Как привести подобные числа в уравнении

Подобные слагаемые

Свойства сложения и умножения

В буквенных выражениях числа могут быть обозначены буквами. Поэтому для всех буквенных выражений верны следующие равенства, выражающие свойства сложения и свойства умножения:

С помощью этих свойств можно упрощать буквенные выражения. Например:

Слагаемые 5a, 12a и -7a отличаются только числовыми множителями, такие слагаемые называются подобными.

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, отличающиеся только числовыми множителями и имеющие одинаковую буквенную часть. Пользуясь свойствами сложения и умножения, можно упрощать выражения, содержащие подобные слагаемые. Например, упростим выражение:

Такое упрощение выражения называется приведением подобных слагаемых. В простых примерах промежуточные вычисления можно опустить:

Приведение подобных слагаемых

Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения, содержащего подобные слагаемые, путём их сложения.

Пример 1. Приведите подобные слагаемые:

Решение: Сначала надо найти в выражении подобные слагаемые:

теперь можно их сгруппировать, вынести общий множитель за скобки и привести подобные слагаемые:

Пример 2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

Подобные слагаемые, их приведение, примеры

Приведение подобных слагаемых является одним из наиболее употребимых тождественных преобразований. В этом разделе мы дадим определение термина, разберем, что обозначает словосочетание «приведение подобных слагаемых», рассмотрим основные правила выполнения действий и наиболее распространенные типы задач.

Определение и примеры подобных слагаемых

В большинстве учебных пособий тема подобных слагаемых разбирается после знакомства с буквенными выражениями, когда появляется необходимость проводить с ними различные преобразования.

Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Слагаемые – это, как известно, составные элементы суммы. Это значит, что они могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.

Рассмотрим сумму двух слагаемых 3 · a + 2 · a . В этой сумме слагаемые имеют одну и ту же буквенную часть, которая представлена буквой a . Согласно определению, эти два слагаемых являются подобными. Числа 2 и 3 в данном случае являются числовыми коэффициентами.

Рассмотрим сумму 5 · x · y 3 · z + 12 · x · y 3 · z + 1 . Здесь подобными являются слагаемые 5 · x · y 3 · z и 12 · x · y 3 · z , которые имеют одинаковую буквенную часть x · y 3 · z . Следует обратить внимание на то, что в буквенной части присутствует степень y 3 . Наличие степени не нарушает данное выше определение буквенной части в связи с тем, что y 3 по сути является произведением y · y · y .

Числовые коэффициенты 1 и − 1 в случае подобных слагаемых часто не записываются, но подразумеваются. К примеру, сумма 3 · z 5 + z 5 − z 5 состоит из трех слагаемых 3 · z 5 , z 5 и − z 5 , которые являются подобными. Здесь z 5 – это одинаковая буквенная часть, 3 , 1 и — 1 – коэффициенты.

Если слагаемые в буквенном выражении не имеют буквенной части, то они также являются подобными. Например, сумма 5 + 7 · x − 4 + 2 · x + y представлена 4 подобными слагаемыми, два из которых ( 5 и — 4 ) не имеют буквенной части.

Буквенная часть может быть представлена не только произведением букв, но также и произвольным буквенным выражением. Например:

3 · 5 · a — 2 · 5 · a + 12 · 5 · a .

Здесь общей буквенной частью подобных слагаемых является выражение 5 · a .

По аналогии можно выделить подобные слагаемые в выражении 4 · ( x 2 + x − 1 / x ) − 0 , 5 · ( x 2 + x − 1 / x ) − 1 . Это будут слагаемые с одинаковой буквенной частью ( x 2 + x − 1 / x ) .

Обобщим изложенные выше утверждения и дадим еще одно определение подобных слагаемых.

Подобные слагаемые – это слагаемые в буквенном выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, которые не имеют буквенной части, если под буквенной частью понимать любое буквенное выражение.

Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.

Возьмем для примера выражение 2 · x · y + 3 · y · x и рассмотрим такой нюанс: являются ли слагаемые 2 · x · y и 3 · y · x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x · y и y · x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.

Однако, если использовать переместительное свойство умножения, то можно изменить порядок множителей, не влияя на результат умножения. Это позволяет нам переписать выражение 2 · x · y + 3 · y · x можно переписать в виде 2 · x · y + 3 · x · y . Тогда слагаемые будут подобны.

К слову, в некоторых источниках при нестрогом отношении к вопросу, слагаемые из примера могут называться подобными. Но лучше не допускать таких неточностей в трактовках.

Приведение подобных слагаемых, правило, примеры

Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:

• перестановка слагаемых таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом;
• вынесение за скобки буквенной части;
• вычисление значения числового выражения, которое осталось в скобках.

Приведем пример таких вычислений.

Возьмем выражение 3 · x · y + 1 + 5 · x · y . Выделим подобные слагаемые и переставим их друг к другу: 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 3 · x · y + 5 · x · y + 1 .

Теперь вынесем за скобки буквенную часть: x · y · ( 3 + 5 ) + 1 .

Нам осталось вычислить значение выражения, которое записано в скобках: x · y · ( 3 + 5 ) + 1 = x · y · 8 + 1 .

Обычно числовой коэффициент записывается перед буквенной частью: x · y · 8 + 1 = 8 · x · y + 1 .

Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правило для того, чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их коэффициенты, а затем умножить полученный результат на буквенную часть при ее наличии.

Запишем более короткий вариант решения выражения, рассмотренного выше. В выражении 3 · x · y + 1 + 5 · x · y коэффициентами подобных слагаемых 3 · x · y и 5 · x · y являются числа 3 и 5 . Сумма коэффициентов равна 8 . Умножим ее на буквенную часть и получим: 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 8 · x · y + 1 .

Приведите подобные слагаемые: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 .

Решение

Начнем с приведения подобных слагаемых 0 , 5 · x и 3 , 5 · x . Используя правило, сложим их коэффициенты 0 , 5 + 3 , 5 = 4 . Умножим буквенную часть на полученный результат 4 · x .

Теперь займемся приведением подобных слагаемых без буквенной части: 1 2 + ( — 1 4 ) = 1 2 — 1 4 = 1 4 . Вспомним правило сложения чисел с разными знаками и выполним вычитание обыкновенных дробей. Получим: 1 2 + ( — 1 4 ) = 1 2 — 1 4 = 1 4

Итог: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = 4 · x + 1 4 .

Приведем краткую запись решения: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = ( 0 , 5 · x + 3 , 5 · x ) + ( 1 2 − 1 4 ) = 4 · x + 1 4 .

Ответ: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = 4 · x + 1 4 .

Особо хочется отметить тот факт, что приведение подобных слагаемых базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое можно выразить равенством a · ( b + c ) = a · b + a · c . Когда мы выполняем приведение подобных слагаемых, мы используем это равенство справа налево, т.е. в виде a · b + a · c = a · ( b + c ) .

Подобные члены многочлена и их приведение.

Многочлены, содержащие в своей записи подобные члены, с помощью тождественных преобразований могут быть приведены к виду, в котором не будет подобных членов. Такое преобразование многочлена называется приведением подобных членов. Ниже мы разберемся, как оно выполняется.

Навигация по странице.

Подобные члены многочлена

Напомним, какие члены многочлена называются подобными. Дадим определение.

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые в записи многочлена.

Итак, подобными членами многочлена являются члены с одинаковой буквенной частью, а также числа без буквенной части. Приведем пример: в многочлене 3·a·b 3 −3+4·b 2 −5+a·b 3 −11 подобными членами являются члены 3·a·b 3 и a·b 3 , а также числа −3 , −5 и −11 . Вот их то и можно привести.

Как приводить подобные члены?

Так как подобные члены многочлена являются подобными слагаемыми, то и приводить их можно также как приводят подобные слагаемые:

• сначала выполняется группировка подобных членов многочлена;
• после этого общая буквенная часть выносится за скобки;
• наконец, выполняются действия с числами в скобках.

Рассмотрим решения примеров. Начнем с простого примера, на нем легко проследить все действия, которые необходимо выполнить для приведения подобных членов.

Выполните приведение подобных членов в многочлене 5·x 2 −3·x+2·x 2 .

Очевидно, подобными членами являются 5·x 2 и 2·x 2 , сгруппируем их: 5·x 2 −3·x+2·x 2 =(5·x 2 +2·x 2 )−3·x . После вынесения общего множителя x 2 за скобки, получаем выражение x 2 ·(5+2)−3·x . Так как 5+2=7 , то x 2 ·(5+2)−3·x=x 2 ·7−3·x , а так как принято числовой коэффициент записывать перед переменными, то полученное выражение перепишем как 7·x 2 −3·x . На этом приведение подобных членов завершено.

Решение без пояснений может быть оформлено так:
5·x 2 −3·x+2·x 2 =(5·x 2 +2·x 2 )−3·x= x 2 ·(5+2)−3·x=x 2 ·7−3·x=7·x 2 −3·x .

5·x 2 −3·x+2·x 2 =7·x 2 −3·x .

В многочленах могут быть несколько групп подобных членов.

Приведите подобные члены в многочлене 2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z 2 .

В данном многочлене подобными членами являются 2·x , −x , 12·x и 3·x , также 3·x·y и −x·y , и еще −5 и 7 . После их группировки приходим к выражению (2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+ (−5+7)+z 2 . Теперь выносим за скобки общие множители: (2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+ (−5+7)+z 2 = x·(2−1+12+3)+x·y·(3−1)+(−5+7)+z 2 . Осталось лишь вычислить значения выражений в скобках, после чего имеем x·16+x·y·2+2+z 2 . В заключение запишем числовые коэффициенты первых двух членов полученного многочлена перед переменными: x·16+x·y·2+2+z 2 =16·x+2·x·y+2+z 2 .

Все преобразования, которые мы провели для приведения подобных членов многочлена, удобно представить в виде цепочки равенств:
2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z 2 = (2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+ (−5+7)+z 2 = x·(2−1+12+3)+x·y·(3−1)+(−5+7)+z 2 = x·16+x·y·2+2+z 2 =16·x+2·x·y+2+z 2 .

После того, как все шаги приведения подобных членов будут отработаны до автоматизма, часть действий можно выполнять в уме. При этом решение можно будет оформлять очень кратко. Покажем, как выглядит приведение подобных членов в краткой записи:
2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z 2 = (2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+ (−5+7)+z 2 = 16·x+2·x·y+2+z 2 .

2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z 2 = 16·x+2·x·y+2+z 2 .

В заключение стоит сказать пару слов о том, в чем приведение подобных членов может быть полезно. Понятно, что приведение подобных членов позволяет упрощать вид многочленов. Без приведения подобных членов редко удается обойтись при выполнении действий с многочленами. А иногда приведение подобных членов помогает привести многочлен к стандартному виду.