Как привести уравнение к простейшему виду

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Как привести уравнение к простейшему виду

Привести к простейшему виду уравнение параболы y = 2x 2 + 4x + 5 и найти координаты ее вершины.

Уравнение y = 2x 2 + 4x + 5 преобразуем, выделив в правой части полный квадрат:

пусть теперь x₁ = x + 1, y₁ = y — 3. Из сравнения с формулами

координаты нового начала: x₀ = -1; y₀ = 3. Уравнение параболы примет вид

Как привести уравнение к простейшему виду

§ 25. Приведение к простейшему виду

параболического уравнения
Пусть уравнение

(1)

является параболическим, т. е. удовлетворяет условию

.

В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравне­ния целесообразно начать с поворота координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение (1) при помощи формул

(2)

Угол следует найти из уравнения

(3)

тогда в новых координатах уравнение (1) приводится либо к виду

, (4)

где , либо к виду

(5)

где .

Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путём параллель­ного перенесения (повёрнутых) осей.
689. Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каж­дого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координат­ной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

3) 16х 2 — 24ху + 9у а — 160х+ 120у + 425 = 0.

690. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

691. Для любого параболического уравнения доказать, что коэффициенты А и С не могут быть числами разных знаков и что они одновременно не могут обращаться в нуль.

692. Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде:

Доказать также, что эллиптические и гиперболические уравне­ния в таком виде не могут быть написаны.

693. Установить, что следующие уравнения являются параболи­ческими, и записать каждое из них в виде, указанном в задаче 692:

694. Доказать, что если уравнение второй степени является параболическим и написано в виде

то дискриминант его левой части определяется формулой

.

695. Доказать, что параболическое уравнение

при помощи преобразования

приводится к виду

а — дискриминант левой части данного уравнения.

696. Доказать, что параболическое уравнение определяет пара­болу в том и только в том случае, когда . Доказать, что в этом случае параметр параболы определяется формулой

697. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:

698. Доказать, что уравнение второй степени является уравне­нием вырожденной линии в том и только в том случае, когда = 0.

699. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения:

б) 4х 2 — 12ху + 9у 2 + 20х — 30у — 11 = 0;

700. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой:

б) 9х 2 + 30ху + 25у 2 + 42х + 70у + 49 = 0;

Мир нужно изменять, иначе он неконтролируемым образом начнет изменять нас самих. Станислав Лем
ещё >>