Показательное уравнение регрессии
В случае b = e (примерное значение экспоненты e ≈ 2.718281828 ), показательное уравнение регрессии называется экспоненциальным и записывается как y=a·e x .
Здесь b — темп изменения в разах или константа тренда, которая показывает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней.
Пример . Необходимо изучить зависимость потребительским расходами на моторное масло (у) и располагаемым личным доходом (х).
log(y) 2 | x·log(y) | |||
622.9 | 1.59 | 388004.41 | 2.53 | 989.93 |
658 | 1.65 | 432964 | 2.72 | 1084.82 |
700.4 | 1.7 | 490560.16 | 2.91 | 1194.01 |
740.6 | 1.72 | 548488.36 | 2.97 | 1275.88 |
774.4 | 1.72 | 599695.36 | 2.97 | 1334.11 |
816.2 | 1.67 | 666182.44 | 2.78 | 1361.18 |
853.5 | 1.61 | 728462.25 | 2.59 | 1373.66 |
876.8 | 1.55 | 768778.24 | 2.39 | 1356.9 |
900 | 1.53 | 810000 | 2.33 | 1373.45 |
951.4 | 1.61 | 905161.96 | 2.59 | 1531.22 |
1007.9 | 1.69 | 1015862.41 | 2.84 | 1699.72 |
1004.8 | 1.44 | 1009623.04 | 2.06 | 1441.97 |
1010.8 | 1.44 | 1021716.64 | 2.06 | 1450.58 |
1056.2 | 1.53 | 1115558.44 | 2.33 | 1611.82 |
1105.4 | 1.48 | 1221909.16 | 2.2 | 1637.77 |
1162.3 | 1.55 | 1350941.29 | 2.39 | 1798.73 |
1200.7 | 1.55 | 1441680.49 | 2.39 | 1858.16 |
1209.5 | 1.36 | 1462890.25 | 1.85 | 1646.1 |
1248.6 | 1.28 | 1559001.96 | 1.64 | 1599.37 |
1254.4 | 1.28 | 1573519.36 | 1.64 | 1606.8 |
1284.6 | 1.39 | 1650197.16 | 1.92 | 1780.83 |
20439.4 | 32.32 | 20761197.38 | 50.1 | 31007.03 |
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Регрессионный анализ в Microsoft Excel
Регрессионный анализ является одним из самых востребованных методов статистического исследования. С его помощью можно установить степень влияния независимых величин на зависимую переменную. В функционале Microsoft Excel имеются инструменты, предназначенные для проведения подобного вида анализа. Давайте разберем, что они собой представляют и как ими пользоваться.
Подключение пакета анализа
Но, для того, чтобы использовать функцию, позволяющую провести регрессионный анализ, прежде всего, нужно активировать Пакет анализа. Только тогда необходимые для этой процедуры инструменты появятся на ленте Эксель.
- Перемещаемся во вкладку «Файл».
Открывается окно параметров Excel. Переходим в подраздел «Надстройки».
В самой нижней части открывшегося окна переставляем переключатель в блоке «Управление» в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «Перейти».
Теперь, когда мы перейдем во вкладку «Данные», на ленте в блоке инструментов «Анализ» мы увидим новую кнопку – «Анализ данных».
Виды регрессионного анализа
Существует несколько видов регрессий:
- параболическая;
- степенная;
- логарифмическая;
- экспоненциальная;
- показательная;
- гиперболическая;
- линейная регрессия.
О выполнении последнего вида регрессионного анализа в Экселе мы подробнее поговорим далее.
Линейная регрессия в программе Excel
Внизу, в качестве примера, представлена таблица, в которой указана среднесуточная температура воздуха на улице, и количество покупателей магазина за соответствующий рабочий день. Давайте выясним при помощи регрессионного анализа, как именно погодные условия в виде температуры воздуха могут повлиять на посещаемость торгового заведения.
Общее уравнение регрессии линейного вида выглядит следующим образом: У = а0 + а1х1 +…+акхк . В этой формуле Y означает переменную, влияние факторов на которую мы пытаемся изучить. В нашем случае, это количество покупателей. Значение x – это различные факторы, влияющие на переменную. Параметры a являются коэффициентами регрессии. То есть, именно они определяют значимость того или иного фактора. Индекс k обозначает общее количество этих самых факторов.
- Кликаем по кнопке «Анализ данных». Она размещена во вкладке «Главная» в блоке инструментов «Анализ».
Открывается небольшое окошко. В нём выбираем пункт «Регрессия». Жмем на кнопку «OK».
Открывается окно настроек регрессии. В нём обязательными для заполнения полями являются «Входной интервал Y» и «Входной интервал X». Все остальные настройки можно оставить по умолчанию.
В поле «Входной интервал Y» указываем адрес диапазона ячеек, где расположены переменные данные, влияние факторов на которые мы пытаемся установить. В нашем случае это будут ячейки столбца «Количество покупателей». Адрес можно вписать вручную с клавиатуры, а можно, просто выделить требуемый столбец. Последний вариант намного проще и удобнее.
В поле «Входной интервал X» вводим адрес диапазона ячеек, где находятся данные того фактора, влияние которого на переменную мы хотим установить. Как говорилось выше, нам нужно установить влияние температуры на количество покупателей магазина, а поэтому вводим адрес ячеек в столбце «Температура». Это можно сделать теми же способами, что и в поле «Количество покупателей».
С помощью других настроек можно установить метки, уровень надёжности, константу-ноль, отобразить график нормальной вероятности, и выполнить другие действия. Но, в большинстве случаев, эти настройки изменять не нужно. Единственное на что следует обратить внимание, так это на параметры вывода. По умолчанию вывод результатов анализа осуществляется на другом листе, но переставив переключатель, вы можете установить вывод в указанном диапазоне на том же листе, где расположена таблица с исходными данными, или в отдельной книге, то есть в новом файле.
После того, как все настройки установлены, жмем на кнопку «OK».
Разбор результатов анализа
Результаты регрессионного анализа выводятся в виде таблицы в том месте, которое указано в настройках.
Одним из основных показателей является R-квадрат. В нем указывается качество модели. В нашем случае данный коэффициент равен 0,705 или около 70,5%. Это приемлемый уровень качества. Зависимость менее 0,5 является плохой.
Ещё один важный показатель расположен в ячейке на пересечении строки «Y-пересечение» и столбца «Коэффициенты». Тут указывается какое значение будет у Y, а в нашем случае, это количество покупателей, при всех остальных факторах равных нулю. В этой таблице данное значение равно 58,04.
Значение на пересечении граф «Переменная X1» и «Коэффициенты» показывает уровень зависимости Y от X. В нашем случае — это уровень зависимости количества клиентов магазина от температуры. Коэффициент 1,31 считается довольно высоким показателем влияния.
Как видим, с помощью программы Microsoft Excel довольно просто составить таблицу регрессионного анализа. Но, работать с полученными на выходе данными, и понимать их суть, сможет только подготовленный человек.
Помимо этой статьи, на сайте еще 12680 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.
Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.
Задача №1 Построение уравнения регрессии
Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).
Индекс розничных цен на продукты питания (х) | Индекс промышленного производства (у) | |
---|---|---|
1 | 100 | 70 |
2 | 105 | 79 |
3 | 108 | 85 |
4 | 113 | 84 |
5 | 118 | 85 |
6 | 118 | 85 |
7 | 110 | 96 |
8 | 115 | 99 |
9 | 119 | 100 |
10 | 118 | 98 |
11 | 120 | 99 |
12 | 124 | 102 |
13 | 129 | 105 |
14 | 132 | 112 |
Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
В) равносторонней гиперболы.
2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.
Решение:
1. Для расчёта параметров линейной регрессии
Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:
Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.
Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии
№ п/п | х | у | ху | x 2 | y 2 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 7000 | 10000 | 4900 | 74,26340 | 0,060906 |
2 | 105 | 79 | 8295 | 11025 | 6241 | 79,92527 | 0,011712 |
3 | 108 | 85 | 9180 | 11664 | 7225 | 83,32238 | 0,019737 |
4 | 113 | 84 | 9492 | 12769 | 7056 | 88,98425 | 0,059336 |
5 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
6 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
7 | 110 | 96 | 10560 | 12100 | 9216 | 85,58713 | 0,108467 |
8 | 115 | 99 | 11385 | 13225 | 9801 | 91,24900 | 0,078293 |
9 | 119 | 100 | 11900 | 14161 | 10000 | 95,77849 | 0,042215 |
10 | 118 | 98 | 11564 | 13924 | 9604 | 94,64611 | 0,034223 |
11 | 120 | 99 | 11880 | 14400 | 9801 | 96,91086 | 0,021102 |
12 | 124 | 102 | 12648 | 15376 | 10404 | 101,4404 | 0,005487 |
13 | 129 | 105 | 13545 | 16641 | 11025 | 107,1022 | 0,020021 |
14 | 132 | 112 | 14784 | 17424 | 12544 | 110,4993 | 0,013399 |
Итого: | 1629 | 1299 | 152293 | 190557 | 122267 | 1299,001 | 0,701866 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | 10878,07 | 13611,21 | 8733,357 | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х | х |
Среднее значение определим по формуле:
Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:
и занесём полученный результат в таблицу 1.
Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:
Параметры уравнения можно определить также и по формулам:
Таким образом, уравнение регрессии:
Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Связь прямая, достаточно тесная.
Определим коэффициент детерминации:
Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .
,
следовательно, параметры уравнения определены правильно.
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.
Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.
F-тест состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.
Fфакт определяется по формуле:
где n – число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных х.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.
Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
2. Степенная регрессия имеет вид:
Для определения параметров производят логарифмирование степенной функции:
Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наименьших квадратов:
Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.
Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии
№п/п | х | у | lg x | lg y | lg x*lg y | (lg x) 2 | (lg y) 2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 2,000000 | 1,845098 | 3,690196 | 4,000000 | 3,404387 |
2 | 105 | 79 | 2,021189 | 1,897627 | 3,835464 | 4,085206 | 3,600989 |
3 | 108 | 85 | 2,033424 | 1,929419 | 3,923326 | 4,134812 | 3,722657 |
4 | 113 | 84 | 2,053078 | 1,924279 | 3,950696 | 4,215131 | 3,702851 |
5 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
6 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
7 | 110 | 96 | 2,041393 | 1,982271 | 4,046594 | 4,167284 | 3,929399 |
8 | 115 | 99 | 2,060698 | 1,995635 | 4,112401 | 4,246476 | 3,982560 |
9 | 119 | 100 | 2,075547 | 2,000000 | 4,151094 | 4,307895 | 4,000000 |
10 | 118 | 98 | 2,071882 | 1,991226 | 4,125585 | 4,292695 | 3,964981 |
11 | 120 | 99 | 2,079181 | 1,995635 | 4,149287 | 4,322995 | 3,982560 |
12 | 124 | 102 | 2,093422 | 2,008600 | 4,204847 | 4,382414 | 4,034475 |
13 | 129 | 105 | 2,110590 | 2,021189 | 4,265901 | 4,454589 | 4,085206 |
14 | 132 | 112 | 2,120574 | 2,049218 | 4,345518 | 4,496834 | 4,199295 |
Итого | 1629 | 1299 | 28,90474 | 27,49904 | 56,79597 | 59,69172 | 54,05467 |
Среднее значение | 116,3571 | 92,78571 | 2,064624 | 1,964217 | 4,056855 | 4,263694 | 3,861048 |
8,4988 | 11,1431 | 0,031945 | 0,053853 | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | 0,001021 | 0,0029 | х | х | х |
Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии
№п/п | х | у | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 74,16448 | 17,34292 | 0,059493 | 519,1886 |
2 | 105 | 79 | 79,62057 | 0,385112 | 0,007855 | 190,0458 |
3 | 108 | 85 | 82,95180 | 4,195133 | 0,024096 | 60,61728 |
4 | 113 | 84 | 88,59768 | 21,13866 | 0,054734 | 77,1887 |
5 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
6 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
7 | 110 | 96 | 85,19619 | 116,7223 | 0,11254 | 10,33166 |
8 | 115 | 99 | 90,88834 | 65,79901 | 0,081936 | 38,6174 |
9 | 119 | 100 | 95,52408 | 20,03384 | 0,044759 | 52,04598 |
10 | 118 | 98 | 94,35840 | 13,26127 | 0,037159 | 27,18882 |
11 | 120 | 99 | 96,69423 | 5,316563 | 0,023291 | 38,6174 |
12 | 124 | 102 | 101,4191 | 0,337467 | 0,005695 | 84,90314 |
13 | 129 | 105 | 107,4232 | 5,872099 | 0,023078 | 149,1889 |
14 | 132 | 112 | 111,0772 | 0,85163 | 0,00824 | 369,1889 |
Итого | 1629 | 1299 | 1296,632 | 446,4152 | 0,703074 | 1738,357 |
Среднее значение | 116,3571 | 92,78571 | х | х | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х |
Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.
Получим линейное уравнение:
Выполнив его потенцирование, получим:
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
Связь достаточно тесная.
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
3. Уравнение равносторонней гиперболы
Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:
Произведем замену переменных
и получим следующую систему нормальных уравнений:
Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.
Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.
Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости
№п/п | х | у | z | yz | ||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 0,010000000 | 0,700000 | 0,0001000 | 4900 |
2 | 105 | 79 | 0,009523810 | 0,752381 | 0,0000907 | 6241 |
3 | 108 | 85 | 0,009259259 | 0,787037 | 0,0000857 | 7225 |
4 | 113 | 84 | 0,008849558 | 0,743363 | 0,0000783 | 7056 |
5 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
6 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
7 | 110 | 96 | 0,009090909 | 0,872727 | 0,0000826 | 9216 |
8 | 115 | 99 | 0,008695652 | 0,860870 | 0,0000756 | 9801 |
9 | 119 | 100 | 0,008403361 | 0,840336 | 0,0000706 | 10000 |
10 | 118 | 98 | 0,008474576 | 0,830508 | 0,0000718 | 9604 |
11 | 120 | 99 | 0,008333333 | 0,825000 | 0,0000694 | 9801 |
12 | 124 | 102 | 0,008064516 | 0,822581 | 0,0000650 | 10404 |
13 | 129 | 105 | 0,007751938 | 0,813953 | 0,0000601 | 11025 |
14 | 132 | 112 | 0,007575758 | 0,848485 | 0,0000574 | 12544 |
Итого: | 1629 | 1299 | 0,120971823 | 11,13792 | 0,0010510 | 122267 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | 0,008640844 | 0,795566 | 0,0000751 | 8733,357 |
8,4988 | 11,1431 | 0,000640820 | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | 0,000000411 | х | х | х |
Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости
№п/п | х | у | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 72,3262 | 0,033231 | 5,411206 | 519,1886 |
2 | 105 | 79 | 79,49405 | 0,006254 | 0,244083 | 190,0458 |
3 | 108 | 85 | 83,47619 | 0,017927 | 2,322012 | 60,61728 |
4 | 113 | 84 | 89,64321 | 0,067181 | 31,84585 | 77,1887 |
5 | 118 | 85 | 95,28761 | 0,121031 | 105,8349 | 60,61728 |
6 | 118 | 85 | 95,28761 | 0,121031 | 105,8349 | 60,61728 |
7 | 110 | 96 | 86,01027 | 0,10406 | 99,79465 | 10,33166 |
8 | 115 | 99 | 91,95987 | 0,071112 | 49,56344 | 38,6174 |
9 | 119 | 100 | 96,35957 | 0,036404 | 13,25272 | 52,04598 |
10 | 118 | 98 | 95,28761 | 0,027677 | 7,357059 | 27,18882 |
11 | 120 | 99 | 97,41367 | 0,016024 | 2,516453 | 38,6174 |
12 | 124 | 102 | 101,46 | 0,005294 | 0,291565 | 84,90314 |
13 | 129 | 105 | 106,1651 | 0,011096 | 1,357478 | 149,1889 |
14 | 132 | 112 | 108,8171 | 0,028419 | 10,1311 | 369,1889 |
Итого: | 1629 | 1299 | 1298,988 | 0,666742 | 435,7575 | 1738,357 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | х | х | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х |
Значения параметров регрессии a и b составили:
Связь достаточно тесная.
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне.
http://lumpics.ru/regression-analysis-in-excel/
http://ecson.ru/economics/econometrics/zadacha-1.postroenie-regressii-raschyot-korrelyatsii-oshibki-approximatsii-otsenka-znachimosti-i-prognoz.html