Как построить уравнение степенной функции

Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы продолжим изучение степенных функций с рациональным показателем, рассмотрим функции с отрицательным рациональным показателем.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»

39. Степенная функция

Функция где Х – переменная величина, A – заданное число, называется Степенной функцией.

Если то – линейная функция, ее график – прямая линия (см. параграф 4.3, рис. 4.7).

Если то – квадратичная функция, ее график – парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.8).

Если то ее график – кубическая парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.9).

Степенная функция

Это обратная функция для

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции Симметричен графику кубической параболы относительно прямой Y = X и изображен на рис. 5.1.

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: единственный нуль X = 0.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для X = 0, оно равно 0.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

8. График функции (для каждого N Î N) «похож» на график квадратичной параболы (графики функций изображены на рис. 5.2).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции (для каждого ) «похож» на график кубической параболы (графики функций изображены на рис. 5.3).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.

8. Асимптоты: (ось Оу) – вертикальная асимптота;

(ось Ох) – горизонтальная асимптота.

9. График функции (для любого N) «похож» на график гиперболы (графики функций изображены на рис. 5.4).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

6. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на и убывающей на

7. Асимптоты: X = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;

Y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.

8. Графиками функций Являются квадратичные гиперболы (рис. 5.5).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, функция принимает в точке X = 0; наибольшего значения не имеет.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для функции при условии

9. График функции «похож» на график функции при любом N и изображен на рис. 5.6.

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции Изображен на рис. 5.7.

Пример 1. Построить график функции:

1) 2)

Решение. 1) Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:

А) строим график функции (он показан на рис. 5.7);

Б) график функции получаем из графика функции путем параллельного переноса его на одну единицу вправо по оси Ох и на две единицы вниз по оси Оу;

В) график исходной функции получаем из графика функции оставляем ту часть графика, которая находится справа от оси Оу и на оси Оу, другую – отбрасываем (на рис. 5.8 она показана пунктиром). Оставшуюся часть графика дополняем симметричной ей относительно оси Оу (рис. 5.8).

2) Преобразуем функцию к виду Заметим, что График этой функции получаем путем следующих преобразований:

А) строим график функции

Б) график получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Оу;

В) график функции получаем из предыдущего смещением на 4 единицы вправо по оси Ох;

Г) график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом его на две единицы вниз по оси Оу (рис. 5.9).

Степенная функция, ее свойства и графики

Формулы со степенной функцией

На области определения степенной функции y = x p имеют место следующие формулы:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства степенных функций и их графики

Далее мы рассматриваем степенную функцию
y ( x ) = x p .

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0 , то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, . . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, . – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, . .

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ выпукла вверх
при 0 выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1,
y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k+1 = –1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1 , функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1 , обратной функцией является корень степени n :

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, . . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, . – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, . .

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1 , y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2 , квадратный корень:
при n ≠ 2 , корень степени n :

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, . . Если положить n = –k , где k = 1, 2, 3, . – натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, . .

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, .

Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, . .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –1 ,
при n ,

Четный показатель, n = -2, -4, -6, .

Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, . .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –2 ,
при n ,

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя — нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, . . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p m = 3, 5, 7, . ) меньше нуля: .

Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . — нечетное.

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, .

Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, . — нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 . — нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, . — четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 . — нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0

График степенной функции с рациональным показателем ( 0 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . — нечетное.

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, .

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 , где n = 1, 3, 5, . — нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 . — нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вниз
при x > 0 : выпукла вверх
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6, .

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 , где n = 2, 4, 6, . – четное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно убывает
при x > 0 : монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак: при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции с рациональным показателем ( p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . — нечетное.

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: 1″ style=»width:95px;height:36px;vertical-align:-20px;background-position:-346px -53px»> . Где n = 5, 7, 9, . – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ выпукла вверх
при 0 выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 4, 6, 8, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: 1″ style=»width:95px;height:36px;vertical-align:-20px;background-position:-346px -53px»> . Где n = 4, 6, 8, . – четное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Знаменатель дробного показателя — четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, . . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p .

Степенная функция с отрицательным показателем p x > 0
Множество значений: y > 0
Монотонность: монотонно убывает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Пределы: ;
Частное значение: При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вверх
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Показатель больше единицы p > 1

Область определения: x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-08-2014 Изменено: 14-12-2018