Как преобразовать уравнение к новым переменным

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Математический анализ
• Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Часто в дифференциальных выражениях входящие в них производные по одним переменным необходимо выразить через производные по новым переменным.

Примеры.

7.165. Преобразовать уравнение $$x^4\frac+2x^3\frac-y=0,$$ полагая $x=\frac<1>.$

Решение.

Подставим найденные значения производных и выражение $x=\frac<1>$ в заданное уравнение.

Ответ: $\frac-y=0.$

7.167. Преобразовать уравнение $$3\left(\frac\right)^2-\frac\frac-\frac\left(\frac\right)^2=0,$$ приняв $y$ за аргумент.

Решение.

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $x$ по $y:$ $$\frac=\frac<1><\frac>,$$

Подставим полученные выражения производных в заданное уравнение. Получаем

Таким образом, получили ответ.

7.168. Преобразовать уравнение $$(xy’-y)^2=2xy(1+y’^2),$$ перейдя к полярным координатам.

Решение.

$$dx=\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi,\qquad dy=\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi,$$

$$r^4 d\varphi^2=r^2\sin2\varphi dr^2+r^4\sin 2\varphi d\varphi^2\Rightarrow$$

$$\sin2\varphi dr^2=(1-\sin 2\varphi)r^2 d\varphi^2 \Rightarrow\left(\frac\right)^2=\frac<1-\sin 2\varphi> <\sin 2\varphi>r^2\Rightarrow$$

7.170. Преобразовать уравнение $$(x+y)\frac<\partial z><\partial x>-(x-y)\frac<\partial z><\partial y>=0,$$ перейдя к новым независимым переменным $u$ и $v,$ если $u=\ln\sqrt,\,\, v=arctg\frac.$

Решение.

Выразим частные производные от $z$ по $x$ и $y$ через частные производные от $z$ по $u$ и $v.$

Подставим найденные выражения производных в заданное уравнение:

7.174. Преобразовать уравнение $$(xy+z)\frac<\partial z><\partial x>+(1-y^2)\frac<\partial z><\partial y>=x+yz,$$ приняв за новые независимые переменные $u=yz-x,\,\, v=xz-y$ и за новую функцию $w=xy-z.$

Решение.

$$ ydx+xdy-dz =\frac<\partial w><\partial u>\cdot \left(-dx+zdy+ydz\right) +\frac<\partial w><\partial v>\cdot \left(zdx+xdz-dy \right)\Rightarrow$$

Подставим найденные выражения $\frac<\partial z><\partial x>$ и

$\frac<\partial z><\partial y>$ в заданное уравнение. Получим

Общие методы преобразования уравнений

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

• обобщить и углубить знания по теме;
• сформировать представление о методах и способах решения алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;
• формирование навыков умственного труда;
• развивать качества мышления: гибкость, рациональность, критичность;
• развитие внимания, логического мышления, аргументированной математической речи, самостоятельности, познавательной активности;
• воспитание ответственности, воли, упорства в достижении поставленной цели, умение контролировать внимание на всех этапах урока.

Оборудование: кодоскоп, слайды, доклады-сообщения учащихся.

Тип урока: урок формирования знаний, умений и навыков.

Формы обучения: общеклассная, групповая, индивидуальная.

Методы обучения: словесный, наглядный, практические задания, самостоятельная деятельность, проблемно-поисковый.

I. Организационный момент

Мотивационная беседа с учащимися пропедевтической направленности через осознание ими практической значимости изучаемых и применяемых знаний, умений и навыков.

Эпиграф урока: «Час, затраченный на понимание, экономит год жизни». (В. Босс)

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Работа по основным определениям, понятиям, относящимся к уравнениям (вопросы, составленные на основе курса лекций 1-4 «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» автора П.В. Чулкова, М. Шабунин «Уравнения» – библиотека приложения к газете 1 сентября, дополнительные главы по курсу математики 10 под редакцией З.А. Скопеца);

2. Ответить на вопросы:

– Верно ли, что 5х = 10 х 2 = 8 на множестве действительных чисел, на множестве рациональных чисел?
– Верно ли, что 2х = 10 5х = х 2 ?

3. Алгоритм решения уравнения или как мы решаем уравнения?

III. Решение уравнений

Рассмотрим наиболее часто встречаемые преобразования уравнений.

а) разложение на множители (или расщепление уравнений):

1. х 3 – 4х 2 – 16х + 64 = 0
(х 3 – 4х 2 ) – (16х – 64) = 0
х 2 (х – 4) – 16(х – 4) = 0
(х – 4)(х 2 – 16) = 0
(х – 4) 2 (х + 4) = 0
х₁ = 4 или х₂ = – 4

2. х 3 + х – 10 = 0 (заслушать предлагаемые учащимися способы)
х 3 + х – 8 – 2 = 0
(х 3 – 8) + (х – 2) = 0
(х – 2)(х 2 + 2х + 4) + (х – 2) = 0
(х – 2)( х 2 + 2х + 5) = 0
(х – 2) = 0 или х 2 + 2х + 5= 0
х₁ = 2 т.к. D = –16 2 + х + 1)(х 2 + х + 2) = 12 (Заслушать предлагаемые учащимися способы. Очевидно, что ученики предложат выполнить умножение многочлена на многочлен)

– А какова степень уравнения? А нет ли более рационального способа решения? Посмотрите, как «звучит» способ в заголовке? Что вы заметили?

Возможны варианты: x 2 + x = t или x 2 + x + 1 = t

Пусть x 2 + x + 1 = t
Тогда t (t + 1) = 12
t 2 + t – 12 = 0, получаем t₁ = – 4; t₂ = 3.
Отсюда: х 2 + х + 1 = – 4 или х 2 + х + 1 = 3
х 2 + х + 5 = 0 х 2 + х – 2 = 0
т.к. D = –19 0 корней нет.
Т.к. сумма коэффициентов a + b + c = 0, то х₁ = 1; х₂ = c/a х₂ = – 2

2. Используйте этот приём для решения следующего уравнения:

; ОДЗ: х =/= 0, х =/= – 4, х =/= – 2.
Запишем уравнение иначе:
Пусть x 2 + 4x = t, тогда
Получим: 1 . 5(t + 4) – 1 . t . 5 = 4 . t . (t + 4)
5t + 20 – 5t = 4t 2 + 16t
4t 2 + 16t – 20 = 0
t 2 + 4t – 5 = 0 D = 36 > 0 2 корня. По сумме коэффициентов: 1 + 4 – 5 = 0 имеем: t₁ = 1; t₂ = c/a t₂ = – 5. Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения с переменной t.
Отсюда: x 2 + 4x = 1 или x 2 + 4x = – 5
x 2 + 4x – 1 = 0 x 2 + 4x + 5 = 0
D = 20 > 0 2 корня т.к. D = – 4 2 + 3х + 3)(х 2 – 2х + 3) = 24х 2

(Посмотреть на реакцию учащихся)
Для введения новой переменной «мешает» х 2 в правой части, нет никакого смысла применять замену х 2 = t. Как же преобразовать уравнение? Причём так преобразовать, чтобы правая часть не содержала х 2 . (как в уравнении 1) этого метода) Выслушать мнение учащихся. Достаточно разделить почленно уравнение на х 2 , т.к. х = 0 не является корнем данного уравнения!

(х 2 + 3х + 3)(х 2 – 2х + 3) = 24х 2 х 2 =/= 0

Вот теперь пусть , тогда (t + 3)(t – 2) = 24
t 2 + t – 30 = 0, получаем: t₁ = – 6; t₂ = 5.
Отсюда: = – 6 или = 5
х 2 + 6х + 3 = 0 или х 2 – 5х + 3 = 0
D = 24 > 0 2 корня D = 13 > 0 2 корня

Ответ: ; .

4. А вот ещё одно очень интересное уравнение:

–1 и + 3 можно представить в виде сумм, одно из слагаемых которых будет 1 : – 1 = – 2 + 1 и 3 = 2 + 1.
Тогда х – 1 = х – 2 + 1 = (х + 1) – 2
х + 3 = х + 2 + 1 = (х + 1) + 2, получим уравнение:
((х +1) – 2) 4 + ((х +1) + 2) 4 = 82, пусть х + 1 = t,
Тогда (t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 82.

На первый взгляд, новое уравнение не отличается принципиально от данного: мы получили четвёртую степень двучлена, но вторые слагаемые двучлена отличаются только знаками, что намного упрощает конечный вид и преобразования полученного уравнения.

В результате преобразований получается биквадратное уравнение относительно переменной t: t 4 + 24 t 2 – 25 = 0; пусть t 2 = y, тогда y 2 + 24y – 25 = 0

Корни этого уравнения 1 и – 25.
Отсюда: t 2 = 1 или t 2 = – 25
t_1,2 = ± ( n + a₁x n – 1 + a₂x n – 2 + …+ a₂x 2 + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Свойства симметрических уравнений:

а) если дано уравнение нечётной степени, то х = – 1 – корень уравнения;
б) уравнение чётной степени 2n с помощью подстановки v = x + 1/x сводится к уравнению степени n.

Рассмотрим решение на конкретном уравнении:

2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0 да, по определению это симметрическое уравнение нечётной степени. Значит х = – 1 – корень исходного уравнения; разложим его на множители:
(х + 1)(2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2) = 0;
работаем со вторым множителем:
2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0 ¦: х₂ =/= 0 2х 2 + 3х – 16 + 3 . 1/х + 2 . 1/х 2 = 0.
Группируем: 2(х 2 + 1/х 2 ) + 3(х + 1/х) – 16 = 0. Пусть х + 1/х =, тогда х 2 + 1/х 2 = t 2 – 2,
отсюда: 2(t 2 – 2) + 3t – 16 = 0 и далее 2t 2 + 3t – 20 = 0,
решая это уравнение, получим: t₁= – 4 и t₂ = – 5/2; откуда х + 1/х = – 4 или х + 1/х = – 5/2.
Решая эти уравнения, получим: х_1,2 = – 2 ± , х₃ = 2, х₄ = 1/2.

Ответ: – 1, – 2 ± , 2, 1/2.

2. Определение. Уравнение вида a₀(u(x)) n + a₁(u(x)) n – 1 v(x) + a₂(u(x)) n – 2 (v(x)) 2 +…+ a_k(u(x)) n – k (v(x)) k +…+ a₀(v(x)) n = 0 называют однородным уравнением степени n относительно u(x) иv(x).

Решите уравнение: (х – 2) 2 (х + 1) 2 – (х – 2)(х 2 – 1) – (х – 1) 2 = 0
Пусть u = (х – 2)(х + 1) и v = х – 1, получаем: u 2 – uv – 2v 2 = 0.
Рассмотрим все возможные случаи:

а) v = 0, тогда х = 1, но 1 не является корнем исходного уравнения (была проверка!);
б) v =/= 0, тогда заменой p = u/v получаем уравнение: p 2 – p – 2 = 0, откуда p₁ = –1, p₂ = 2. т.е.
Решаем эти уравнения, получаем: х₁ = 0; х₂ = 3; х_3,4 = + .

Ответ: 0; 3; + .

VI. Итог урока

Рефлексия: беседа с учащимися о занятии, что необходимо школьнику, чтобы заметить тот или иной приём, рациональный в данном конкретном случае, что было трудно, какой приём требуется ещё повторить?

VII. Домашнее задание:

Решите уравнения:

• х 4 + (1 – х) 4 = 1/8;
• (х + 2)(х – 3)(х – 1)(х + 6) = 40х 2
• х 2 (х – 1) 2 + х(х 2 – 1) = 2(х + 1) 2 .

Проверочная работа.

1) Равносильны ли уравнения

2) Какое из двух уравнений является следствием другого: х 2 = 9 или х = 3?

3) Решите уравнения:

1. х 3 – 6х 2 + 11х – 6 = 0;
2. х 6 – 9х 3 + 8 = 0;
3. (х 2 – 6х) 2 – 2(х – 3) 2 = 81;
4. х(х + 3)(х + 5)(х + 8) = 10;
5. х 4 – 4х 3 + 5х 2 – 4х + 1 = 0;
6. ;
7. (х 2 + х + 4) 2 + 8х(х 2 + х + 4) + 15х 2 = 0;
8. .

1) нет,
2) первое,
3)

1. 1; 2; 3,
2. 1; 2,
3. 3; 3 + 2,
4. – 4 +,
5. ,
6. 0,
7. – 2; – 3 +,
8. 7 +.

Замена переменных

Выражения, содержащие различные функции и их производные, постоянно встречаются в математике и ее приложениях. Целесообразность перехода к новым независимым переменным, а иногда и к новым функциям, основана как на особой роли новых переменных в изучаемом вопросе, так и на упрощениях, к которым приводит выбранная замена переменных.
Техника замены переменных основана на правилах дифференцирования сложных функций и функций, заданных неявно при помощи уравнений. Такая техника будет продемонстрирована на нескольких достаточно содержательных примерах. Обоснование всех условий, при выполнении которых замена переменных будет законной, в большинстве примеров не представляет труда и поэтому не обсуждается.

В уравнении \(\displaystyle x^2+\frac+x\frac+y=0\) сделать замену независимой переменной \(x=e^t\).

\(\triangle\) Если \(z(t) = y(e^t)\), то, применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем
$$
\frac=e^t\frac=x\frac,\nonumber
$$
откуда \(\displaystyle \frac=x\frac\).

Заметим, что уравнение \(\displaystyle \frac+z=0\) является уравнением гармонических колебаний, а его решением является \(z=C_<1>\sin t + C_2\cos t\). Поэтому при \(x > 0\) решение исходного уравнения имеет следующий вид: \(y= C_1 \sin (\ln x) + C_2\cos (\ln x)\). Так как уравнение не изменяет своего вида при замене \(x\) на \(-x\), то при любом \(x\in R, \ x\neq 0\), решение имеет следующий вид:
$$
y(x)=C_1\sin(\ln |x|) + C_2\cos(\ln |x|).\qquad\blacktriangle\nonumber
$$

В системе уравнений:
$$
\left\<\begin\displaystyle\frac=y-2kx(x^2+y^2),\\\displaystyle\frac=-x-2kx(x^2+y^2),\\\displaystyle k > 0,\end\right.\nonumber
$$
перейти к полярным координатам.

\(\triangle\) Умножим первое уравнение на \(x\), второе на \(y\) и сложим. Аналогично умножим первое уравнение на \(y\) и вычтем из него второе уравнение, умноженное на \(x\). Получим новую систему уравнений, при \(x^2+y^2 > 0\) эквивалентную исходной системе уравнений,
$$
\left\<\begin\displaystyle x\frac+y\frac=-2k(x^2+y^2)^2,\\\displaystyle y\frac-x\frac=y^2+x^2.\end\right.\label
$$

Но \(x^2+y^2=r^2\), \(x=r\cos\varphi\), \(y=r\sin\varphi\). Поэтому систему \eqref можно записать в виде:
$$
\left\<\begin\displaystyle r\frac=-2kr^4,\\\displaystyle\frac=1.\end\right.\Longleftrightarrow\left\<\begin\displaystyle\frac=-2kr^3,\\\displaystyle\frac=1.\end\right.\label
$$

Заметим, что система \eqref легко решается. Получаем решение в виде:
$$
r=\frac<1><\sqrt>,\quad \varphi=\varphi_0+t\quad (-t_0 Пример 3.

Преобразовать уравнение \(y’y»’-3(y»)^2=x\), принимая \(y\) за независимую переменную, а \(x\) — за неизвестную функцию.

Таким образом, при \(y’\neq 0\) уравнение преобразуется к виду \(x»’+x(x’)^5=0\). Это частный случай уравнения общего вида \(x»’=\Phi(y,x,x’,x»)\) с непрерывно дифференцируемой в \(R^4\) функцией \(\Phi(y,u,v,w)\). Уравнения такого типа хорошо изучены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Исходное уравнение не имело стандартного вида. \(\blacktriangle\)

Преобразовать выражение \(\omega=\displaystyle \frac<\partial^2 u><\partial x^2>+\frac<\partial^2 u><\partial y^2>\) к полярным координатам, полагая \(x=r\cos\varphi, \ y=r\sin\varphi\). Найти решение уравнения Лапласа \(\displaystyle \frac<\partial^2 u><\partial x^2>+\frac<\partial^2 u><\partial y^2>=0\), зависящее только от полярного радиуса \(r\).

Пусть \(u=v(r)\) есть решение уравнения Лапласа, зависящее только от \(r\). Тогда функция \(v(r)\) должна быть решением дифференциального уравнения
$$
\frac<\partial^2v><\partial r>+\frac1r\frac<\partial v><\partial r>=0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac\left(r\frac\right)=0\nonumber
$$
$$
r\frac=C,\quad\Longrightarrow\quad v=C_1\ln r+C_2,\label
$$
где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные. \(\blacktriangle\)

Сделать в уравнении колебаний струны
$$
\frac<\partial^2u><\partial t^2>-a^2\frac<\partial^2u><\partial x^2>=0,\quad a > 0,\quad -\infty Решение.

Решение уравнения \(\displaystyle\frac<\partial^2\omega><\partial\xi\partial\eta>=0\) легко находится. Так как \(\displaystyle\frac\partial<\partial\xi>\left(\frac<\partial\omega><\partial\eta>\right)=0\), то \(\displaystyle\frac<\partial\omega><\partial\eta>=\varphi(\eta)\), где \(\varphi(\eta)\) — произвольная непрерывная функция \(\eta\).

Пусть \(\Phi(\eta)\) есть ее первообразная на \(R\). Тогда, интегрируя уравнение \(\omega_<\eta>=\varphi(\eta)\), получаем, что \(\omega=\Phi(\eta)+\Psi(\xi)\), где \(\Psi(\xi)\) — произвольная функция.

Если считать, что функции \(\Phi(\eta)\) и \(\Psi(\xi)\) есть непрерывно дифференцируемые функции, то общее решение уравнения \eqref имеет следующий вид:
$$
u(x,t)=\Psi(x-at)+\Phi(x+at).\quad\blacktriangle\nonumber
$$