Как появились уравнения с параметром

Тема: Понятие уравнения с параметрами (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8

Урок 1.

Тема: Понятие уравнения с параметрами.

Цели урока: познакомить с понятиями параметр, задача с параметром, формировать осознанный подход к решению задач с параметром; развивать исследовательскую деятельность учащихся.

Объяснение нового материала.

— Что за прелесть эти задачи с параметрами! Каждая из них – поэма!- считает автор одной из первых книг про параметры .

— Задачи с параметрами – это высший пилотаж. Так считаю я, ибо человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» ее, считает ее своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о ее существовании, как знаем мы и об английской королеве, но вот незнакомы с ней. Если человек умеет решать задачи с параметрами, он ас в математике.

Что же такое уравнение с параметром?

Пусть дано уравнение . Если ставится задача отыскать все такие пары , которые удовлетворяют данному уравнению, то оно рассматривается как уравнение с двумя равноправными пе­ременными х и а. Но можно поставить и другую задачу, полагая пе­ременные неравноправными. Дело в том, что если придать перемен­ной а какое-либо фиксированное значение, то превраща­ется в уравнение с одной переменной х, и решения этого уравне­ния, естественно, зависят от выбранного значения а. Например, уравнение . При получается уравнение , которое не имеет решений. При уравнение принимает вид и имеет корни -1 и 4. При уравнение принимает вид и имеет корни -4 и 1. При уравнение принимает вид уравнение имеет один корень . Так как букву можно заменить любым числом, то мы имеем дело с целым семейством уравнений.

Если уравне­ние нужно решить относительно переменной х, а под а понимается произвольное действительное число, то уравнение называют уравнением с параметром а. Основная труд­ность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При одних значениях параме­тра уравнение не имеет решений, как мы видим из приведенного выше примера, при других имеет бесконечно много решений, при третьих оно решается по одним формулам, при четвертых — по другим. Как все это учесть?

Уравнение с параметром — это, по сути дела, краткая запись бесконечного семейства уравнений. Каждое из уравнений семей­ства получается из данного уравнения с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу решения уравнения с параметром можно сформулировать следующим образом: решить уравнение с параметром — это значит решить семейство уравнений, получающихся из уравнения при любых действительных значениях параметра.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но, тем не менее, каждое уравнение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это, например, можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра – множество действительных чисел или множество значений, заданное в условии задачи, — на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения уравнения с параметрами как раз и состоит в том, чтобы уметь находить контрольные значения параметра.

Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром.

Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Рассмотрим для знакомства некоторые уравнения с параметрами.

Пример 1. В уравнении определите а так, чтобы число 3 было его корнем.

Решение. Если число 3 является корнем уравнения, то оно обращает его в верное равенство. Подставим в уравнение и решим его относительно а:

Итак, при число 3 является корнем уравнения

Пример 2. Найти все значения параметра а, такие, что уравнение имеет корень . Найти все корни уравнения при найденном значении параметра а.

Решение. Если уравнение имеет корень, то при подстановке в уравнение он обращает его в верное равенство. Подставим в уравнение и решим его относительно а:

Решим теперь уравнение при

Примем

Имеем:

Рекомендации к решению задач с параметром

Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.

Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять. Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).

Проектно-исследовательская работа на тему «УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

XIX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра

Клементьева Екатерина Алексеевна,

средняя общеобразовательная школа

№ 46 с углубленным изучением

отдельных предметов, 9 класс

Кузнецова Елена Борисовна,

высшей квалификационной категории

2017

Выбор темы проекта «Уравнения с параметром» обусловлен желанием научиться решать такие уравнения, так как своевременно не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром, а предстоит изучение еще и квадратных уравнений.

В проекте подробно описаны пять решенных линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено модулем; графики построены с помощью приложения «Живая математика». Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к олимпиадам.

ОГЛАВЛЕНИЕ

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 5

2.1. Историческая справка 5

2.2. Линейные уравнения с параметром 5

2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром 6

2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром 7

2.5. Квадратные уравнения с параметром 9

2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с
параметром 10

2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с
параметром 11

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 14

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметром считаются трудными, так как каждая из них является исследовательской: нужно понять, принять и вычислить две или больше неизвестных в одном уравнении, нужно привыкнуть к тому, что эти неизвестные играют разные роли, могут по-разному обозначаться. Желание научиться решать такие задачи у меня появилось еще в 7 классе, когда мы впервые рассмотрели параметр в линейных уравнениях. Данная тема приобретает для меня все большую актуальность в связи с изучением с этого учебного года квадратных уравнений, биквадратных уравнений и началом подготовки к ОГЭ.

Объект исследования: Уравнения с одной переменной.

Предмет исследования: Уравнения с параметром.

Проблема: недостаточно знаний и умений по теме «Уравнения с параметром».

не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром при изучении их в седьмом классе;

не изучались квадратные уравнения с параметром в восьмом классе.

Цель: изучить способы решения уравнений с параметром.

Дать определение понятию «Уравнение с параметром»;

Рассмотреть способы решения уравнений с параметром;

Подобрать различные виды заданий для решения;

Представить изученный материал в докладе и презентации.

Гипотеза исследования: Можно предположить, что если изучить различные методы решения уравнений с параметром, то можно найти универсальный метод, позволяющий решать уравнения разных видов.

Эмпирические (изучение литературы по теме исследования, самостоятельное решение уравнений);

Обобщения и систематизации математического материала;

Экспериментально-теоретические (анализ, моделирование, сравнение).

Данная тема открыла мне новые виды уравнений с параметром, позволила познакомиться с доступными способами их решения.

Практическая значимость проекта:

Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к олимпиадам.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Историческая справка

«Все математики знали,

что под алгеброй были скрыты

но не умели их найти.»

Франсуа́ Вие́т, сеньор де ля Биготье

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой [7].

В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c.

3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. αx 2 + bx = c.

Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи – основа аналитического метода решения уравнений с параметром.

Понятие переменной величины было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему – основа графического метода решения уравнений с параметром.

2.2. Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения: 5х +1 = 2, 1 + 2х = 2, — 0,5х + 1 = 2. В общем виде эти уравнения можно записать так: ах + 1 = 2, где а – некоторое число, х – переменная. Приведем еще примеры уравнений, в которых коэффициенты заданы не конкретными числами, а буквами: 5х = р, ах =1, с + d х = 10, k х – 3 = 0,5. Такие буквы называют параметрами.

Определение 1: Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству[2].

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательной левой части уравнения |х| = а – 1 не следует неотрицательность значений выражения а – 1, если а – 1

Определение 2: Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром.

Решить уравнение с параметром означает:

Найти все значения параметра, при которых данное уравнение имеет решение.

Найти все решения для каждого найденного значения параметра, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

К основным методам решения линейных уравнений с параметром относятся аналитический метод и графический метод.

2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром

Определение: Аналитический метод – это способ «прямого» решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Аналитический метод решения задач с параметром самый трудный способ, требующий высокой математической грамотности.

Рассмотрим решение линейного уравнения ах = b , где а и b – некоторые действительные числа, х — переменная. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы:

Пример 1[9, с.3]. Решить уравнение ах=1.

Решение: при а=0, то есть 0 ⋅ х=1, уравнение корней не имеет; при а≠0 уравнение имеет корень х = .

Ответ: если а=0, то корней нет; если а≠0, то х = .

Пример 2[4]. Решить уравнение +3=5-х

Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: +х=2;

х (+1) =2; х× =2.

При а = 0 уравнение не имеет смысла.

При а ≠ 0 и а + 1 = 0 (а = – 1) уравнение примет вид 0·х = 2, т. е. не имеет решений.

При а ≠ 0, а≠– 1 уравнение имеет единственный корень х =

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет смысла; если а ≠ 0 и а = – 1, то корней нет; если а ≠ 0 и а ≠ – 1, то х =.

Пример 3. При каком значении параметра а уравнение а 2 х+2=4х+а имеет бесконечно много корней?

Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: а 2 х — 4х = а — 2; (а 2 —
– 4) х = а – 2; (а-2) (а+2) х = (а-2). При а = 2 данное уравнение принимает вид 0·х = 0, значит х – любое число.

Ответ: а = 2.

2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром

Графический метод решения задач с параметром исключительно наглядный способ решения. В любом классе задач есть задачи, которые блестяще решаются данным способом и трудоемко другими.

Часто в линейных уравнениях с параметром переходят к линейным функциям вида у = kx + b, где k и b – коэффициенты. В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха.

Геометрически каждое уравнение представляет прямую на плоскости, поэтому возможны три случая расположения двух прямых, то есть три случая решения: 1) прямые пересекаются — уравнение будет иметь один корень; 2) прямые параллельны — уравнение не имеет корней; 3) прямые совпадают — уравнение имеет бесконечно много решений.

Возможно при использовании графического метода возникает вопрос о строгости решения. Поэтому, когда результат, полученный с помощью графического метода, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.

Рассмотрим решение двух линейных уравнений с параметром графическим методом с построением графиков в координатной плоскости Оху.

Пример 1 . Решить уравнение ах = 1.

Решение: запишем уравнение в виде системы у=1,

Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху. Первое уравнение изображается прямой, второе – семейством прямых, проходящих через начало координат. При а = 0, т. е. второе уравнение примет вид у = 0, прямые будут параллельны, а значит, система не имеет корней. При а ≠ 0 прямые пересекаются, значит система имеет корень х = .

Ответ : если а = 0, то корней нет; если а ≠ 0, то х = .

Пример 2. Решите уравнение |х| = х – а.

Решение: снова запишем уравнение в виде системы: у= │х│,

В системе координат Оху первое уравнение определяет ломаную, второе – семейство прямых, параллельных биссектрисе I и III координатных четвертей. Видно, что при а > 0 нет решений, при а = 0 решений бесконечно много, при а

х = — .

Ответ : если а > 0, то нет корней;

если а = 0, то решений бесконечно много;

если а .

2.5. Квадратные уравнения с параметром

Общий вид квадратного уравнения с параметром: α x 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа.

Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

Выражение D = b 2 – 4 α c называют дискриминантом.

1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня [5, с.292].

Рассмотрим решение квадратного уравнения αx 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы:

2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1[9, с.6] . Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:

(2a – 1) x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не менее одного корня.

При 2 a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a = разбираем отдельно.

Если a = , то уравнение принимает вид x – 3 = 0, оно имеет один корень: х = 6.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не менее одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

D = a 2 – 4(2 a – 1) (2 a – 3) = -15 a 2 + 32 a – 12≥0

16+2 √19

-15 а 2 + 32 а — 12 ≥ 0 15

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять, удовлетворяет ли а=

полученному условию: сравним и ; и , > и
.

Ответ : если а ≠ , то х ⋲ (-∞; ) U < > U ( ; +∞);

если а = , то х = 6.

Пример 2. Один из корней уравнения x 2 + bx + 6 = 0 равен 2. Найдите коэффициент b и другой корень уравнения.

Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета

2+х ₂ = — b ,

2х ₂ = 6,

х ₂ =3 ⇒ 2 + 3 = 5 = — b ⇒ b = — 5.

Ответ : х ₂ = 3, b = — 5.

Пример 3. Один из корней уравнения x 2 + kx – 2k + 5 = 0 равен 1. Найдите значение параметра k и другой корень уравнения.

Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета

1+ x ₂ = — k ,

1 ⋅ x ₂ = -2k + 5 , 1 – 2 k + 5 = — k , — k = — 6, k = 6 ⇒ x ₂ = — 7

Ответ: x ₂ = — 7, k = 6.

2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1[3] . Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ = а.

Заметим, что количество решений уравнения ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ = а равно количеству точек пересечения графиков функций у= ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ и y = a.

График функции у = х 2 – 7х + 6 показан на рис.1.

График функции у = х 2 – 7 ∣ х ∣ + 6 показан на рис.2.

График функции у = ∣ х 2 – 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ показан на рис.3.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

при a = 0 и a = – четыре решения;

при 6 – шесть решений; при a > – два решения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выбор темы обусловлен желанием научиться решать уравнения с параметрами не только простые, но и повышенного уровня сложности. В результате можно отметить:

решены пять линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено модулем;

решения всех уравнений подробно описаны в работе;

графики построены с помощью приложения «Живая математика».

В ходе выполнения данной работы выдвинутая гипотеза подтвердилась. Существуют задачи с параметрами, при решении которых используются только аналитические методы. Но иногда можно решить задачу и аналитически, и графически. Таким образом, аналитический метод – универсальный.

Считаю, что мне удалось справиться с поставленной целью и задачами, разрешить проблему. Кроме того, я научилась пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное. Могу отметить, что новые знания уже пригодились мне на некоторых уроках.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВикипедиЯ: свободная энциклопедия. [Электронный ресурс] — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/

Голубев В., Гольдман А. О задачах с параметром. Первоначальные сведения. // Математика – 2002 — № 23 – с.27-32;

Информационный источник сложной структуры «Виртуальная математика. Задачи с параметрами. 7 – 11 кл.». [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/ df 413 b 15-266 b -4 a 0 a — bdb 228 fc 41140 ab 2/;

Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры. // Математика – 2001 — № 36 – с. 19-22;

Макарычев Ю.Н. Алгебра 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2010, — 384 с.;

СтудопедиЯ. [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://studopedia.ru/4_94223_analiticheskiy-metod-resheniya-zadach-s-parametrami.html;

Уравнения с параметрами в школьном курсе математики. [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://qp1qp.narod.ru/istoriya.html;

Феоктистов И. Е. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. — М.: Мнемозина, 2013. – 173 с.;

Чикунова О.И. Практикум. Задачи с параметрами: учебно – методическое пособие для учащихся 7 – 11 классов. – Шадринск: Шадринский Дом Печати, 2015. – 64 с.