Как преобразовывать уравнения к виду линейной функции

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

7 класс. Алгебра. Линейная функция.

7 класс. Алгебра. Линейная функция.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы познакомимся с понятием линейной функции, выведем ее в общем виде и рассмотрим частные случаи. Введем новую терминологию, рассмотрим типовые задачи и элементарные примеры.

В преды­ду­щих уро­ках мы изу­ча­ли ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми, это урав­не­ние вида , . Мы вы­яс­ни­ли, что гра­фи­ком дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся пря­мая. Рас­смот­рим при­мер:

(1)

Пе­ре­пи­шем его таким об­ра­зом, чтобы у был в одной части, а все осталь­ное в дру­гой:

Пе­ре­не­сем у в левую часть, а все осталь­ное в пра­вую:

(2)

Мы по­лу­чи­ли част­ный слу­чай урав­не­ния 1, в ко­то­ром стоит обособ­лен­но в левой части, гра­фи­ком обоих вы­ра­же­ний будет одна и та же пря­мая, но за­пись 2 мы будем на­зы­вать ли­ней­ной функ­ци­ей у от х.

По­стро­им гра­фик дан­ной функ­ции, для этого со­ста­вим таб­ли­цу:

2. Выведение линейной функции и ее параметров в общем случае, введение новых терминов

Опре­де­лим ли­ней­ную функ­цию в общем слу­чае из ли­ней­но­го урав­не­ния с двумя пе­ре­мен­ны­ми:

По­сколь­ку можем обе части по­де­лить на b:

Вве­дем более удоб­ные обо­зна­че­ния:

,

(3)

Для при­ме­ра №1 ,

Таким об­ра­зом, пара чисел k и m за­да­ют кон­крет­ную ли­ней­ную функ­цию.

Вве­дем неко­то­рую тер­ми­но­ло­гию. В ли­ней­ной функ­ции пе­ре­мен­ную х на­зы­ва­ют неза­ви­си­мой пе­ре­мен­ной или ар­гу­мен­том функ­ции, мы сами можем вы­би­рать про­из­воль­ное зна­че­ние х и по нему на­хо­дить со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние у.

на­зы­ва­ют за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной или функ­ци­ей.

Ли­ней­ная функ­ция ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что если за­да­но зна­че­ние х, можно сразу по­лу­чить зна­че­ние у. у – это ли­ней­ная функ­ция от х.

Най­дем для ли­ней­ной функ­ции в общем виде (3) точки пе­ре­се­че­ния с осями. Для всех точек на оси у ха­рак­тер­но то, что их абс­цис­са – ко­ор­ди­на­та х, равна нулю.

, ;

Точка пе­ре­се­че­ния с осью у: (0, m)

От­сю­да гео­мет­ри­че­ский смысл пе­ре­мен­ной m – это ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой 3 с осью у. Па­ра­метр m од­но­знач­но за­да­ет точку пе­ре­се­че­ния пря­мой 3 с осью ор­ди­нат.

Па­ра­метр носит на­зва­ние уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент.

Для всех точек на оси х ха­рак­тер­но то, что их ор­ди­на­та равна нулю. Най­дем точку пе­ре­се­че­ния нашей функ­ции с осью х:

, , ,

Точка пе­ре­се­че­ния с осью х: ()

3. Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции

По­стро­им гра­фи­ки двух ли­ней­ных функ­ций: (4), (5)

В функ­ции 4

В функ­ции 5

Для по­стро­е­ния гра­фи­ков со­ста­вим таб­ли­цы, в ко­то­рых за­пи­шем точки их пе­ре­се­че­ния с осями ко­ор­ди­нат:

Таб­ли­ца для функ­ции 4;

Таб­ли­ца для функ­ции 5;

Итак, из по­стро­е­ния мы видим, что когда (пря­мая ) угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х ост­рый, а когда (пря­мая ) угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х тупой.

Кор­нем функ­ции 4 яв­ля­ет­ся число -3, по­то­му что имен­но при этом зна­че­нии х функ­ция об­ра­ща­ет­ся в ноль.

Кор­нем функ­ции 5 яв­ля­ет­ся число 3, так как при дан­ном зна­че­нии х функ­ция об­ра­ща­ет­ся в ноль.

От­ме­тим, что ре­ше­ни­ем сле­ду­ю­щей си­сте­мы:

Яв­ля­ет­ся точка (0; 3).

4. Решение типовых задач

При­мер 3 – найти k и m:

За­да­но ли­ней­ное урав­не­ние, так как х и у стоят в пер­вой сте­пе­ни, с двумя пе­ре­мен­ны­ми.

Чтобы найти k и m, вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

За­пи­шем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в стан­дарт­ном виде:

От­сю­да оче­вид­но, что , а

При­мер 4 – найти k и m:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть:

За­пи­шем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в стан­дарт­ном виде:

От­сю­да оче­вид­но, что , а

Итак, одна из стан­дарт­ных задач – это на­хож­де­ние по за­дан­но­му ли­ней­но­му урав­не­нию па­ра­мет­ров ли­ней­ной функ­ции k и m.

Еще две стан­дарт­ные за­да­чи – по за­дан­но­му зна­че­нию х найти у и на­о­бо­рот, по за­дан­но­му зна­че­нию у найти х. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 5 – найти зна­че­ние у при :

Такую за­да­чу ино­гда на­зы­ва­ют пря­мой за­да­чей.

При­мер 6 – найти зна­че­ние ар­гу­мен­та, если :

Эта за­да­ча на­зы­ва­ет­ся об­рат­ной.

5. Выводы по уроку

Вывод: в дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли ли­ней­ную функ­цию как в част­ных слу­ча­ях, так и в общем виде, опре­де­ли­ли па­ра­мет­ры ли­ней­ной функ­ции и их зна­че­ние, ввели неко­то­рые новые тер­ми­ны, на­учи­лись ре­шать эле­мен­тар­ные ти­по­вые за­да­чи.

Тема: Ли­ней­ная функ­ция

Урок: Вза­им­ное рас­по­ло­же­ние гра­фи­ков ли­ней­ных функ­ций

1. Напоминание теоретических положений

На­пом­ним, что ли­ней­ной на­зы­ва­ет­ся функ­ция вида:

x — неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, ар­гу­мент;

у — за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция;

k и m – неко­то­рые числа, па­ра­мет­ры, од­но­вре­мен­но они не могут быть равны нулю.

Гра­фи­ком ли­ней­ной функ­ции яв­ля­ет­ся пря­мая линия.

Важно по­ни­мать смысл па­ра­мет­ров k и m и на что они вли­я­ют.

2. Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых

, ,

По­стро­им гра­фи­ки дан­ных функ­ций. У каж­дой из них . У пер­вой , у вто­рой , у тре­тьей . На­пом­ним, что па­ра­мет­ры k и m опре­де­ля­ют­ся из стан­дарт­но­го вида ли­ней­но­го урав­не­ния , па­ра­метр – это ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью у. Кроме того, от­ме­тим, что ко­эф­фи­ци­ент от­ве­ча­ет за угол на­кло­на пря­мой к по­ло­жи­тель­но­му на­прав­ле­нию оси х, кроме того, если он по­ло­жи­тель­ный, то функ­ция будет воз­рас­тать, а если от­ри­ца­тель­ный – убы­вать. Ко­эф­фи­ци­ент на­зы­ва­ет­ся уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.

Со­ста­вим таб­ли­цы для по­стро­е­ния гра­фи­ков:

Как преобразовать уравнение ax + by + c = 0 к виду линейной функции y = kx + b?

Математика | 5 — 9 классы

Как преобразовать уравнение ax + by + c = 0 к виду линейной функции y = kx + b.

y = ( — ax — c) / b = ( — a / b)x — c / b

получим : k = — a / b a b(из второй формулы) = — с / b(из первой формулы).

Преобразовав линейное уравнение 3x — 2y + 4 = 0 к виду y = kx + m найдите угловой коэффициент полученной линейной функции?

Преобразовав линейное уравнение 3x — 2y + 4 = 0 к виду y = kx + m найдите угловой коэффициент полученной линейной функции.

Преобразовав линейное уравнение 3x + 2y — 9 = 0 к виду линейной функции y = rx + m, найдите ее угловой коэффициент?

Преобразовав линейное уравнение 3x + 2y — 9 = 0 к виду линейной функции y = rx + m, найдите ее угловой коэффициент?

Если можно, с объяснением, как находится угловой коээфициент.

Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными х и у к виду линейной функции у = кх + м и выпишите коэффициент к и м на примере х — у = 9?

Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными х и у к виду линейной функции у = кх + м и выпишите коэффициент к и м на примере х — у = 9.

Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными 1 / 4 х — 1 / 2у = — 1 к виду линейной функции у = rx + m?

Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными 1 / 4 х — 1 / 2у = — 1 к виду линейной функции у = rx + m.

Преобразовать дробно — линейную функцию , выделив целую часть : y = x — 7 / x — 1?

Преобразовать дробно — линейную функцию , выделив целую часть : y = x — 7 / x — 1.

Преоброзовав линейное уравнение 2x — 3y + 7 = 0 к виду y = kx + m, найдите угловой коэффицент полученой линейной функции?

Преоброзовав линейное уравнение 2x — 3y + 7 = 0 к виду y = kx + m, найдите угловой коэффицент полученой линейной функции.

Преобразовать дробно — линейную функцию выделив целую часть x + 5 / x + 3?

Преобразовать дробно — линейную функцию выделив целую часть x + 5 / x + 3.

Преобразовав линейное уравнение 3x — 2y — 4 = 0 к виду y = kx + m, найдите угловой коэффициент полученной линейной функции?

Преобразовав линейное уравнение 3x — 2y — 4 = 0 к виду y = kx + m, найдите угловой коэффициент полученной линейной функции.

Преобразуйте линейное уравнение 4x — 2y — 3 = 0 к виду линейной функции y = kx + m и найдите m?

Преобразуйте линейное уравнение 4x — 2y — 3 = 0 к виду линейной функции y = kx + m и найдите m.

Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными — 4x + 2y = 6 к виду линейной функции y = kx + m?

Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными — 4x + 2y = 6 к виду линейной функции y = kx + m.

На странице вопроса Как преобразовать уравнение ax + by + c = 0 к виду линейной функции y = kx + b? из категории Математика вы найдете ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.