табличный способ задания зависимости
• Функциональный способ задания зависимости
• Задачи на получение информации из графика делятся (по характеру информации) на три вида:
• Словесное описание процессов
• Аналитическое выражение функциональной зависимости, представленной графиком
• Определение по графику неизвестных величин

Чаще всего при построении графиков на зависимость одних величин от других учащиеся запоминают вид графика, не вдаваясь в подробности, почему он проходит именно так, а не иначе. Когда зависимостей накапливается достаточно много, начинаются ошибки в построении графиков. В своей работе при построении графиков на различные зависимости физических величин я использую функциональный подход. В школьном курсе физики для построения графиков используются всего семь функций. Почти все физические величины положительные, поэтому графики функций будем рассматривать только в первой четверти.

№	Название функции	График
Прямая пропорциональность y = k x
Линейная y = k x + b
Обратная пропорциональность y = k\x
Показательная y = k a x
Функция y =
Квадратичная функция y = ax 2 + b x + c, y = ax 2
Тригонометрическая функция y = k sin x

Графики этих функций учащиеся изучают в курсе математики. Они знают эти графики либо умеют их строить по точкам. Моя задача сводится к тому, чтобы научить учащихся в физической формуле увидеть зависимость, определить ее вид, а затем установить соответствующий график.

Покажу это на примере:

Пример № 1. Необходимо построить график зависимости силы тока от напряжения, которая выражена зависимостью I = . Учащиеся должны понимать, если необходимо построить зависимость силы тока от напряжения, то изменяться будет только напряжение и в зависимости от него сила тока, а остальные величины будут постоянными в частности сопротивление. Тогда нашу функцию (формулу) можно представить в виде . Если R -сопротивление постоянная величина, то и единица, деленная на сопротивление величина постоянная. Заменим эту величину на k, получим I = k U. Определяем вид функции, это прямая пропорциональность. Графиком будет прямая проходящая через начало координат.

Пример № 2. Необходимо построить график зависимости силы тока от сопротивления, которая выражена зависимостью I = . В донном примере изменяться будет сопротивление и в зависимости от него сила тока, а напряжение будет величиной постоянной. Сделаем следующие замены I = y; U = k; R = x; Получим функцию y = k\ x, графиком которой является ветвь гиперболы

Пример № 3. Постройте зависимость периода математического маятника от его длины. Запишем данную зависимость. . Изменяться будет только длина маятника и в зависимости от нее период. Все остальные величины постоянные, сделаем замену. 2 -число; = k; T = y; l = x; . Получим функцию y = 2 и строим ее график

План действий при построении графика физической зависимости:

Записываем аналитическое выражение данной зависимости (Формулу)

Устанавливаем, какие величины являются постоянными, и представляем их в виде коэффициента.

Если необходимо делаем замены: переменную величину обозначаем через x, зависящую через y.

• Определяем вид функции
• Определяем график

Как построить графики уравнений в физике

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики по кинематике.

Задача на составление описания движения и составление уравнения движения по заданному графику движения

Дано: график движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. составить уравнение движения тела.

Проекцию вектора скорости определяем по графику, выбрав любой удобный для рассмотрения отрезок времени.
Здесь удобно взять t=4c

Составляем уравнение движения тела:

Записываем формулу уравнения прямолинейного равномерного движения.

Подставляем в нее найденный коэффициент V_x (не забываем о минусе!).
Начальная координата тела (X_о) соответствует началу графика, тогда X_о=3

Составляем описание движения тела:

Желательно сделать чертеж, это поможет не ошибиться!
Не забываем, что все физические величины имеют единицы измерения, их необходимо указывать!

Тело движется прямолинейно и равномерно из начальной точки X_о=3м со скоростью 0,75 м/с противоположно направлению оси X.

Задача на определение места и времени встречи двух движущихся тел (при прямолинейном равномерном движении)

Движение тел задано уравнениями движения для каждого тела.

Дано:
1. уравнение движения первого тела
2. уравнение движения второго тела

Найти:
1. координату места встречи
2. момент время (после начала движения), когда произойдет встреча тел

По заданным уравнениям движения строим графики движения для каждого тела в одной системе координат.

Точка пересечения двух графиков движения определяет:

1. на оси t — время встречи ( через сколько времени после начала движения произойдет встреча)
2. на оси X — координату места встречи (относительно начала координат)

В результате:

Два тела встретятся в точке с координатой -1,75 м через 1,25 секунд после начала движения.

Для проверки полученных графическим способом ответов можно решить систему уравнений из двух заданных
уравнений движения:

Для тех, кто почему-то забыл, как построить график прямолинейного равномерного движения:

График движения — это линейная зависимость ( прямая), строится по двум точкам.
Выбираем два любых удобных для простоты расчета значения t₁ и t₂.
Для этих значений t подсчитываем соответствующие значения координат X₁ и X₂.
Откладываем 2 точки с координатами (t₁, X₁) и (t₂, X₂) и соединяем их прямой — график готов!

Задачи на составление описания движения тела и построение графиков движения по заданному уравнению прямолинейного равномерного движения

Задача 1

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Заданное уравнение сравниваем с формулой и определяем коэффициенты.
Не забываем делать чертеж, чтобы еще раз обратить внимание на направление вектора скорости.

Задача 2

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 3

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 4

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Тело находится в состоянии покоя в точке с координатой X=4м (состояние покоя — это частный случай движения, когда скорость тела равна нулю).

Задача 5

Дано:
начальная координата движущейся точки xo=-3 м
проекция вектора скорости Vx=-2 м/с

Найти:
1. записать уравнение движения
2. построить график движения
3. показать на чертеже векторы скорости и перемещения
4. найти координату точки через 10 секунд после начала движения

Как построить графики уравнений в физике

Графическое представление равномерного прямолинейного движения

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:

V (t) — изменение скорости со временем

S(t) — изменение перемещения (пути) со временем

a(t) — изменение ускорения со временем

За висимость ускорения от времени. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) — прямая линия, которая лежит на оси времени.

Зависимость скорости от времени. Так как тело движется прямолинейно и равномерно ( v = const ), т.е. скорость со временем не изменяется, то график с зависимостью скорости от времени v(t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника АОВС под графиком, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Правило определения пути по графику v(t): при прямолинейном равномерном движении модуль вектора перемещения равен площади прямоугольника под графиком скорости.

Зависимость перемещения от времени. График s(t) — наклонная линия :

Из графика видно, что проекция скорости равна:

Рассмотрев эту формулу, мы можем сказать, чем больше угол, тем быстрей движется тело и оно проходит больший путь за меньшее время.

Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.

Неравномерное прямолинейное движение.

Равномерное движение это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным или переменным движением.

Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости.

Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.

В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt:

Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.

Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке.

Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением.

Ускорение — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле:

V_x — Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

V_x o — Начальная скорость тела

a_x — Ускорение тела

t — Время движения тела

Ускорение показывает, как быстро изменяетcя скорость тела. Если ускорение положительно, значит скорость тела увеличивается, движение ускоренное. Если ускорение отрицательно, значит скорость уменьшается, движение замедленное.

Единица измерения ускорения в СИ [м/с 2 ].

Ускорение измеряют акселерометром

Уравнение скорости для равноускоренного движения: v_x = v_xo + a_xt

Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равноускоренном движении):

S_x — Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой

V_x o — Начальная скорость тела

V_x — Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

a_x — Ускорение тела

t — Время движения тела

Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:

— если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.

— если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения

Графическое представление неравномерного прямолинейного движения

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:

V(t) — изменение скорости со временем

S(t) — изменение перемещения (пути) со временем

a(t) — изменение ускорения со временем

Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость скорости от времени. При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости v_x = v_xo + a_xt . Графиком является наклонная линия.

Правило определения пути по графику v(t): Путь тела — это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.

Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела — это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости:

В координатах зависимость имеет вид: