Как построить логарифмическую спираль уравнение

Исследовательская работа:» Логарифмическая спираль.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ «СОШ №1 им. Героя Советского Союза

П.В. Масленникова ст. Архонская».

учащийся 10 «А» класса

Архимед (287 г. до н. э. — 212г. до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз (остров Сицилия). Он сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.

Архимедова спираль была открыта Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.

Архимедову спираль использовали в древности, как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга.

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность — винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции.

Определение спирали Архимеда

Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.

Построение спирали Архимеда

Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, отметим на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда.

Построим из центра спирали окружность, радиус которой равен шагу спирали. Шаг спирали Архимеда равен расстоянию, которое проходит точка по поверхности круга за один его полный оборот.

Разделим окружность на несколько равных частей с помощью прямых линий. На первой линии откладываем одно деление, на второй-два деления, на третьей-три деления и т. д. Затем чертим соответствующее число дуг из центра окружности, проходящих через первое деление,2-ое и т. д.

Расстояния витков правой спирали, считая по лучу, равны ,а расстояния соседних витков, равны.

Уравнение Архимедовой спирали имеет вид:

В полярных координатах кривая может быть записана как

,

где — угол отклонения точки от нуля, r — радиус-вектор точки, a — коэффициент, отвечающий за расстояние между витками, b — коэффициент, отвечающий за густоту витков.

В параметрической форме может быть записана как

где a , b — действительные числа, t — аналог в выражении в полярный координатах

Полярный угол мы отсчитываем от полярной оси, считая его положительным против часовой стрелки.

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (красная линия).

Полярный радиус-вектор мы будем брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом , а во втором в противоположном направлении.

Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом (1638 г., опубликовано в 1657 г). Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Отсюда и название равноугольная. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и второе название: логарифмическая спираль. Независимо от Декарта она была открыта Э. Торричелли в 1644 г. Свойства логарифмической спирали исследовал Я. Бернулли (1692 г.). Её название предложено П. Вариньоном (1704 г.).

Определение логарифмической спирали

Логарифмическая спираль — кривая, которая пересекает все лучи, выходящие из одной точки О, под одним и тем же углом.

Основные свойства логарифмической спирали

1.Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра .

2.Параметр m определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда =0 спираль вырождается в окружность радиуса . Наоборот, когда стремится к бесконечности ( спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали.

3.Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.

4. Если угол возрастает или убывает в арифметической прогрессии, то возрастает (убывает) в геометрической.

5.Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения параметра a и привести уравнение к виду r=, где — новый параметр.

6. Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее начала до этой точки.

Логарифмическая спираль в природе.

Логарифмическая спираль — единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Царство животных предоставляет нам примеры спиралей раковин, улиток и моллюсков.

Все эти формы указывают на природное явление: процесс накручивания связан с процессом роста. В самом деле, раковина улитки — это не больше, не меньше, чем конус, накрученный на себя. Если мы внимательно посмотрим на рост раковин и рогов, то заметим еще одно любопытное свойство: рост происходит только на одном конце. И это свойство сохраняет форму полностью уникальную среди кривых в математике, форму логарифмической, или равноугольной спирали.

Галактики, штормы и ураганы дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей.

И наконец, в любом месте, где есть природное явление, в котором сочетаются расширение или сжатие с вращением появляется логарифмическая спираль.

В растительном мире примеры еще более бросаются в глаза, потому что у растения может быть бесконечное число спиралей, а не только одна спираль у каждого.

Расположение семечек в любом подсолнечнике, чешуек в любом ананасе и другие разнообразные виды растений, простые ромашки… дают нам настоящий парад переплетающихся спиралей.

Логаpифмическую спиpаль называют самой кpасивой из математических кpивых. Эта спиpаль встpечается в пpиpоде уже миллионы лет, ведь это единственная математическая кpивая, следующая фоpме pоста, выpаженной в “чудесной спиpали” (Spira Mirabilis), котоpую обычно называют pаковиной наутилуса. Две части этой спиpали могут отличаться pазмеpами, но никак не фоpмой. У этой спиpали нет пpедельной точки.

Упражнения

1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .

2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

.

4. Докажите, что уравнение

задает эллипс, если 0 > 1.

5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = .

8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | |.

10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

Как построить логарифмическую спираль уравнение

Сергей А. Алферов

Так получилось, что второй раз я вошел в Сад Золотой пропорции как раз через «модуль качания». «Модуль качания» – это пара прямоугольных треугольников, стоящих на едином катете, таких, что гипотенуза одного равна катету другого. Когда их представляешь схемой с единым катетом в основании и другими катетами по бокам, то получается, что катет-гипотенуза «качается» на одной точке.

Качаясь то на одном, то на другом конце общего катета, модуль возрастает вверх до бесконечности, образуя некую «линию углов»; или уходит вниз, но до определенного «начала», до угла « a ₀» конкретной «линии качания». Модуль качания по его смыслу оказался модулем определенной пирамиды… И эта тропа повела дальше очень далеко.

Мы здесь остановимся, приведя формулы углов некоторых «линий качания» и уйдем по тропе спиралей. Вот формулы углов 3-х самых знаменитых «линий качания», последовательно уменьшающихся от « a ₀» с возрастанием «i». Движение их еще пригодится нам…

39 °A₂=32,2 °… (A₀’=90 ° -54 ° =36 ° )Линия-2:B₀=51,8 °B₁=38,2 °B₂=31,7 ° ( j )B₃=27,7 °

Когда рисовалась первая последовательность «качающихся треугольников», так вышло, что исходный модуль (с углами « a ₀— a ₁») оказался самым удивительным из всех возможных модулей. Пересеченные его гипотенузы образуют ортогональные оси, по которым развивается «Золотая спираль». Этот модуль образует пирамиду «Золотой спирали». Пирамида Хеопса с множеством найденных к настоящему времени замечательных соотношений своей геометрии – это и есть пирамида «Золотой спирали»… Но вернемся снова к теме сегодняшней (и постараемся больше не отвлекаться).

Итак, перед нами лежит модуль с углами «В₀-В₁», тангенсы которых равны соответственно Ц j ₂ и Ц j ₁. Это – начало спирали. Проводя от пиков модуля горизонтальные (или вертикальные) отрезки до пересечения с ее осями, мы получаем основу спирали. Смотрите.

На схеме постоянно возникают эти углы, и на отрезках образуются золотые пропорции. a’ + a = c и a: c = 0,618, тогда a’: a = 0,618.

И точно также b’: b = 0,618. Или можно так доказать золотое сечение в нашей спирали: a: a’ = (a:b’)(b’:a’) = 0,786х0,786 = 0,618 Примечательно — c’ = a и d = b.

А «c». чему оно равняется дальше по порядку. Посмотрите на чертёж. Она равняется следующему значению «А’» на оси «А» от центра до очередного угла.

И этот порядок, раскручиваясь, уходит дальше в бесконечность. Это спираль с коэффициентом изменения отрезков от перпендикуляра к перпендикуляру k= Ц 0,618 = 0,786 при «скручивании» и k= Ц 1,618 = 1,272 при раскручивании.

И при этом всегда сторона собственно спирали (гипотенуза) равна отрезку оси на следующем по возрастанию шаге. Как она красиво, гармонично развивается! Мало того, отрезок, соединяющий вершины наших треугольников ( a ₀ и a ₁), делит угол отходящего витка спирали к оси, равный тем же 51,8 ° , ровно пополам (2х25,9 ° ).

Ничего такого нет ни в одной другой спирали. Она по праву может называться «золотой спиралью»; а не j -спираль, коэффициент которой равен 1,618/0,618, которая просто отрабатывает угол j и у которой как и у всех остальных спиралей d № b

Ладно, пусть пока все на этом остается. Надо бы дальше посмотреть. Давай-ка выпишем ряд значений, развивающихся с коэффициентом этой спирали:

Конечно, аналогичный ряд с коэффициентом 1,272/0,786 может быть построен от любого числа. «Для удобства» мы остались в ряду золотой пропорции. И для нашей схемы мы можем взять из него подряд любые 5 членов, чтобы получить значения разворачивающейся спирали:

А теперь пойдем к нашим спиралям со стороны рядов Фибоначчи.

Посмотрите на сходящийся в ноль ряд Фибоначчи с коэффициентом j ₁ между членами ряда, например: 2 — 1,236 — 0,764 — 0,472 — 0,292 — 0,180 — 0,111 -…

Можно записать это свойство так для 3-х последовательных членов:

Если продолжить дальше суммирование последовательных членов этого ряда, то можно заметить в этом процессе некоторые обобщения для него:

— степень числа « j ₁» равна сумме б’ольших степеней через одну, начиная со следующей:

— степень числа « j ₁» равна сумме б’ольших степеней, начиная с после-следующей:

Конечно же, интересно, а чему равна предельная сумма такого ряда?

Предыдущие суммирования (но вы это не делайте, потому что ниже увидим общие формулы) позволяют увидеть общую сумму для верхнего частного ряда: 5,236 = 2 + 3,236 = …

И при любом начальном a₀: .

Эти ряды представляют собой геометрическую прогрессию. А убывающая геометрическая прогрессия как раз является, как известно, сходящимся рядом с суммой: . Можно проверить и получить верхние формулы.

Интересно, как графически выглядит этот сходящийся ряд. Давайте посмотрим это не в линии, а на плоскости, как схождение в точку 4-х одинаковых j -рядов Фибоначчи. Образуется некая плоскость, в которой линии встречающихся рядов образуют «характерный узор».

Каждая геометрическая прогрессия имеет свою подобную плоскость. И эта плоскость формирует в себе определенную логарифмическую спираль (далее без определительного прилагательного будем говорить именно о ней), задает спираль. Эта спираль размещается в своей плоскости по центру, но с произвольным поворотом (под любым углом). (А как размещать ее точно по центру, мы увидим дальше.) На любых центральных лучах она будет отсекать отрезки, относящиеся по одному множителю – основанию (коэффициенту) спирали, отсекать шкалу значений степени этого основания. Сама такая плоскость раскрывает в себе идею спирали, содержит спираль. Поэтому будем называть эту плоскость логарифмической или спиральной. В спиральной плоскости возникает определенная «геометрия», которая выражает свойства логарифмической спирали. Во всяком случае, их легко здесь наблюдать… Вы можете даже наблюдать на «спиральных плоскостях» той или иной крутизны рельеф пересекающихся крестом долин. А спираль поднимается из бесконечно глубокого пересечения долин, каждый раз опираясь по порядку на один из 4-х гребней. Пройдя по одному гребню «серых квадратов», спираль перелетает через пропасть, чтобы опереться на следующий.

Внизу на левом верхнем рисунке — круговая j -спираль, разворачивающаяся из 0-области. Сворачивающий коэффициент j -спирали q=0,618. и здесь он соответствует cоотношению сторон этих интересных «сереньких квадратиков».

На левом нижнем рисунке аналогично построена «Золотая спираль» в спиральной плоскости соответствующего ряда, например: 1 — 0,786 — 0,618 — 0,486 — 0,382 -.

Но этот ряд уже не будет рядом Фибоначчи, его q № j ₁! И здесь q=0,786 также соответствует отношению сторон характерных квадратов спиральной плоскости.

Общий член ряда:,и сумма ряда: .

(как бы 2-х рядов с шагом j ₁, чередующихся через √ j ₁).

После преобразований:.

Та же сумма по формуле сходящегося ряда: .

Тогда попутно заметим здесь красивое соотношение: .

Эта «Золотая спираль» совпадает со спиралью художника, который свою «космическую спираль» нарисовал по спирали моллюска «Nautilus». И только «Золотая спираль» своим «осевым модулем» (исходным модулем качания) составляет и модуль 4-х угольной пирамиды, пирамиды «Золотой спирали»…

Среди множества логарифмических (или окружных) спиралей можно нарисовать «спираль силы звука» (или «децибеловую») с K=10 и .И можно нарисовать «октавную спираль» (или «дуобеловую») с K=2 и ; она показана прерывистой линией на верхнем рисунке справа внизу. Любопытно и то, как из этой спирали рисуется музыкальный скрипичный ключ…

Попробуйте нарисовать скрипичный ключ, скажем, по «золотой спирали» — получится плохо. Отношение коэффициентов «музыкальной» и «золотой» спиралей – 1,3; тогда, скажут, можно поменьше взять. С нашей же стороны – лучше не возражать мнениям, что аналогичными получатся образы ключа из бесчисленного множества близких спиралей где-нибудь в диапазоне K=1,9 ё 2,1 … Постройте спирали с этими крайними коэффициентами; вы увидите насколько они менее оптимальны на нотном стане. Да и, в конце концов: среди этой группы есть только одна принадлежность одному неслучайному символу — принадлежность октаве. Эта группа – «окружение» октавы.

Скрипичный ключ – символ музыки вообще. Я не знаю, руководствуясь каким заданием или наитием, Художник нарисовал его именно таким образом. И вот такое близкое попадание в «конструкт» «октавной спирали»… Или все же — случайно?

Напомним, что есть «осевой модуль» и где он на спиральной плоскости. Вернемся к началу текущего разговора о спиралях и вспомним рисунки начала текста, где впервые мы встретились со спиралями. Тогда именно «качающиеся треугольники» («модуль пирамиды») образовали модуль осей координат именно «Золотой спирали». То есть оказались перпендикулярны гипотенуза исходного треугольника и катет второго треугольника на том же основании, который был «качнувшейся» гипотенузой. Было видно, что любая логарифмическая спираль образуется своей подобной системой пересекающихся прямоугольных треугольников; а их углы задают угол наклона «модуля осей», совпадающих с гипотенузами. Понятно, что эти треугольники, подобно изменяясь, и формируют в дальнейшем прямоугольный образ спирали, как это представлено на нижнем рисунке. Конечно, только один «модуль прямоугольных треугольников» задает одновременно и пирамиду, и спираль. Другие «модули спирали» уже не будут образованы «качающимися треугольниками». По аналогии же с метафорой «качание катет-гипотенуза» можно сформулировать метафору «действия» треугольников «осевого модуля» – «поворот катет-катет». Понятно, что пропорция (соотношение сторон и углов) этих треугольников будет общей единой и своей для своей спирали…

Посмотрим еще раз на 1-ую «спиральную плоскость». Вы конечно обратили внимание на углы j ° и y ° , образующие в этой плоскости сходящихся 4-х j -рядов лучи как бы «мальтийского креста». Эта комбинация углов: j ° , j ° , и y ° , — вполне «закономерно» отразились здесь. А в каком сходящемся ряду, в плоскости какой спирали на месте этих углов будет другая известная нам комбинация: y ° , y ° и g ° ?

Они появятся, когда сторона меньшего квадрата будет равна половине предыдущего, когда k=0,5 и каждый последующий член ряда (не Фибоначчи!) равен половине предыдущего.

Общий член ряда: .

Такой ряд будет сходиться еще быстрее, чем j -ряд; его сумма , и сторона «суммарного» квадрата будет ровно в 2 раза больше стороны исходного. Спираль же, строящуюся на угле » y ° » по известным правилам, можно называть, например, y -спиралью.

Подобный угол у всех спиралей будем обобщенно обозначать « b ₀». А срединный угол между 2-мя этими углами, угол, раскрывающийся квадратиками «спиральной плоскости», будем называть для краткости « k -угол». Чем он больше, тем больше коэффициент «k».

Этими характерными углами «спиральных плоскостей» и задаются их «модули осей». Для указанных на рисунках спиралей «модулем осей» является та перпендикулярная пара, которая повернута от базовых 0-осей («катетовых осей») по часовой стрелке на угол b ₀. Второй «модуль осей» задает такую же, но обратную по направлению спираль. Левую спираль, которая раскручивается против часовой стрелки (как на рисунках), задает тот модуль, что сдвинут по отношению другого модуля против часовой стрелки. Соответственно, тот «модуль осей», что повернут по отношению другого модуля по часовой стрелке, задает правую спираль.

У k -угла интересное в дальнейшем значение будет иметь тот луч, который первый стоит на пути раскрывающейся спирали. Будем по аналогии с 2 b -треугольниками называть этот луч Q -лучом. То есть «модуль Q -лучей» — это второй модуль, и он повернут относительно «модуля осей» на угол « k » навстречу раскручивающейся спирали. Или, по другому, — это «осевой модуль» зеркальной спирали (спирали встречной направленности).

Присутствие на квадро-плоскости 2-х углов « b ₀» напоминает о равнобедренных 2 b ₀-треугольниках и его интересных свойствах (см. приложение). И то, что это вообщем-то теперь «знаменитое» соотношение «2 b + k =90 ° » есть очередное общее выражение спирали, и каждое конкретное соотношение есть конкретная спираль. Это имеет выражение на спиральной квадро-плоскости. Любой отрезок, соединяющий точки пересечения спирали и соседних квадро-осей, во-первых, задает углы a ₀ и b ₀ с осями-катетами соответственно меньшей и большей, и во-вторых, задает зеркальный (то есть направленный в другую сторону) осевой модуль в пересечении с Q -лучом (первым по раскрытию спирали лучом k -угла)…

И остается вопрос (кому интересно): Если прямая, пересекающая спираль, не является ее лучом, то по какой зависимости изменяются длины отрезков, «нарезаемые» спиралью на этой прямой? И по какой зависимости изменяется угол наклона касательной к спирали в точках ее пересечения с такой прямой?

Давайте будем называть наши спирали по углу наклона «осевого модуля». Будем определять этот угол через его тангенс, то есть через «q». Тогда все спирали расположатся между 0-спиралью ( k -угол=90 ° ) и 1-спиралью ( k -угол=0 ° ). Возьмитесь руками за лучи срединного k -угла и начните сдвигать и раздвигать, закручивая спираль (увеличивая «q» к «1») и раскручивая спираль (уменьшая «q» к «0»)… Ну как, получается? Куда то нас приведет эта забава …

Может быть, получим пока общие характерные зависимости и общую характерную формулу логарифмических спиралей… В качестве схемы возьмем прямоугольную основу логарифмической спирали («модуль логарифмической спирали»). Как видите, она соответствует схеме начала этого текста, только повернута и введены другие обозначения.

Логарифмические спирали здесь строятся, как говорили прямоугольными треугольниками по метафоре «поворот катет-катет». Посмотрите рисунок. На нем обозначенные отрезки измеряются от центра. Вы легко можете видеть, что соответствующие (одно-номерные) «a», «b» и «h» связывают средне-геометрические отношения, как элементы в прямом треугольнике. Из этих соотношений легко найти формулу, связывающую 2 величины, например, «b» и «h». Она приведена в верхнем правом углу рисунка.

Всё множество логарифмических спиралей располагается в диапазоне углов a ₀=45 ° ё 90 ° . При a ₀=90 ° спираль становится лучом из своего центра, причем у левой спирали (как на рисунке) центр перемещается (по полу-окружности) в левую точку отрезка «d», а у правой – в правую. А так как спираль – плоская фигура, то есть занимает плоскость, и не имеет однозначного угла исхода из центра, то можно сказать, что в предельном случае « a ₀=90 ° » луч будет не один, а четыре ортогональные относительно «d». А вот о том, что происходит, когда a ₀=45 ° , мы поговорим дальше.

Итак, на этом рисунке мы получили формулу логарифмической спирали. Она всегда отсчитывает от некоторого r₀

k n . Здесь k=1/q > 1, то есть используется основание разворачивающейся спирали. В дальнейшем так и будем использовать: для акцентирования смыслов схождения спирали – Q=q 4 =(tg b ₀) 4 , а когда удобно видеть расходящееся развитие спирали – K=k 4 =(tg a ₀) 4 . Зависимость с 4-ой степенью выражает 1-ое и очевидное свойство логарифмической спирали. Наши спирали называют «логарифмическими спиралями», указывая на свойство пропорционального увеличения отрезков, отсекаемых спиралью на периодически (с одним ритмом) проведенных из центра лучах. Понятно, что при пересечении одного и того же луча это будет коэффициент, равный 4-ой степени коэффициента между отрезками на соседних ортогональных (под 90 ° ) осях. Отрезаемые спиралью на таких осях отрезки возрастают по величине, связанной с коэффициентом этой спирали. Вообще, каждый такой отрезок «d_n» у логарифмических спиралей можно составить, например, 4-мя экспоненциально изменяющимися элементами с основанием и последовательными натуральными степенями (1, 2, 3, 4). В соответствии с этим свойством на спиральной плоскости по центральным лучам всегда располагаются между витками спирали 4-е «элемента»: квадратиков, линий сетки, — и сумма 4-х соседних членов убывающей геометрической прогрессии задает расстояние между витками на оси. И формула спирали может записываться, как через «полно-оборотный коэффициент» (Q, K) так и через «орто-поворотный» (q, k), когда как удобно.

Но точно также можно попробовать построить «спиральную плоскость», например, на 5-ти осях, на 5-ти k ₍₅₎-углах, которые создаются 5-тью сходящимися рядами, расположенными по сторонам правильного 5-угольника. Получится спиральная пента-плоскость с K=k 5 … А можно построить спиральную гекса-плоскость…

Давайте здесь сформулируем по порядку основные свойства наших спиралей (опираясь на спиральные квадро-плоскости).

2-ое. Спираль «нарезает» на каждом луче отрезки по множителю «K»: d₂/d₁=K.

3-ье. Отношение любого отрезка на луче к расстоянию от него до центра спирали равно d₂/r2=K — 1(здесь «r₂» — расстояние от границы отрезков «d₁» и «d₂»).

4-ое. Отношение длин соседних участков спирали на общих их углах 90 ° равно «k», соответственно на углах 360 ° — «K».

5-ое. Витки одной спирали пересекают центральные лучи под одним углом.

Из 2-го и 3-го свойств можно закончить тему нахождения центра спирали, если известны 2 отсекаемые спиралью отрезка на луче, или отрезок и основание спирали. Понятно, что это расстояние равно сумме отрезков, меньших данного, и при решении подтверждает формулу суммы убывающей геометрической прогрессии:

В этой формуле содержится непоследнее объяснение прелести обратных величин.

Их разности с «1» равны между собой (!) в масштабе этих величин: K-1 = K(1-Q) …

Эта формула, как формула суммы, связана с геометрией соответствующей «спиральной плоскости». Например, j -спираль на квадро-плоскости, проходя через угол «серого квадрата» на Q -луче (первом по направлению расхождения спирали), пересекает квадро-оси на линиях следующего (большего) «серого квадрата»; то есть образуя на первых 2-х точках прямоугольный j -треугольник; а на всех 3-х точках и центре спирали – «осевой модуль». А в квадро-плоскости Золотой спирали образуются подобные равнобедренные треугольники, основаниями которых являются отрезки, соединяющие угол «серого квадрата», лежащий на Q -луче и точку пересечения ближайшей квадро-оси с « ^ -ом» от аналогичного угла следующего (большего) «серого квадрата». В геометрии этих плоскостей можно находить еще и еще интересные частные моменты; особенно у j -спирали.

По поводу 4-го свойства. Спираль – это свернутая шкала последовательных величин «K n ». Этот показатель степени «n» (который дает равные «отсечки» уже в логарифмической шкале от первой, от «природной»), и есть число витков. Мы говорили ранее о логарифмических шкалах нашего восприятия над реальным (физическим) миром. То есть в наших физиологических чувствах (не могу, правда, утверждать это по всему перечню) «заложена» спираль…

По поводу последнего свойства: двигаясь по логарифмической спирали, мы будем видеть ее центр, скосив глаза всегда на один угол (тогда удобнее идти к центру). Такой угол у окружности равен 90 ° , у нее разворот к центру (как и отворот) отсутствует. Чем быстрее скручивается-раскручивается спираль, тем больше угол разворота-отворота. Давайте определим угол « d » — угол между « ^ » к лучу и касательной спирали в точке пересечения луча. Формула спирали известна. Из выражения при a =0 получаем . То есть, если идти по спирали к центру и держать равнение на центр, поворот головы будет отличаться от 90 ° на угол, зависящий от «lnk». Постоянный же коэффициент «2/ p » — это «h/b» p -пирамиды; и это еще величина – обратная ј круга (90 ° ). По этой формуле, например, для окружности (k=1) tg d =0, то есть касательная перпендикулярна радиусу. Для j -спирали d » 17 ° , для Золотой спирали d » 8,7 ° .

Посмотрим дальше неочевидные свойства.

1. Биссектриса орто-витка делит его на участки в отношении « Ц k», а базу этого витка (гипотенузу на катетах-осях «r₁» и «r₂») в отношении «k». При этом 3 радиуса, ограничивающие эти участки, будут находиться последовательно в пропорции « Ц k».

А в самом общем случае – если прямой угол орто-витка разделить на «n» равных углов, то получающиеся при этом участки витка будут находиться в пропорции «» между соседними. Или по другому: участки спирали, ограниченные одинаковыми центральными углами, имеют один коэффициент изменения длины.

При этом базовая гипотенуза орто-витка при «n>2» делится уже в какой-то своей неодинаковой и возрастающей пропорции. А то, что гипотенуза делится биссектрисой на части, пропорциональные катетам, — это, может быть, важнейший системный эффект именно прямоугольного треугольника. Следствием его является, например, то, что биссектрисы противоположных углов «сдвоенного квадрата» (прямоугольника 2:1) создают на диагонали триаду равных отрезков. Второй случай формирования «триады отрезков» мы увидим во «встрече с А.П.Саврухиным».

Посмотрите это свойство на нижнем рисунке, на правой схеме.

Правая схема позволяет сформулировать новые не менее неочевидные свойства спиралей. Приведем исходные зависимости:

Опираясь на них, можно получить уже некоторые характерные соотношения. Приведем, что получается для величин верхней схемы. После каждой зависимости приведем в скобках соответствующие значения (округленные) для последовательно: окружности, Золотой спирали, j -спирали, — относительно значения для окружности. (Эти же формулы работают и для окружности при k=1.)

Верхнее выражение, интересное само по себе, как квадратный корень из суммы взаимообратных чисел, имеет конкретный предметный смысл в мире спиралей!

И здесь возникает еще нечто. Исходя из «предметности» смысла подкоренного выражения, его «константности» для определенных спиралей сформулируем для взаимообратных:

Вот такие «первертыши», которые мы уже видели в формулах для ВО-прямоугольника… Так вот в чем секрет этого! ВО-прямоугольники с W -линией основаны на «взаимообратности».

И мы ранее определили некое «обобщение» для некоторых взаимообратных величин, в ряду которых есть и Золотая пропорция: . Не правда ли, между этими выражениями возникают «неясные параллели», «туманные аллюзии»… Во всяком случае, давайте зададимся вопросом: какой «представитель» этого последнего выражения является и «представителем» в мире логарифмических спиралей»?

Исходное уравнение для ответа на этот вопрос: . Тогда через выражение «y 2 –y–1=0» получаем k = Ц j ₂. Вот так. Это и есть Золотая спираль. О чем раньше мы просто «догадывались», то есть выделяли ее, как гармоничную. Да встречали её повсюду, как основу биоформ…

Обратите внимание, что для подавляющего количества «нормальных» спиралей это соотношение как раз и составляет

0,21. Например, при k=3 (K=81!) оно равно

max); при k=4 D /C » 0,2107, при k=5 (K=625!!) D /C » 0,2074, при k=10 D /C » 0,187, при k=100 D /C » 0,086 …

Следующее. (Интересно – отношение величин выражается разностью…)

Сопоставляя (1), (2) и (3), получаем:

Для последней формулы конкретные величины относительно значения для окружности составят: у Золотой спирали

1,29, у j -спирали

1,57. Но поразительна сама эта формула. Смысл ее в следующем.

2. У всех логарифмических спиралей на биссектрисе орто-витка отношение возвышения (подъема) витка ко всему «радиусу» равно выражению, в числителе которого находится разность «k» и аналогичного возвышения орто-витка окружности «R= Ц 2», а в знаменателе – сумма «k» и «1» (оставшейся части R= Ц 2).

Все логарифмические спирали связаны с этой окружностью. Парадоксально… Странный, непонятный факт… Этот факт станет еще более многозначительным, когда во «встрече с А.П.Саврухиным» мы увидим подобную схему еще 2 раза (вторая – в 2 раза меньше…).

Посмотрим, похоже, еще некоторые частные свойства.

3-а. Отношение длины орто-витка j -спирали к расстоянию до центра спирали от начала витка равно «2»: (?).

3-б. Отношение длины 45 ° -витка Золотой спирали к расстоянию до центра спирали от начала витка: (?).

Это пока предположения, сделанные из наблюдения. Чтобы их проверить, надо найти формулу зависимости между длиной участка спирали и его опорным радиусом (от которого он разворачивается). Но прежде чем мы приступим к этому, найдем ещё один повод.

Мы уже видели в начале, что шкалы на лучах из значений показательной функции «a Ч k n » имеют конечную длину, как убывающие геометрические прогрессии. А витки спирали, стремящиеся к центру. Они – это тоже свернутая шкала по тому же основанию «k». Получается, что от какой-то своей точки до центра логарифмическая спираль имеет конечную длину. И тогда длина какой-то спирали может оказаться равна длине окружности, в которой эта спираль оказывается. Так, как это изображено ниже на левом рисунке.

Причем понятно, любая проведенная окружность будет заключать в себе равную по длине такую спираль. Так какое основание «k» у этой спирали?

Давайте обозначим отношение орто-витка и общего с окружностью радиуса, ограничивающего этот виток с большей стороны, например, так: z=l₉₀/R. Тогда отношение орто-витка и его опорного радиуса: l₉₀/r=z Ч k. А например, для отрезка на луче:l₉₀/d₂=z/(1-Q).

Общая длина спирали, как убывающей геометрической прогрессии от максимального орто-витка: L=l₉₀/(1-q). Сравним ее с длиной окружности:

или .

Попутно заметим отношение длины полного витка к его большей четверти и к меньшей четверти:

и

И вернемся к определению длины участка и всей спирали. Теперь у нас достаточно поводов для этого.

Для определения длины участка (от угла до угла) можно воспользоваться известными формулами для длины дуги в полярных координатах или в параметрическом представлении «x» и «y» (в проекции на оси). Взятие интеграла дает формулу:

Обратим внимание на подрадикальное выражение. Это – . И закончим выражение длины участка при a ₁=0: . Отношение длины орто-витка к опорному радиусу (с которого раскручивается конкретный участок) тогда равно: .

Теперь определим «равно-окружную» спираль.

Откуда и .

Причем её .

Подставив значения, получим: k=1,2881766…, d =9,15785… ° . То есть эта спираль чуть-чуть «размашистее» Золотой спирали. «Равно-окружная» спираль изображена на правом верхнем рисунке сплошной тонкой линией, а «Золотая спираль» – пунктирной.

Это свойство равенства длины окружности и заключенной в ней одной из спиралей было известно еще в XVII веке. А Якоб Бернулли, живший в это время, изучавший свойства логарифмических спиралей и восхищавшийся их гармонией, завещал даже изобразить спираль на надгробном камне.

Так, а что со свойствами 3-а и 3-б? У j -спирали отношение «l₉₀/r₀» оказалось равно

2,11; а ровно «2» — у спирали с k » 1,5 (

0,03%). Отношение «l₄₅/r₀» равно « j ₂/2» у спирали с k » 1,11. У Золотой же спирали это отношение – больше (

4%); у нее же отношение на прямоугольном витке равно

Посмотрите на 4-ое (из основных) свойство спиралей. Его можно обобщить так: отношения длин соседних участков спирали одинакового угла поворота одинаковы и равны некоему «k». В том числе и по этому можно задаться вопросом: а какие соседние участки спиралей, на каких углах равны между собой? Ведь у любой спирали, получается, будет некая общая по ее виткам зависимость: равенство длин каких-то «соседних» участков спирали будет повторяться на определенных соотношениях их углов…

У j -спирали здесь получается так, что длина «старшего» участка на углу 90 ° равна длине «младшего» на углу 180 ° . Но вот для Золотой спирали равными являются, похоже, длины «старшего» участка на углу (90) ° и «младшего» на углу (90+45) ° , но с зазором между ними в 45 ° … Посмотрите, как это выражается на следующих рисунках.

Но не спешите присваивать конкретный образ (луч и точка) для 0-спирали и 1-спирали. Здесь есть парадоксы. Правда, это больше парадоксы «точек зрения».

Помните (?), мы сжимали-разжимали спирали, взявшись за лучи k -угла… Снова взявшись за лучи k -угла, разведем его на 90 ° , а потом сведем вместе: