Как раскрывать скобки при делении в уравнении

Как правильно раскрывать скобки в математических выражениях

Правило раскрытия скобок при сложении

Раскрытие скобок — это избавление выражений от скобок и изменение порядка вычислений.

Существует 4 правила раскрытия скобок при:

Правило раскрытия скобок при сложении.

При раскрытии скобок в выражении используется сочетательное свойство сложения, которое гласит:

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

a + (b +c) = a + b + c

Применяя это свойство, следует придерживаться следующего правила раскрытия скобок:

Если перед скобками стоит знак «+», все числа, которые стоят внутри скобок, сохраняют свой знак.

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

Это же правило применяется, когда в выражении встречается две или более скобки.

a + (b – c) + d + (-f) = a + b — c + d – f

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит знак «–», то при их раскрытии следует знаки слагаемых поменять на противоположные.

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

Когда в скобках перед первым слагаемым знак отсутствует, то это означает, что оно положительное и при раскрытии скобок становится отрицательным.

Решение подобных примеров состоит из действий:

• раскрываются скобки;
• меняется знак каждого слагаемого на противоположный.

x – (y + z) = x – y – z;

m – (-n – p) = m + n + p;

Случаи, когда в выражении присутствуют сложение и вычитание скобок.

10a + (19b – 34c) – 50 – (m + n)

В данном примере скобки раскрываются по алгоритму:

• к первой скобке применяется правило сложения;
• вторая скобка раскрывается правилом вычитания.

10a + 19b – 34 c – 50 – m – n

Раскрытие скобок в сложных выражениях.

Сложное выражение — это выражение, в котором используются скобки и знаки деление/умножение.

Раскрытие скобок при умножении

Действия по раскрытию скобок при умножении строятся на основании работы распределительного или сочетательного свойства умножения.

Применение того или иного свойства умножения зависит от действия внутри скобок. Если это сложение или вычитание, работает распределительное свойство. При умножении или делении применяется сочетательное свойство.

1. Раскрытие скобок, согласно распределительному свойству.

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

a ∙ (b + c) = ab + ac

(a + b) ∙ c = ac + bc

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac − bc

В математике для сокращения записей знак умножения перед числом и скобкой не ставится.

Если общий множитель является отрицательной величиной, то все значения в скобках умножаются на (–1) и меняют свои знаки на противоположные:

2. Раскрытие скобок, согласно сочетательному свойству:

Произведение трех и более множителей не изменится, если эту группу множителей заменить их произведением.

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c ∙ d) ∙ a = b ∙ c ∙ d ∙ a

В случае, когда в скобках выполняется умножение, раскрытие происходит как при сложении — просто раскрываются скобки и все значения перемножаются:

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ a

При раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков.

При делении внутри скобок, раскрытие происходит следующим образом:

Когда общий множитель находится перед скобками, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе число:

a ⋅ (b : с) = a ⋅ b : с;

• или общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое число:

a ⋅ (b : с) = a : c ⋅ b.

Когда общий множитель находится после скобок, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе:

(a : b) ⋅c = с ⋅ a : b;

• общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое:

(a : b) ⋅ c =с : b ⋅ a.

Скобка на скобку

Когда требуется перемножить несколько скобок друг на друга, нужно каждый член первой скобки умножить на каждый член второй скобки:

(a + b) ⋅ (c – d) = a ⋅ (c – d) + b ⋅ (c – d) = ac – ad + bc – bd

Алгоритм действий при раскрытии скобки на скобку:

1. Первая скобка раскрывается, каждое ее слагаемое умножается на вторую скобку.
2. Выполняется умножение числа на скобку, приводятся подобные слагаемые.

( 5 х + 7 ) ⋅ ( 10 x – 2 ) =

5 х ( 10 x – 2 ) + 7 ( 10 x – 2 ) =

50 х ² – 10 х + 70 х – 14 =

Скобка в скобке

В математике могут встречаться примеры, когда скобки входят в другие скобки.

Алгоритм действий такого типа примеров:

1. Последовательно раскрывается каждая скобка, начиная с внутренней.
2. Скобки раскрываются согласно принятым правилам раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении.
3. Приводятся подобные слагаемые для дальнейшего решения математического выражения или уравнения

8x + y(4 – (2x – y)) = 8x + y(4 – 2x + y) = 8x + 4y – 2xy + y²

Раскрытие скобок при делении

1. Случаи, когда в скобках выполняется сложение или вычитание.

Правило 5

Если знак деления стоит после скобок — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок:

(a + b) : c = a : c + b : c;

(a – b) : c = a: c – b : c.

Если знак деления стоит перед скобками, то делимое делится на каждое число в скобках:

c : (a + b) = c : a + c : b;

c : (a – b) = c : a – c : b.

1. В случае, когда в скобках выполняется умножение, то:

Если знак деления стоит перед скобкой:

• делимое делится на первое число в скобках и делится на второе:

a : (b ⋅ c) = a : b : c;

• или делимое делится на второе число в скобках, а потом делится на первое:

a : (b ⋅ c) = a : c : b.

Если знак деления стоит после скобки:

• первое число в скобках делится на делитель и умножается на второе:

(b ⋅ c) : a = (b : a) ⋅ c ;

• или второе число в скобках делится на делитель и умножается на первое:

(b ⋅ c) : a = (c : a) ⋅ b .

Если внутри скобок выполняется деление:

• делимое делится на первое число внутри скобки и умножается на второе:

a : (b : c) = a : b ⋅ c;

• первое число в скобках делится на делитель и делится на второе число:

(b : с) : a = b : c : a.

Не забываем, что при раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков, описанное выше:

Правила раскрытия скобок с примерами

В данной публикации мы рассмотрим основные правила раскрытия скобок, сопроводив их примерами для лучшего понимания теоретического материала.

Раскрытие скобок – замена выражения, содержащего скобки, на равное ему выражение, но без скобок.

Правила раскрытия скобок

Правило 1

Если перед скобками стоит “плюс”, то знаки всех чисел внутри скобок остаются без изменений.

Пояснение: Т.е. плюс на плюс дают плюс, а плюс на минус – минус.

Примеры:

Правило 2

Если перед скобками стоит “минус”, то знаки всех чисел внутри скобок меняются на противоположные.

Пояснение: Т.е. минус на плюс дают минус, а минус на минус – плюс.

Примеры:

Правило 3

Если перед или после скобок стоит знак “умножения”, все зависит от того, какие действие выполняются внутри них:

Сложение и/или вычитание

Умножение

Деление

Примеры:

Правило 4

Если перед или после скобок стоит знак “деления”, то как и в правиле выше, все зависит от того, какие действие выполняются внутри них:

Сложение и/или вычитание
Сначала выполняется действие в скобках, т.е. находится результат суммы или разности чисел, затем выполняется деление.

Правила раскрытия скобок

п.1. Правила раскрытия круглых скобок

Раскрытие скобок в выражении – это тождественное преобразование, приводящее к избавлению от пары скобок.

Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках не меняют, если:

1. перед скобкой стоит знак «+»: a + (b — c + d) = a + b — c + d

2. выражение начинается со скобки и перед ней знака:

Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках меняют на противоположные, если:

1. перед скобкой стоит знак «-»: a — (b — c + d) = a — b + c — d

2. выражение начинается с минуса перед скобкой:

-(a + b — c) + d = -a — b + c + d

Теперь, с помощью данных правил можно раскрывать скобки в любых выражениях. Например:

a +b(c + d — f + e) = a + bc + bd — bf + be

a — b(c + d — f + e) = a + bc + bd — bf + be

-a(b + c — d) + f = -ab — ac + ad + f

(a + b)(c — d) = a(c — d) + b(c — d) = ac — ad + bc — bd

(-a + b)(c + d) = -a(c + d) + b(c + d)= -ac — ad + bc + bd

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2=$

п.2. Порядок раскрытия скобок

Порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:

• сначала возвести многочлены в скобках в натуральную степень;
• затем слева направо провести умножение и деление;
• наконец, когда в скобках останутся только слагаемые, раскрыть скобки и привести подобные.

Пример 1. Раскройте скобки и упростите выражение:

-(2a + 5b) + (3a — 2b + 1) — (2a + 4) = -2a — 5b + 3a — 2b + 1 — 2a — 4 = (-2a + 3a — 2a) + (-5b — 2b) + (1 — 4) = -a — 7b — 3

Пример 2. Докажите, что при любых значениях переменной a значение выражения 3(2a — 7) — (a — (5a + 4)) отрицательно.

● 3(2a — 7) — (a — 5(a + 1)) = 6a — 21 — a + 5(a + 1) = 6a — 21- a + 5a + 5 = (6a — a + 5a) + (-21 + 5) = 0 — 16 = -16

Значение выражение не зависит от переменной и всегда отрицательно.

Что и требовалось доказать. ○

Пример 3. Найдите куб разности $(2a-1)^3$

$(2a — 1)^3 = (2a — 1)(2a — 1)(2a — 1)=(2a — 1)(2a(2a — 1) — (2a — 1))=$

$=(2a — 1)(4a^2 — 2a — 2a + 1)=(2a — 1)(4a^2 — 4a + 1)=$

$=2a(4a^2 — 4a + 1) — (4a^2 — 4a + 1)=8a^3 — 8a^2 + 2a — 4a^2 + 4a — 1=$