Как проверить удовлетворяет ли функция заданному уравнению

Примеры решений задач: функции нескольких переменных

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа для функций нескольких переменных:

Примеры: область определения ФНП

Задача 1. Найти область определения функции двух переменных $z=f(x,y)$. Изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.

Задача 2. Для данной функции найти область определения и изобразить ее на рисунке в системе координат.

Примеры: частные производные ФНП

Задача 3. Найти частные производные: $z=tg^3 (3x-4y)$

Задача 4. Найти частные производные второго порядка $z=\sqrt$

Задача 5. Найти частные производные сложной функции:

$$ z=u^2 \cdot \ln v; \quad u=\frac, \, v=x^2+y^2.$$

Задача 6. Проверить справедливость теоремы о смешанных производных второго порядка.

Задача 7. Найти полный дифференциал данной функции

Задача 8. Найти дифференциал второго порядка функции:

Задача 9. Для функции $z(x,y)$ двух переменных, неявно заданной уравнением $\sin(xz)+\cos(yz)=1$, найдите первый и второй дифференциалы в точке $x=y=1, z=0$.

Задача 10. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных $z(x,y)$ указанному дифференциальному уравнению.

Градиент, производная по направлению

Задача 11. Найти производную функции $f(x,y,z)$ в точке $M(x_0,y_0,z_0)$ по направлению вектора $\overline$. Вычислить наибольшую скорость изменения функции в данной точке.

Задача 13. Найдите градиент, производную по направлению $\overline$ и матрицу Гессе в точке $M$ заданной функции, где $u=f(x,y,z)=x^2z+z^2x^2+y^3$, $\overline=\<2;1;-2\>$, $M(1,3,1)$.

Задача 14. Найти производную функции $u$ в точке $M$ по направлению нормали к поверхности $S$, образующей острый угол с положительным направлением оси $Oz$.

Касательная плоскость и нормаль

Задача 15. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-x+2y+4z-13=0$ в точке $M(2,1,2)$.

Задача 16. Для кривой $\overline=\overline(t)$ найти в точке $t_0$ уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии.

$$ \overline(t)=(t^2-3)\overline + (t^3+2)\overline+\ln t \overline, \quad t_0=1 $$

Задача 17. Найти градиент, первый дифференциал, матрицу вторых производных, второй дифференциал функции $z=2xy-xy^4+5y^3-3$ в точке $A(2,-3)$. Составить уравнения касательной плоскости и соприкасающегося параболоида к графику данной функции.

Экстремумы функции нескольких переменных

Задача 18. Найти точки экстремума функции $z=x^2+xy+y^2+2x-y$.

Задача 19. Найти точки локального экстремума и экстремальные значения $z=x^2+y^2-xy+x+y$.

Задача 20. Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+xy+\frac<1><2>y^2+5$.

Задача 21. Определите, при каких значениях параметра $a$ функция $z(x,y)=x^3+y^3+4xy-7x-7y+a(x-1)^2+a(y-1)^2$ в точке (1;1):
А) имеет максимум,
Б) имеет минимум,
В) не имеет экстремума.

Задача 22. Найдите (локальные) экстремумы функции трех переменных $f(x,y,z)=2x^2-xy+2xz-y+y^3+z^2$.

Приближенные вычисления

Задача 23. Вычислить приближенно значение функции $Z=Z(x,y)$ и данной точке с помощью дифференциала.

Задача 24. Дана функция $z=x^2+2xy+3y^2$ и две точки $А (2; 1)$ и $В (1,96; 1,04)$. Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке $В$;
2) вычислить приближённое значение функции в точке $В$, исходя из значения функции в точке $А$ и заменив приращение функции при переходе от точки $А$ к точке $B$ дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом.

Ряд Тэйлора

Задача 25. Разложите функцию $f(x,y)=x^2\ln y + y^2$ по формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) в окрестности точки $M(2;1)$ до членов второго порядка включительно. Выпишите первый и второй дифференциалы заданной функции.

Задача 26. Найти первые и вторые частные производные функции $F$ и записать формулу Тэйлора в указанной точке $x^0$.

Наибольшее и наименьшее значение в области

Задача 27. Найти наименьшее $m$ и наибольшее $M$ значения функции $z=f(x,y)=3-2x^2-xy-y^2$ в замкнутой области $D$, заданной системой неравенств $-1 \le x \le 1; 0\le y \le 2$. Сделать чертёж области $D$.

Задача 28. Экстремумы функций нескольких переменных. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5x^2-3xy+y^2+4$ в области, ограниченной заданными линиями $x=0, y=0, x+y=2$.

Решение контрольной

Контрольное задание. Дана функция $f(x,y)=x^2+y^2-3xy$
1. Исследовать функцию $f$ на экстремум. Найти экстремальные значения функции.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f$ в заданной области $D$.
3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности $z=f(x,y)$ в точке, где $x=x_0=1$, $y=y)0=3$.
4. Найти величину наибольшей скорости возрастания функции $f$ в точке $M_1(-1;1)$.
5. Вычислить производную функции $f$ в точке $M_1$ в направлении вектора $\overline$. Каков характер изменения функции? Почему?
6. Найти угол между градиентами функции $f$ в точках $M_1$ и $M_2(2;2)$. Построить векторы и указать угол.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Электронная библиотека

Пример 1. Проверить удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция z = f(x,y).

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения:

В правой части уравнения имеем:

Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.

Пример 2. Вычислить приближенно данные выражения, заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами. Оценить в процентах возникающую при этом относительную погрешность вычислений.

Решение. а) Рассмотрим функцию

Значение этой функции в точке известно и равно

Вычислим приближенно значение функции по формуле: