Как построить траекторию движения точки по уравнению

Траектория и уравнения движения точки

Уравнение движения для локуса и точек 1°.Основные понятия. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой движения в пространстве. Траектории могут быть плоскими или пространственными кривыми. Движение точки определяется установлением закона движения. Закон движения точек (уравнения) устанавливает зависимость расположения точек во временном пространстве.

Движение точки M в фиксированной системе координат xyz определяется установкой 3 функций (рис.3.1). * = / > ( ’). J’ = / *( Людмила Фирмаль

Создайте уравнение движения для точки N в декартовой системе координат. Найдите уравнение его орбиты. Определяет полный 1-кратный поворот точки N и точку, в которой координаты обеих точек равны. The solution. To составьте уравнение движения точки N, необходимо представить ее координаты в виде функции времени. Из рисунка найдите координату x в точке N. Х = О с COS Людмила Фирмаль

Затем по координатам определяется максимальное отклонение точки м от центра колебаний О. МПМ = а ХІ =-а. Величина a называется амплитудой колебаний, kt — (- (J называется фазой колебаний, ap-начальной фазой колебаний. Определите период колебаний, то есть время, в течение которого точки совершают 1 полное колебание, то есть возвращаются в исходное положение с той же скоростью и величиной. Обозначим период буквой Т и найдем его значение из условия, что приращение фазы колебаний за это время равно 2π. Иначе говоря

Задача 3.4.Точки перемещаются в соответствии с уравнением. x = A cos(kt-e), (1） г = Б, потому что КТ(2） Определите уравнение траектории движения точки. Как изменяется локус точек при увеличении разности фаз£от 0 до 2r? The solution. To найдя уравнение орбиты точки в явном виде, нужно исключить время из уравнения motion. To для этого сначала преобразуем уравнение движения. х = а соѕ(т-е)= а [потому что КТ потому что£-(- КТ грех грех ЭЖ.(3） решая уравнения (2) и (3) для cos kt и sin kt, получим: Х г — г соз£ а б. Преступление. потому что КТ =£о грех КТ = Добавьте эти уравнения, возведя их в квадрат. г, (т -£»»’) ’ 1 Б% ’ °1 (4） Sin2 е

Или в конце： — В + М — ^^ ко ^ грех ’、 уравнение (4) для любого значения e является уравнением эллипса. Из этого уравнения максимальные и минимальные значения являются Параметры±соответственно. a для x и zt b для y. таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольники со сторонами 2a и 2b. измените значение от 0 до 2ir. если e = 0, то выражение(4) принимает вид:

Так, если фазы обеих составляющих колебаний перпендикулярны друг другу, то эллипс вырождается в 2 совпадающие прямые, являющиеся диагоналями прямоугольника(рис. в коса -> -= учитывая it_y = 0, горизонтальная дальность полета I определяется из орбитального уравнения (4).

log A x cos2 a следовательно 2 значения x\ Т / л грех 2а х0 = 0, ХН = 1 = 8. Первое значение соответствует первому моменту (моменту отправления точки), А второе определяет горизонтальное расстояние. Сравнивая значения /и 5, можно сделать вывод, что/ = 2s, то есть точки достигают наивысшего положения в диапазоне горизонтальной половины. Итак, положение точки в пространстве в этой точке.

Уравнение (1) представляет собой параметрическое уравнение траектории a point. To найдя уравнение орбиты точки в координатной форме, нужно исключить время из уравнения(1) и получить форму зависимости. БФ,(Ци, г)= 0, 9а, КР, з)= 0. Комбинация этих 2 уравнений определяет кривую, по которой перемещаются точки. Есть и другие способы указать движение points. In векторным методом, определяющим законы движения, радиус-вектор r движущейся точки M (рис.3.1) задается как функция времени r = r (t).Связь между радиус-вектором r и Декартовыми координатами точки представлена уравнением Р = ХІ * \ — ый + ЗК. (2 ） Где i, j и k-единичные векторы (единичные векторы) осей. (2)

Если вы получаете x, y> z, текущие координаты точки A4, как определено y. уравнение(1), то (2) x Дайте закон движения точек в векторной форме. 3-й способ задания движения точек называется natural. In в этом случае движение точек определяется уравнением а = /( (). Сферические и цилиндрические координаты часто используются для изучения движения точки в пространстве. Сферическими координатами точки M (рис.3.4) являются расстояние r точки M от неподвижного центра O, угол φ (угол поворота плоскости zOM относительно неподвижной плоскости xOz) и угол ？ =?(’) * (5 *）

Уравнение движения для цилиндрических координат： р = п(о> т = м р = РЗ). (си *） м г Так… 1. Рисунок 3.4. Да. Чтобы перейти от сферических координат к декартовым, используйте следующую формулу:> х = р с с COS

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

iSopromat.ru

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Задача

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t₀=0 с, t₁=1 с и t₂=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A₀, подставим в заданные уравнения значения t₀=0; из первого уравнения получим x₀=2 см, из второго y₀=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A₀ (2; 1).

Расчет скорости

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t₀=0, то C=s₀; в данном случае s₀=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Как построить траекторию движения точки по уравнению

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

1.1. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:

1.2. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;9).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:

1.3. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при , и ось OY и

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.4. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,375), а с осью OY (0;-4,5).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.5. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.6. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.7. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , ,

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой , при , видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y уменьшается. Это направление примем за положительное, тогда ,

откуда .

1.8. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при ,

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.9. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.10. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.11. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.12. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0; ) и пересечение с осью OY (-3;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.13. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OY в точке (0;11,75).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.14. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;0,75) и пересечение с осью OY (1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.15. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-6,5).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.16. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,75) и пересечение с осью OY (9;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

источники:

http://isopromat.ru/teormeh/primery-reshenia-zadach/opredelit-traektoriu-dvizenia-tocki-skorost-i-uskorenie-a-takze-put-projdennyj-tockoj

http://www.teoretmeh.ru/primerkinematika.htm